En las dos secciones anteriores, aprendimos a multiplicar y dividir raíces cuadradas. Específicamente, ahora estamos armados con las siguientes dos propiedades.
Propiedad ( PageIndex {1} )
Sean ayb dos números reales no negativos. Entonces,
[ sqrt {a} sqrt {b} = sqrt {ab}, ]
y, proporcione (b ne 0 ),
[ frac { sqrt {a}} { sqrt {b}} = sqrt { frac {a} {b}} ]
En esta sección, simplificaremos una serie de expresiones más extensas que contienen raíces cuadradas, particularmente aquellas que son fundamentales para su trabajo en futuros cursos de matemáticas . Comencemos por desarrollar algunas habilidades fundamentales.
La propiedad asociativa
Recordamos la propiedad asociativa de la multiplicación.
Propiedad asociativa de la multiplicación
Sea a , b y c sean cualquier número real. La propiedad asociativa de la multiplicación establece que
[(ab) c = a (bc) label {associativeprop} ]
Tenga en cuenta que el orden de los números en cada lado de la ecuación ref {associativeprop} no ha cambiado. Los números a cada lado de la ecuación están en el orden (a ), (b ) y luego (c ).
Sin embargo, la agrupación ha cambiado. A la izquierda, los paréntesis alrededor del producto de (a ) y (b ) nos indican que realicemos ese producto primero, luego multiplique el resultado por (c ). A la derecha, la agrupación es diferente; los paréntesis alrededor de byc nos indican que primero realicemos ese producto, luego multipliquemos por (a ). El punto clave a entender es el hecho de que las diferentes agrupaciones no hacen ninguna diferencia. Obtenemos la misma respuesta en cualquier caso.
Por ejemplo, considere el producto (2 cdot 3 cdot 4 ). Si multiplicamos 2 y 3 primero, luego multiplicamos el resultado por 4, obtenemos
((2 cdot 3) cdot 4 = 6 cdot 4 = 24 )
Por otro lado, si multiplicamos 3 y 4 primero, luego multiplicamos el resultado por 2, obtenemos
(2 cdot (3 cdot 4) = 2 cdot 12 = 24 )
Tenga en cuenta que obtenemos el mismo resultado en cualquier caso. Es decir,
((2 cdot 3) cdot 4 = 2 cdot (3 cdot 4) )
La propiedad asociativa, aparentemente trivial, adquiere un nivel adicional de sofisticación si la aplicamos a expresiones que contienen radicales. Veamos un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Simplifique la expresión (3 (2 sqrt {5}) ). Coloque su respuesta en forma radical simple.
Actualmente, los paréntesis alrededor de 2 y ( sqrt {5} ) requieren que multipliquemos esos dos números primero. Sin embargo, la propiedad asociativa de la multiplicación nos permite reagrupar, colocando los paréntesis alrededor de 3 y 2, multiplicando esos dos números primero, luego multiplicando el resultado por ( sqrt {5} ) [ 19459006]. Organizamos el trabajo de la siguiente manera.
(3 (2 sqrt {5}) = (3 cdot 2) sqrt {5} = 6 sqrt {5} ).
Los lectores deben notar la similitud con una manipulación muy familiar.
(3 (2x) = (3 cdot 2) x = 6x )
En la práctica, cuando confiamos en esta reagrupación, comenzamos a omitir el paso intermedio y simplemente declaramos que 3 (2x) = 6x. De manera similar, una vez que tenga confianza en la reagrupación, simplemente debe indicar que (3 (2 sqrt {5}) = 6 sqrt {5} ). Si se le pide que explique su respuesta, debe estar listo para explicar cómo se reagrupó de acuerdo con la propiedad asociativa de la multiplicación. Del mismo modo,
(- 4 (5 sqrt {7}) = – 20 sqrt {7} ), (12 (5 sqrt {11}) = 60 sqrt {11} ) y ( −5 (−3 sqrt {3}) = 15 sqrt {3} ).
La propiedad conmutativa de la multiplicación
Recordamos la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Propiedad conmutativa de la multiplicación
Sea ayb cualquier número real. La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que
ab = ba
La propiedad conmutativa establece que el orden de multiplicación es irrelevante. Por ejemplo, (2 cdot 3 ) es lo mismo que (3 cdot 2 ); ambos son iguales a 6. Esta propiedad aparentemente trivial, junto con la propiedad asociativa de la multiplicación, nos permite cambiar el orden de multiplicación y reagruparnos como queramos.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Simplifique la expresión ( sqrt {5} (2 sqrt {3}) ). Coloque su respuesta en forma radical simple.
Lo que realmente nos gustaría hacer es multiplicar primero ( sqrt {5} ) y ( sqrt {3} ). Para hacer esto, primero debemos reagruparnos, luego cambiar el orden de multiplicación de la siguiente manera.
( sqrt {5} (2 sqrt {3}) = ( sqrt {5} cdot 2) sqrt {3} = (2 sqrt {5}) sqrt {3} )
Esto está permitido por las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación. Ahora, nos reagrupamos nuevamente y multiplicamos.
((2 sqrt {5}) sqrt {3} = 2 ( sqrt {5} sqrt {3}) = 2 sqrt {15} )
En la práctica, esto es demasiado trabajo para un cálculo tan simple. Una vez que comprendemos las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación, la expresión (a cdot b cdot c ) es inequívoca. Los paréntesis no son necesarios. Sabemos que podemos cambiar el orden de multiplicación y reagruparnos como queramos. Por lo tanto, cuando se le presente el producto de tres números, simplemente multiplique dos de su elección, luego multiplique el resultado por el tercer número restante.
En el caso de ( sqrt {5} (2 sqrt {3}) ), elegimos multiplicar primero ( sqrt {5} ) y ( sqrt {3} ), que es ( sqrt {15} ), luego multiplique este resultado por 2 para obtener (2 sqrt {15} ). Del mismo modo,
( sqrt {5} (2 sqrt {7}) = 2 sqrt {35} ) y ( sqrt {x} (3 sqrt {5}) = 3 sqrt {5x} ).
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Simplifique la expresión ( sqrt {6} (4 sqrt {8}) ). Coloque su respuesta en forma radical simple.
Comenzamos multiplicando ( sqrt {6} ) y ( sqrt {8} ), luego el resultado por 4.
( sqrt {6} (4 sqrt {8}) = 4 sqrt {48} )
Ahora, (48 = 16 cdot 3 ), para que podamos extraer un cuadrado perfecto.
(4 sqrt {48} = 4 ( sqrt {16} sqrt {3}) = 4 (4 sqrt {3}) )
Nuevamente, elegimos multiplicar los cuatro, luego el resultado por la raíz cuadrada de tres. Es decir,
(4 (4 sqrt {3}) = 16 sqrt {3} ).
Por inducción, podemos argumentar que las propiedades asociativas y conmutativas nos permitirán agrupar y organizar el producto de más de tres números en el orden que queramos.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Simplifique la expresión (2 sqrt {12} (3 sqrt {3}) ). Coloque su respuesta en forma radical simple.
Primero tomaremos el producto de 2 y 3, luego el producto de ( sqrt {12} ) y ( sqrt {3} ), luego multiplicaremos estos resultados juntos.
(2 sqrt {12} (3 sqrt {3}) = (2 cdot 3) ( sqrt {12} sqrt {3}) = 6 sqrt {36} )
Por supuesto, ( sqrt {36} = 6 ), por lo que podemos simplificar aún más.
(6 sqrt {36} = 6 cdot 6 = 36 )
La propiedad distributiva
Recordemos la propiedad distributiva para números reales.
Propiedad distributiva
Sea a , b y c sean cualquier número real. Entonces,
a (b + c) = ab + ac
Quizás recuerde la siguiente operación, donde “distribuye el 2”, multiplicando cada término entre paréntesis por 2.
2 (3 + x) = 6 + 2x
Puedes hacer exactamente lo mismo con expresiones radicales.
(2 (3+ sqrt {5}) = 6 + 2 sqrt {5} )
Como en el ejemplo familiar anterior, “distribuimos el 2”, multiplicando cada término entre paréntesis por 2.
Veamos más ejemplos.
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Usa la propiedad distributiva para expandir la expresión ( sqrt {12} (3+ sqrt {3}) ), colocando tu respuesta final en forma radical simple.
Primero, distribuya el ( sqrt {12} ), multiplicando cada término entre paréntesis por ( sqrt {12} ). Tenga en cuenta que ( sqrt {12} sqrt {3} = sqrt {36} ).
( sqrt {12} (3+ sqrt {3}) = 3 sqrt {12} + sqrt {36} = 3 sqrt {12} +6 )
Sin embargo, esta última expresión no está en forma radical simple, ya que podemos factorizar un cuadrado perfecto ((12 = 4 cdot 3) ).
(3 sqrt {12} + 6 = 3 ( sqrt {4} sqrt {3}) + 6 = 3 (2 sqrt {3}) + 6 = 6 sqrt {3} +6 )
No importa si el factor monomial está en la parte delantera o trasera de la suma, aún distribuye los tiempos monomiales cada término entre paréntesis.
Ejemplo ( PageIndex {10} )
Use la propiedad distributiva para expandir (( sqrt {3} +2 sqrt {2}) sqrt {6} ). Coloque su respuesta en forma radical simple.
Primero, multiplique cada término entre paréntesis por ( sqrt {6} ).
(( sqrt {3} +2 sqrt {2}) sqrt {6} = sqrt {18} +2 sqrt {12} )
Para obtener el segundo término de este resultado, elegimos multiplicar primero ( sqrt {2} ) y ( sqrt {6} ), que es ( sqrt {12} ), luego multiplicamos este resultado por 2. Ahora, podemos factorizar cuadrados perfectos de 18 y 12.
( sqrt {18} +2 sqrt {12} = sqrt {9} sqrt {2} +2 ( sqrt {4} sqrt {3}) = 3 sqrt {2} + 2 (2 sqrt {3}) = 3 sqrt {2} +4 sqrt {3} )
Recuerde, puede verificar sus resultados con su calculadora. En Figura 1 (a), hemos encontrado una aproximación decimal para la expresión original (( sqrt {3} +2 sqrt {2}) sqrt {6} ), y en Figura 1 (b) tenemos una aproximación decimal para nuestra solución (3 sqrt {2} +4 sqrt {3} ). Tenga en cuenta que son lo mismo, lo que proporciona evidencia de que nuestra solución es correcta.
La propiedad distributiva también es responsable de ayudarnos a combinar “términos similares”. Por ejemplo, puede recordar que 3x + 5x = 8x, un cálculo aparentemente simple, pero es la propiedad distributiva la que realmente proporciona esta solución. Observe cómo usamos la propiedad distributiva para factorizar x de cada término.
3x + 5x = (3 + 5) x
Por lo tanto, 3x + 5x = 8x. Puedes hacer lo mismo con expresiones radicales.
(3 sqrt {2} +5 sqrt {2} = (3 + 5) sqrt {2} )
Por lo tanto, (3 sqrt {2} +5 sqrt {2} = 8 sqrt {2} ) y la estructura de este resultado es idéntica a la que se muestra en 3x + 5x = 8x. No hay diferencia en la forma en que combinamos estos “términos similares”. Repetimos el factor común y sumamos coeficientes. Por ejemplo,
(2 sqrt {3} +9 sqrt {3} = 11 sqrt {3} ), (- 4 sqrt {2} +2 sqrt {2} = −2 sqrt { 2} ) y (- 3x sqrt {x} + 5x sqrt {x} = 2x sqrt {x} ).
En cada caso anterior, estamos agregando “términos similares”, repitiendo el factor común y agregando coeficientes.
En el caso de que no tengamos términos similares, como en 3x + 5y, no hay nada que hacer. De manera similar, cada una de las siguientes expresiones no tiene términos similares que pueda combinar. Están tan simplificados como van a ser.
(3 sqrt {2} +5 sqrt {3} ), (2 sqrt {11} −8 sqrt {10} ) y (2 sqrt {x} + 5 sqrt {y} )
Sin embargo, hay momentos en que puede parecer que no tiene términos similares, pero cuando coloca todo en forma radical simple, descubre que tiene términos similares que se pueden combinar agregando coeficientes.
Ejemplo ( PageIndex {11} )
Simplifique la expresión (5 sqrt {27} +8 sqrt {3} ), colocando la expresión final en forma radical simple.
Podemos extraer un cuadrado perfecto ( (27 = 9 cdot 3 )).
(5 sqrt {27} +8 sqrt {3} = 5 ( sqrt {9} sqrt {3}) + 8 sqrt {3} = 5 (3 sqrt {3}) + 8 sqrt {3} = 15 sqrt {3} +8 sqrt {3} )
Tenga en cuenta que ahora tenemos “términos similares” que se pueden combinar agregando coeficientes.
(15 sqrt {3} +8 sqrt {3} = 23 sqrt {3} )
Una comparación de la expresión original y su forma simplificada se muestra en Figuras 2 (a) y (b).
Ejemplo ( PageIndex {12} )
Simplifique la expresión (2 sqrt {20} + sqrt {8} +3 sqrt {5} +4 sqrt {2} ), colocando el resultado en forma radical simple.
Podemos extraer cuadrados perfectos ( (20 = 4 cdot 5 ) y (8 = 4 cdot 2 )).
(2 sqrt {20} + sqrt {8} +3 sqrt {5} +4 sqrt {2} = 2 ( sqrt {4} sqrt {5}) + sqrt {4 } sqrt {2} +3 sqrt {5} +4 sqrt {2} = 2 (2 sqrt {5}) + 2 sqrt {2} +3 sqrt {5} +4 sqrt {2 } = 4 sqrt {5} +2 sqrt {2} +3 sqrt {5} +4 sqrt {2} )
Ahora podemos combinar términos similares agregando coeficientes.
(4 sqrt {5} +2 sqrt {2} +3 sqrt {5} +4 sqrt {2} = 7 sqrt {5} +6 sqrt {2} ) [19459002 ]
Las fracciones pueden ser un poco complicadas.
Ejemplo ( PageIndex {13} )
Simplifique ( sqrt {27} + frac {1} { sqrt {12}} ), colocando el resultado en forma radical simple.
Podemos extraer una raíz cuadrada perfecta ((27 = 9 cdot 3) ) El denominador en el segundo término es ( sqrt {12} = 2 sqrt { 2} cdot sqrt {3} ) , por lo que se necesita un 3 más en el denominador para hacer un cuadrado perfecto .
( sqrt {27} + frac {1} { sqrt {12}} = sqrt {9} sqrt {3} + frac {1} { sqrt {12}} cdot frac { sqrt {3}} { sqrt {3}} = 3 sqrt {3} + frac { sqrt {3}} { sqrt {36}} = 3 sqrt {3} + frac { sqrt {3}} {6} )
Para agregar estas fracciones, necesitamos un denominador común de 6.
(3 sqrt {3} + frac { sqrt {3}} {6} = frac {18 sqrt {3}} {6} + frac { sqrt {3}} {6 } = Frac {19 sqrt {3}} {6} )
Ahora podemos combinar numeradores agregando coeficientes.
( frac {18 sqrt {3}} {6} + frac { sqrt {3}} {6} = frac {19 sqrt {3}} {6} )
Las aproximaciones decimales de la expresión original y su forma simplificada se muestran en Figuras 3 (a) y (b).
A primera vista, la falta de un monomio en el producto (x + 1) (x + 3) hace pensar que la propiedad distributiva no nos ayudará a encontrar el producto. Sin embargo, si pensamos en el segundo factor como una sola unidad, podemos distribuirlo por cada término en el primer factor.
(x + 1) (x + 3) = x (x + 3) +1 (x + 3)
Aplica la propiedad distributiva por segunda vez, luego combina términos similares.
(x (x + 3) +1 (x + 3) = x ^ 2 + 3x + x + 3 = x ^ 2 + 4x + 3 )
Podemos manejar productos con expresiones radicales de la misma manera.
Ejemplo ( PageIndex {14} )
Simplifique ((2+ sqrt {2}) (3 + 5 sqrt {2}) ). Coloque su resultado en forma radical simple.
Piense en el segundo factor como una sola unidad y distribúyalo por cada término en el primer factor.
((2+ sqrt {2}) (3 + 5 sqrt {2}) = 2 (3 + 5 sqrt {2}) + sqrt {2} (3 + 5 sqrt {2 }) )
Ahora, usa la propiedad distributiva nuevamente.
(2 (3 + 5 sqrt {2}) + sqrt {2} (3 + 5 sqrt {2}) = 6 + 10 sqrt {2} +3 sqrt {2} +5 sqrt {4} )
Tenga en cuenta que al encontrar el último término, ( sqrt {2} sqrt {2} = sqrt {4} ). Ahora, sqrt {4} = 2, entonces podemos combinar términos similares.
(6 + 10 sqrt {2} +3 sqrt {2} +5 sqrt {4} = 6 + 10 sqrt {2} +3 sqrt {2} +5 (2) = 6 +10 sqrt {2} +3 sqrt {2} +10 = 16 + 13 sqrt {2} )
Las aproximaciones decimales de la expresión original y su forma radical simple se muestran en Figuras 4 (a) y (b).
Productos especiales
Hay dos productos especiales que tienen aplicaciones importantes que involucran expresiones radicales, quizás una más que la otra. El primero es la conocida diferencia del patrón de dos cuadrados.
Diferencia de cuadrados
Sea ayb cualquier número. Entonces,
((a + b) (a − b) = a ^ 2 − b ^ 2 ).
Este patrón involucra dos factores binomiales que tienen términos primero y segundo idénticos, los términos en un factor separados por un signo más, los términos en el otro factor separados por un signo menos. Cuando vemos este patrón de multiplicación, debemos cuadrar el primer término de cualquiera de los factores, cuadrar el segundo término y luego restar los resultados. Por ejemplo,
((2x + 3) (2x − 3) = 4x ^ 2−9 ).
Este producto especial se aplica igualmente bien cuando el primer y / o segundo término involucra expresiones radicales.
Ejemplo ( PageIndex {15} )
Usa los patrones de diferencia de cuadrados para multiplicar ((2+ sqrt {11}) (2− sqrt {11}) )
Tenga en cuenta que esta multiplicación tiene la forma ( a + b ) ( a – b ), entonces aplicamos el patrón de diferencia de cuadrados para obtener
((2+ sqrt {11}) (2− sqrt {11}) = (2) ^ 2 – ( sqrt {11}) ^ 2 )
Por supuesto, (2 ^ 2 = 4 ) y (( sqrt {11}) ^ 2 = 11 ), por lo que podemos terminar de la siguiente manera.
((2) ^ 2 – ( sqrt {11}) ^ 2 = 4−11 = −7 )
Ejemplo ( PageIndex {16} )
Usa el patrón de diferencia de cuadrados para multiplicar ((2 sqrt {5} +3 sqrt {7}) (2 sqrt {5} −3 sqrt {7}) ).
Nuevamente, este producto tiene la forma especial ( a + b ) ( a – b ), entonces aplicamos el patrón de diferencia de cuadrados para obtener
((2 sqrt {5} +3 sqrt {7}) (2 sqrt {5} −3 sqrt {7}) = (2 sqrt {5}) ^ 2− (3 sqrt {7}) ^ 2 )
Luego, elevamos al cuadrado un producto de dos factores de acuerdo con la regla ((ab) ^ 2 = a ^ {2} b ^ 2 ). Por lo tanto,
((2 sqrt {5}) ^ 2 = (2) ^ {2} ( sqrt {5}) ^ 2 = 4 cdot 5 = 20 )
y
((3 sqrt {7}) ^ 2 = (3) ^ {2} ( sqrt {7}) ^ 2 = 9 cdot 7 = 63 ).
Por lo tanto, podemos completar la multiplicación ((2 sqrt {5} +3 sqrt {7}) (2 sqrt {5} −3 sqrt {7}) ) con
((2 sqrt {5}) ^ 2− (3 sqrt {7}) ^ 2 = 20−63 = −43 ).
Este resultado se verifica fácilmente con una calculadora, como se muestra en Figura 5 .
El segundo patrón de interés es el atajo para cuadrar un binomio.
Cuadrando un binomio
Sean ayb números. Entonces,
((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ).
Aquí cuadramos los términos primero y segundo del binomio, luego producimos el término medio del resultado multiplicando el primer y segundo términos y duplicando ese resultado. Por ejemplo,
((2x + 9) ^ 2 = (2x) ^ 2 +2 (2x) (9) + (9) ^ 2 = 4x ^ 2 + 36x + 81 ).
Este patrón también se puede aplicar a binomios que contienen expresiones radicales.
Ejemplo ( PageIndex {17} )
Utilice la cuadratura de un patrón binomial para expandir ((2 sqrt {x} + sqrt {5}) ^ 2 ). Coloque su resultado en forma radical simple. Suponga que x es un número real positivo (x> 0).
Aplicando el cuadrado un patrón binomial, obtenemos
((2 sqrt {x} + sqrt {5}) ^ 2 = (2 sqrt {x}) ^ 2 + 2 (2 sqrt {x}) ( sqrt {5}) + ( sqrt {5}) ^ 2 ).
Como antes, ((2 sqrt {x}) ^ 2 = (2) ^ {2} ( sqrt {x}) ^ 2 = 4x ) y (( sqrt {5}) ^ 2 = 5 ). En el caso de (2 (2 sqrt {x}) ( sqrt {5}) ), tenga en cuenta que estamos multiplicando cuatro números juntos. Las propiedades asociativas y conmutativas indican que podemos multiplicar estos cuatro números en el orden que queramos. Entonces, el producto de 2 y 2 es 4, el producto de ( sqrt {x} ) y ( sqrt {5} ) es ( sqrt {5x} ), luego multiplicamos estos resultados por producir el resultado (4 sqrt {5x} ). Por lo tanto,
((2 sqrt {x}) ^ 2 + 2 (2 sqrt {x}) ( sqrt {5}) + ( sqrt {5}) ^ 2 = 4x + 4 sqrt {5x } + 5 ).
Racionalización de denominadores
Como vimos en la sección anterior, la instrucción “racionalizar el denominador” es una solicitud para eliminar todas las expresiones radicales del denominador. Por supuesto, esta es la “tercera guía de la forma radical simple”, pero hay momentos, particularmente en el cálculo, cuando la instrucción cambia para “racionalizar el numerador”. Por supuesto, esta es una solicitud para eliminar todos los radicales del numerador.
No puedes tener ambos mundos. Puede eliminar expresiones radicales del denominador o del numerador, pero no ambas. Si no se da ninguna instrucción, suponga que la “tercera directriz de forma radical simple” está en juego y elimine todas las expresiones radicales del denominador. Ya hemos hecho un poco de esto en secciones anteriores, pero aquí abordamos un tipo de expresión un poco más complicado.
Ejemplo ( PageIndex {18} )
En la expresión ( frac {3} {2+ sqrt {2}} ), racionalice el denominador.
El secreto radica en la diferencia del patrón de cuadrados, ((a + b) (a − b) = a ^ 2 − b ^ 2 ). Por ejemplo,
((2+ sqrt {2}) (2− sqrt {2}) = (2) ^ 2 – ( sqrt {2}) ^ 2 = 4−2 = 2 ).
Esto proporciona una excelente pista sobre cómo proceder con la racionalización del denominador de la expresión ( frac {3} {(2+ sqrt {2})} ). Multiplique el numerador y el denominador por (2− sqrt {2} ).
( frac {3} {2+ sqrt {2}} = frac {3} {2 + 2 sqrt {2}} cdot frac {2− sqrt {2}} {2 – sqrt {2}} )
Multiplica numeradores y denominadores.
( frac {3} {2 + 2 sqrt {2}} cdot frac {2− sqrt {2}} {2− sqrt {2}} = frac {3 (2− sqrt {2})} {(2+ sqrt {2}) (2− sqrt {2})} = frac {6−3 sqrt {2}} {(2) ^ 2 – ( sqrt {2}) ^ 2} = frac {6−3 sqrt {2}} {4−2} = frac {6−3 sqrt {2}} {2} )
Tenga en cuenta que es tentador cancelar el 2 en el denominador en el 6 en el numerador, pero no puede cancelar términos que están separados por un signo menos. Este es un error común, así que no seas presa de este error.
En Figuras 6 (a) y (b), comparamos aproximaciones decimales de la expresión original y su forma radical simple.
Ejemplo ( PageIndex {19} )
En la expresión ( frac { sqrt {3} + sqrt {2}} { sqrt {3} – sqrt {2}} ), racionalice el denominador.
Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt {3} + sqrt {2} ).
( frac { sqrt {3} + sqrt {2}} { sqrt {3} – sqrt {2}} = frac { sqrt {3} + sqrt {2}} { sqrt {3} – sqrt {2}} cdot frac { sqrt {3} + sqrt {2}} { sqrt {3} + sqrt {2}} ).
Multiplica numeradores y denominadores.
( frac { sqrt {3} + sqrt {2}} { sqrt {3} – sqrt {2}} cdot frac { sqrt {3} + sqrt {2}} { sqrt {3} + sqrt {2}} = frac {( sqrt {3} + sqrt {2}) ^ 2} {( sqrt {3} – sqrt {2}) ( sqrt {3} + sqrt {2})} )
En el denominador, tenemos la diferencia de dos cuadrados. Por lo tanto,
(( sqrt {3} – sqrt {2}) ( sqrt {3} + sqrt {2}) = ( sqrt {3}) ^ 2 – ( sqrt {2}) ^ 2 = 3−2 = 1 ).
Tenga en cuenta que esto borra el denominador de radicales. Esta es la razón por la que multiplicamos numerador y denominador por ( sqrt {3} + sqrt {2} ). En el numerador, podemos usar la cuadratura de un atajo binomial para multiplicar.
(( sqrt {3} + sqrt {2}) ^ 2 = ( sqrt {3}) ^ 2 + 2 ( sqrt {3}) ( sqrt {2}) + ( sqrt {2}) ^ 2 = 3 + 2 sqrt {6} +2 = 5 + 2 sqrt {6} )
Por lo tanto, podemos completar la simplificación iniciada anteriormente.
( frac {( sqrt {3} + sqrt {2}) ^ 2} {( sqrt {3} – sqrt {2}) ( sqrt {3} + sqrt {2} )} = Frac {5 + 2 sqrt {6}} {1} = 5 + 2 sqrt {6} )
En Figuras 7 (a) y (b), comparamos las aproximaciones decimales de la expresión original con su forma radical simple.
Revisitando la Fórmula Cuadrática
Podemos usar lo que hemos aprendido para colocar soluciones proporcionadas por la fórmula cuadrática en forma simple. Veamos un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {20} )
Resuelve la ecuación (x ^ 2 = 2x + 2 ) para x. Coloque su solución en forma radical simple.
La ecuación no es lineal, por lo tanto, pon un lado a cero.
(x ^ 2−2x − 2 = 0 )
Compare este resultado con la forma general (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y observe que a = 1, b = −2 y c = −2. Escribe la fórmula cuadrática, realiza las sustituciones y luego simplifica.
(x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} = frac {- (- 2) pm sqrt {(- 2) ^ 2−4 ( 1) (- 2)}} {2 (1)} = frac {2 pm sqrt {12}} {2} )
Tenga en cuenta que podemos factorizar un cuadrado perfecto del radical en el numerador.
(x = frac {2 pm sqrt {12}} {2} = frac {2 pm sqrt {4} sqrt {3}} {2} = frac {2 pm 2 sqrt {3}} {2} )
En este punto, tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador son divisibles por 2. Hay varias formas de proceder con la reducción.
- Algunas personas prefieren factorizar, luego cancelar.
( frac {2 pm 2 sqrt {3}} {2} = frac {2 (1 pm sqrt {3})} {2} = 1 pm sqrt {3} )
- Algunos prefieren usar la propiedad distributiva.
( frac {2 pm 2 sqrt {3}} {2} = frac {2} {2} pm frac {2 sqrt {3}} {2} = 1 pm sqrt {3} )
En cada caso, la forma final de la respuesta está en forma radical simple y se reduce a los términos más bajos.
Advertencia ( PageIndex {21} )
Cuando se trabaja con la fórmula cuadrática, uno de los errores de álgebra más comunes es cancelar sumas en lugar de factores, como en
( frac {2 pm 2 sqrt {3}} {2} = pm 2 sqrt {3} )
Intente evitar cometer este error.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {22} )
Resuelve la ecuación (3x ^ 2 – 2x = 6 ) para x. Coloque su solución en forma radical simple.
Esta ecuación es no lineal. Mueva cada término a un lado de la ecuación, haciendo que el otro lado de la ecuación sea igual a cero.
(3x ^ 2−2x − 6 = 0 )
Compare con la forma general (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y observe que a = 3, b = −2 y c = −6. Escriba la fórmula cuadrática y sustitúyala.
(x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} = frac {- (- 2) pm sqrt {(- 2) ^ 2−4 ( 3) (- 6)}} {2 (3)} = frac {2 pm sqrt {76}} {6} )
Factoriza un cuadrado perfecto del radical en el numerador.
(x = frac {2 pm sqrt {76}} {6} = frac {2 pm sqrt {4} sqrt {19}} {6} = frac {2 pm 2 sqrt {19}} {6} )
Elegimos factorizar y cancelar.
(x = frac {2 pm 2 sqrt {19}} {6} = frac {2 (1 pm sqrt {19})} {2 cdot 3} = frac {1 pm sqrt {19}} {3} )
En Ejercicios 1 – 14 , coloca cada una de las expresiones radicales en forma radical simple. Comprueba tu respuesta con tu calculadora.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
(2 (5 sqrt {7}) )
- Respuesta
-
Reagrupa usando la propiedad asociativa y simplifica.
(2 (5 sqrt {7}) = (2 cdot 5) sqrt {7} = 10 sqrt {7} )
Verificación.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
(- 3 (2 sqrt {3}) )
Ejercicio ( PageIndex {3} )
(- sqrt {3} (2 sqrt {5}) )
- Respuesta
-
Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagrupar.
(- sqrt {3} (2 sqrt {5}) = 2 (- sqrt {3} sqrt {5}) = 2 (- sqrt {15}) = – 2 sqrt { 15} )
Verificación.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
( sqrt {2} (3 sqrt {7}) )
Ejercicio ( PageIndex {5} )
( sqrt {3} (5 sqrt {6}) )
- Respuesta
-
Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagrupar.
( sqrt {3} (5 sqrt {6}) = 5 ( sqrt {3} sqrt {6}) = 5 ( sqrt {18}) )
Esto no es simple, ya que es posible factorizar un cuadrado perfecto.
(5 sqrt {18} = 5 sqrt {9} sqrt {2} = 5 cdot 3 sqrt {2} = 15 sqrt {2} )
Verificación.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
( sqrt {2} (- 3 sqrt {10}) )
Ejercicio ( PageIndex {7} )
((2 sqrt {5}) (- 3 sqrt {3}) )
- Respuesta
-
Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagrupar.
((2 sqrt {5}) (- 3 sqrt {3}) = (2 cdot −3) ( sqrt {5} sqrt {3}) = – 6 sqrt {15} )
Verificación.
Ejercicio ( PageIndex {8} )
((- 5 sqrt {2}) (- 2 sqrt {7}) )
Ejercicio ( PageIndex {9} )
((- 4 sqrt {3}) (2 sqrt {6}) )
- Respuesta
-
Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagrupar.
((- 4 sqrt {3}) (2 sqrt {6}) = (−4 cdot 2) ( sqrt {3} sqrt {6}) = – 8 sqrt {18} )
Esta respuesta no es simple porque podemos factorizar un cuadrado perfecto.
(- 8 sqrt {18} = −8 sqrt {9} sqrt {2} = −8 cdot 3 sqrt {2} = −24 sqrt {2} )
Verificación.
Exercise (PageIndex{10})
((2sqrt{5})(−3sqrt{10}))
Exercise (PageIndex{11})
((2sqrt{3})^2)
- Answer
-
Recall that ((ab)^2 = a^{2}b^2).
((2sqrt{3})^2 = (2)^{2}(sqrt{3})^2 = 4 cdot 3 = 12)
Verificación.
Exercise (PageIndex{12})
((−3sqrt{5})^2)
Exercise (PageIndex{13})
((−5sqrt{2})^2)
- Answer
-
Recall that ((ab)^2 = a^{2}b^2).
((−5sqrt{2})^2 = (−5)^{2}(sqrt{2})^2 = 25 cdot 2 = 50)
Verificación.
Exercise (PageIndex{14})
((7sqrt{11})^2)
In Exercises 15 – 22 , use the distributive property to multiply. Place your final answer in simple radical form. Check your result with your calculator.
Exercise (PageIndex{15})
(2(3 +sqrt{5}))
- Answer
-
Recall the distributive property: a(b + c) = ab + ac.
(2(3+sqrt{5}) = 2(3)+2(sqrt{5}) = 6+2sqrt{5})
Verificación.
Exercise (PageIndex{16})
(−3(4−sqrt{7}))
Exercise (PageIndex{17})
(2(−5+4sqrt{2}))
- Answer
-
Recall the distributive property: a(b + c) = ab + ac.
(2(−5+4sqrt{2})=2(−5)+2(4sqrt{2})=−10+8sqrt{2})
Verificación.
Ejercicio ( PageIndex {18} )
(−3(4−3sqrt{2}))
Exercise (PageIndex{19})
(sqrt{2}(2+sqrt{2}))
- Answer
-
Recall the distributive property: a(b + c) = ab + ac.
(sqrt{2}(2+sqrt{2}) = sqrt{2}(2)+sqrt{2}(sqrt{2}) = 2sqrt{2}+sqrt{4}=2sqrt{2}+2)
Verificación.
Exercise (PageIndex{20})
(sqrt{3}(4−sqrt{6}))
Exercise (PageIndex{21})
(sqrt{2}(sqrt{10}+sqrt{14}))
- Answer
-
Recall the distributive property: a(b + c) = ab + ac.
(sqrt{2}(sqrt{10}+sqrt{14}) = sqrt{2}(sqrt{10})+ sqrt{2}(sqrt{14}) = sqrt{20}+sqrt{28})
However, this answer is not in simple form because we can factor out perfect squares.
(sqrt{20}+sqrt{28} = sqrt{4}sqrt{5}+sqrt{4}sqrt{7} = 2sqrt{5}+2sqrt{7})
Verificación.
Exercise (PageIndex{22})
(sqrt{3}(sqrt{15}−sqrt{33}))
In Exercises 23 – 30 , combine like terms. Place your final answer in simple radical form. Check your solution with your calculator.
Exercise (PageIndex{23})
(−5sqrt{2}+7sqrt{2})
- Answer
-
Use the distributive property to factor out (sqrt{2}).
(−5sqrt{2}+7sqrt{2} = (−5+7)sqrt{2} = 2sqrt{2})
In practice, we usually just combine (−5sqrt{2}+7sqrt{2}) much as we do −5x+7x = 2x and simply write (−5sqrt{2}+7sqrt{2}=2sqrt{2}).
Verificación.
Exercise (PageIndex{24})
(2sqrt{3}+3sqrt{3})
Exercise (PageIndex{25})
(2sqrt{6}−8sqrt{6})
- Answer
-
Use the distributive property to factor out (sqrt{6}).
(2sqrt{6}−8sqrt{6} = (2−8)sqrt{6} = −6sqrt{6})
In practice, we usually just combine (2sqrt{6}−8sqrt{6}) much as we do 2x−8x = −6x and simply write (2sqrt{6}−8sqrt{6}=−6sqrt{6}).
Verificación.
Exercise (PageIndex{26})
(sqrt{7}−3sqrt{7})
Exercise (PageIndex{27})
(2sqrt{3}−4sqrt{2}+3sqrt{3})
- Answer
-
The commutative and associative properties of addition allows us to reorder and regroup, then we combine like terms.
(2sqrt{3}−4sqrt{2}+3sqrt{3} = (2sqrt{3}+3sqrt{3})−4sqrt{2} = 5sqrt{3}−4sqrt{2})
Verificación.
Exercise (PageIndex{28})
(7sqrt{5}+2sqrt{7}−3sqrt{5})
Exercise (PageIndex{29})
(2sqrt{3}+5sqrt{2}−7sqrt{3}+2sqrt{2})
- Answer
-
The commutative and associative properties of addition allow us to reorder and regroup, then we can add like terms.
(2sqrt{3}+5sqrt{2}−7sqrt{3}+2sqrt{2} = (2sqrt{3}−7sqrt{3})+(5sqrt{2}+2sqrt{2})=−5sqrt{3}+7sqrt{2})
Verificación.
Exercise (PageIndex{30})
(3sqrt{11}−2sqrt{7}−2sqrt{11}+4sqrt{7})
In Exercises 31 – 40 , combine like terms where possible. Place your final answer in simple radical form. Use your calculator to check your result.
Exercise (PageIndex{31})
(sqrt{45}+sqrt{20})
- Answer
-
(sqrt{45}+sqrt{20} = sqrt{3^{2} cdot 5}+ sqrt{2^2 cdot 5} = 3sqrt{5}+2sqrt{5} = (3+2)sqrt{5} =5sqrt{5})
Verificación.
Exercise (PageIndex{32})
(−4sqrt{45}−4sqrt{20})
Exercise (PageIndex{33})
(2sqrt{18} − sqrt{8})
- Answer
-
(2sqrt{18}−sqrt{8} = 2sqrt{3^2 cdot 2}−sqrt{2^2 cdot 2} = 6sqrt{2}−2sqrt{2} = (6−2)sqrt{2} = 4sqrt{2})
Verificación.
Exercise (PageIndex{34})
(−sqrt{20}+4sqrt{45})
Exercise (PageIndex{35})
(−5sqrt{27}+5sqrt{12})
- Answer
-
(−5sqrt{27}+5sqrt{12} = −5sqrt{3^2 cdot 3}+5sqrt{2^2 cdot 3} = −15sqrt{3}+10sqrt{3} = (−15+10)sqrt{3} = −5sqrt{3})
Verificación.
Exercise (PageIndex{36})
(3sqrt{12}−2sqrt{27})
Exercise (PageIndex{37})
(4sqrt{20}+4sqrt{45})
- Answer
-
(4sqrt{20}+4sqrt{45} = 4sqrt{2^2 cdot 5}+4sqrt{3^2 cdot 5} = 8sqrt{5}+12sqrt{5} = (8+12)sqrt{5} =20sqrt{5})
Verificación.
Exercise (PageIndex{38})
(−2sqrt{18}−5sqrt{8})
Exercise (PageIndex{39})
(2sqrt{45}+5sqrt{20})
- Answer
-
(2sqrt{45}+5sqrt{20} = 2sqrt{3^2 cdot 5}+5sqrt{2^2 cdot 5} = 6sqrt{5}+10sqrt{5} = 16sqrt{5})
Verificación.
Exercise (PageIndex{40})
(3sqrt{27}−4sqrt{12})
In Exercises 41 – 48 , simplify each of the given rational expressions. Place your final answer in simple radical form. Check your result with your calculator.
Exercise (PageIndex{41})
(sqrt{2}−frac{1}{sqrt{2}})
- Answer
-
Place the second term in simple radical form.
(sqrt{2}−frac{1}{sqrt{2}} = sqrt{2}−frac{1}{sqrt{2}} cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = sqrt{2}−frac{sqrt{2}}{sqrt{4}} = sqrt{2}−frac{sqrt{2}}{2})
Write each term over a common denominator of 2.
(sqrt{2}−frac{sqrt{2}}{2} = sqrt{2} cdot frac{2}{2}−frac{sqrt{2}}{2} = frac{2sqrt{2}}{2}−frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{2}}{2})
Verificación.
Exercise (PageIndex{42})
(3sqrt{3}−frac{3}{sqrt{3}})
Exercise (PageIndex{43})
(2sqrt{2}−frac{2}{sqrt{2}})
- Answer
-
Place the second term in simple radical form.
(2sqrt{2}−frac{2}{sqrt{2}} = 2sqrt{2}−frac{2}{sqrt{2}} cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = 2sqrt{2}−frac{2sqrt{2}}{sqrt{4}})
Continuing,
(2sqrt{2}−frac{2sqrt{2}}{sqrt{4}} = 2sqrt{2}−frac{2sqrt{2}}{2} = 2sqrt{2}−sqrt{2} = sqrt{2})
Verificación.
Exercise (PageIndex{44})
(4sqrt{5}−frac{5}{sqrt{5}})
Exercise (PageIndex{45})
(5sqrt{2}+frac{3}{sqrt{2}})
- Answer
-
Place the second term in simple radical form.
(5sqrt{2}+frac{3}{sqrt{2}} = 5sqrt{2}+frac{3}{sqrt{2}} cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = 5sqrt{2}+frac{3sqrt{2}}{sqrt{4}} = 5sqrt{2}+frac{3sqrt{2}}{2})
Write equivalent fractions with a common denominator and add.
(sqrt{2}+frac{3sqrt{2}}{2} = 5sqrt{2} cdot frac{2}{2}+frac{3sqrt{2}}{2} = frac{10sqrt{2}}{2}+frac{3sqrt{2}}{2} = frac{13sqrt{2}}{2})
Verificación.
Exercise (PageIndex{46})
(6sqrt{3}+frac{2}{sqrt{3}})
Exercise (PageIndex{47})
(sqrt{8}−frac{12}{sqrt{2}}−3sqrt{2})
- Answer
-
Place the first and second terms in simple radical form.
(sqrt{8}−frac{12}{sqrt{2}}−3sqrt{2} = sqrt{4}sqrt{2}−frac{12}{sqrt{2}} cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}}−3sqrt{2} = 2sqrt{2}−frac{12sqrt{2}}{2}−3sqrt{2})
Reduce the fractional second term, then combine like terms.
(2sqrt{2}−frac{12sqrt{2}}{2}−3sqrt{2} = 2sqrt{2}−6sqrt{2}−3sqrt{2} = −7sqrt{2})
Verificación.
Exercise (PageIndex{48})
(sqrt{27}−frac{6}{sqrt{3}}−5sqrt{3})
In Exercises 49 – 60 , multiply to expand each of the given radical expressions. Place your final answer in simple radical form. Use your calculator to check your result.
Exercise (PageIndex{49})
((2+sqrt{3})(3−sqrt{3}))
- Answer
-
Distribute the second factor times each term of the first factor, then apply the distributive property a second time.
((2+sqrt{3})(3−sqrt{3})=2(3−sqrt{3})+sqrt{3}(3−sqrt{3})=6−2sqrt{3}+3sqrt{3}−sqrt{9})
Simplify and combine like terms.
(6−2sqrt{3}+3sqrt{3}−sqrt{9}=6−2sqrt{3}+3sqrt{3}−3=3+sqrt{3})
Verificación.
Exercise (PageIndex{50})
((5+sqrt{2})(2−sqrt{2}))
Exercise (PageIndex{51})
((4+3sqrt{2})(2−5sqrt{2}))
- Answer
-
Use the distributive property to multiply the second factor times each term of the first factor, then use the distributive property a second time.
((4+3sqrt{2})(2−5sqrt{2}) = 4(2−5sqrt{2})+3sqrt{2}(2−5sqrt{2}) = 8−20sqrt{2}+6sqrt{2}−15sqrt{4})
Simplify, then combine like terms.
(8−20sqrt{2}+6sqrt{2}−15sqrt{4}=8−20sqrt{2}+6sqrt{2}−30=−22−14sqrt{2})
Verificación.
Exercise (PageIndex{52})
((3+5sqrt{3})(1−2sqrt{3}))
Exercise (PageIndex{53})
((2+3sqrt{2})(2−3sqrt{2}))
- Answer
-
Here we use the difference of squares pattern: ((a+b)(a−b) = a^2−b^2).
((2+3sqrt{2})(2−3sqrt{2}) = (2)^2−(3sqrt{2})^2)
Recall that ((ab)^2 = a^{2}b^2).
((2)^2 −(3sqrt{2})^2 =4−(3)^{2}(sqrt{2})^2 = 4−9 cdot 2 = 4−18 = −14)
Verificación.
Exercise (PageIndex{54})
((3 + 2sqrt{5})(3 − 2sqrt{5}))
Exercise (PageIndex{55})
((2sqrt{3}+3sqrt{2})(2sqrt{3}−3sqrt{2}))
- Answer
-
Here we use the difference of squares pattern: ((a+b)(a−b) = a^2−b^2).
((2sqrt{3}+3sqrt{2})(2sqrt{3}−3sqrt{2}) = (2sqrt{3})^2−(3sqrt{2})^2)
Recall that ((ab)^2 = a^{2}b^2).
((2sqrt{3})^2 −(3sqrt{2})^2 =(2)^2(sqrt{3})^2−(3)^{2}(sqrt{2})^2 = 4 cdot 3−9 cdot 2 = 12−18 = −6)
Verificación.
Exercise (PageIndex{56})
((8sqrt{2}+sqrt{5})(8sqrt{2}−sqrt{5}))
Exercise (PageIndex{57})
((2+sqrt{5})^2)
- Answer
-
Here we use the squaring a binomial pattern: ((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2).
Recall that ((ab)^2 = a^{2}b^2).
((2+sqrt{5})^2 = (2)^2+2(2)(sqrt{5})+(sqrt{5})^2 = 4+4sqrt{5}+5 = 9+4sqrt{5})
Verificación.
Exercise (PageIndex{58})
((3−sqrt{2})^2)
Exercise (PageIndex{59})
((sqrt{3}−2sqrt{5})^2)
- Answer
-
Here we use the squaring a binomial pattern: ((a−b)^2 = a^2−2ab+b^2).
Recall that ((ab)^2 = a^{2}b^2).
((sqrt{3}−2sqrt{5})^2 = (sqrt{3})^2−2(sqrt{3})(2sqrt{5})+(2sqrt{5})^2 = 3−4sqrt{15}+ 4 cdot 5 = 3−4sqrt{15}+20 = 23−4sqrt{15})
Verificación.
Exercise (PageIndex{60})
((2sqrt{3} + 3sqrt{2})^2)
In Exercises 61 – 68 , place each of the given rational expressions in simple radical form by “rationalizing the denominator.” Check your result with your calculator.
Exercise (PageIndex{61})
(frac{1}{sqrt{5}+sqrt{3}})
- Answer
-
Multiply numerator and denominator by (sqrt{5}−sqrt{3}). Recall the difference of squares pattern: ((a+b)(a−b)=a^2−b^2).
(frac{1}{sqrt{5}+sqrt{3}} = frac{1}{sqrt{5}+sqrt{3}} cdot frac{sqrt{5}−sqrt{3}}{sqrt{5}−sqrt{3}} = frac{sqrt{5}−sqrt{3}}{(sqrt{5})^2−(sqrt{3})^2})
Continuing.
(frac{sqrt{5}−sqrt{3}}{(sqrt{5})^2−(sqrt{3})^2} = frac{sqrt{5}−sqrt{3}}{5−3} = frac{sqrt{5}−sqrt{3}}{2})
Verificación.
Exercise (PageIndex{62})
(frac{1}{2sqrt{3}−2})
Exercise (PageIndex{63})
(frac{6}{2sqrt{5}−sqrt{2}})
- Answer
-
Multiply numerator and denominator by (2sqrt{5}+sqrt{2}). Recall the difference of squares pattern: ((a+b)(a−b)=a^2−b^2).
(frac{6}{2sqrt{5}−sqrt{2}} = frac{6}{2sqrt{5}−sqrt{2}} cdot frac{2sqrt{5}+sqrt{2}}{2sqrt{5}+sqrt{2}} = frac{12sqrt{5}+6sqrt{2}}{(2sqrt{5})^2−(sqrt{2})^2})
Continuing.
(frac{12sqrt{5}+6sqrt{2}}{(2sqrt{5})^2−(sqrt{2})^2} = frac{12sqrt{5}+6sqrt{2}}{20−2} = frac{12sqrt{5}−6sqrt{2}}{18}).
Reduce. Factor the numerator and denominator and cancel.
(frac{12sqrt{5}−6sqrt{2}}{18} = frac{6(2sqrt{5}−sqrt{2})}{6 cdot 3} = frac{2sqrt{5}−sqrt{2}}{3}).
Verificación.
Exercise (PageIndex{64})
(frac{9}{3sqrt{3}−sqrt{6}})
Exercise (PageIndex{65})
(frac{2+sqrt{3}}{2−sqrt{3}})
- Answer
-
Multiply numerator and denominator by (2+sqrt{3}).
(frac{2+sqrt{3}}{2−sqrt{3}} = frac{2+sqrt{3}}{2−sqrt{3}} cdot frac{2+sqrt{3}}{2+sqrt{3}} = frac{(2+sqrt{3})^2}{(2−sqrt{3})(2−sqrt{3})}).
Use the squaring a binomial pattern ((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2) on the numerator and the difference of squares pattern ((a+b)(a−b) = a^2−b^2) on the denominator.
(frac{(2+sqrt{3})^2}{(2−sqrt{3})(2−sqrt{3})} = frac{(2)^2+2(2)(sqrt{3})+(sqrt{3})^2}{2^2−(sqrt{3})^2}).
Continuing.
(frac{(2)^2+2(2)(sqrt{3})+(sqrt{3})^2}{2^2−(sqrt{3})^2} = frac{4+4sqrt{3}+3}{4−3} = 7+4sqrt{3})
Verificación.
Exercise (PageIndex{66})
(frac{3−sqrt{5}}{3+sqrt{5}})
Exercise (PageIndex{67})
(frac{sqrt{3}+sqrt{2}}{sqrt{3}−sqrt{2}})
- Answer
-
Multiply numerator and denominator by (sqrt{3}+sqrt{2}).
(frac{sqrt{3}+sqrt{2}}{sqrt{3}−sqrt{2}} = frac{sqrt{3}+sqrt{2}}{sqrt{3}−sqrt{2}} cdot frac{sqrt{3}+sqrt{2}}{sqrt{3}+sqrt{2}} = frac{(sqrt{3}+sqrt{2})^2}{(sqrt{3}−sqrt{2})(sqrt{3}+sqrt{2})}).
Use the squaring a binomial pattern ((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2) on the numerator and the difference of squares pattern ((a+b)(a−b) = a^2−b^2) on the denominator.
(frac{(sqrt{3}+sqrt{2})^2}{(sqrt{3}−sqrt{2})(sqrt{3}+sqrt{2})}= frac{(sqrt{3})^2+2(sqrt{3})(sqrt{2})+(sqrt{2})^2}{(sqrt{3})^2−(sqrt{2})^2}).
Continuing.
(frac{(sqrt{3})^2+2(sqrt{3})(sqrt{2})+(sqrt{2})^2}{(sqrt{3})^2−(sqrt{2})^2} = frac{3+2sqrt{6}+2}{3−2} = 5+2sqrt{6})
Verificación.
Exercise (PageIndex{68})
(frac{2sqrt{3}+sqrt{2}}{sqrt{3}−sqrt{2}})
In Exercises 69 – 76 , use the quadratic formula to find the solutions of the given equation. Place your solutions in simple radical form and reduce your solutions to lowest terms.
Exercise (PageIndex{69})
(3x^2−8x=5)
- Answer
-
The equation is nonlinear, so make one side zero.
(3x^2−8x−5=0)
Compare (3x^2−8x−5 = 0) with (ax^2+bx+c = 0) and note that a = 3, b = −8, and c = −5. Write down the quadratic formula and substitute.
(x = frac{−b pm sqrt{b^2−4ac}}{2a} = frac{−(−8) pm sqrt{ (−8)^2 −4(3)(−5)}}{2(3)} = frac{8 pm sqrt{124}}{6})
Factor a perfect square from the radical in the numerator.
(x = frac{8 pm sqrt{4}sqrt{31}}{6} = frac{8 pm 2sqrt{31}}{6})
Factor the numerator and cancel.
(x = frac{8 pm 2sqrt{31}}{6} = frac{2(4 pm sqrt{31})}{2 cdot 3} = frac{4 pm sqrt{31}}{3})
Exercise (PageIndex{70})
(5x^2−2x=1)
Exercise (PageIndex{71})
(5x^2=2x+1)
- Answer
-
The equation is nonlinear, so make one side zero.
(5x^2−2x−1=0)
Compare (5x^2−2x−1 = 0) with (ax^2+bx+c = 0) and note that a = 5, b = −2, and c = −1. Write down the quadratic formula and substitute.
(x = frac{−b pm sqrt{b^2−4ac}}{2a} = frac{−(−2) pm sqrt{ (−2)^2 −4(5)(−1)}}{2(5)} = frac{2 pm sqrt{24}}{10})
Factor a perfect square from the radical in the numerator.
(x = frac{2 pm sqrt{4}sqrt{6}}{10} = frac{2 pm 2sqrt{6}}{10})
Factor the numerator and cancel.
(x = frac{2 pm 2sqrt{6}}{10} = frac{2(1 pm sqrt{6})}{2 cdot 5} = frac{1 pm sqrt{6}}{5})
Exercise (PageIndex{72})
(3x^2−2x=11)
Exercise (PageIndex{73})
(7x^2=6x+2)
- Answer
-
The equation is nonlinear, so make one side zero.
(7x^2−6x−2=0)
Compare (7x^2−6x−2 = 0) with (ax^2+bx+c = 0) and note that a = 7, b = −6, and c = −2. Write down the quadratic formula and substitute.
(x = frac{−b pm sqrt{b^2−4ac}}{2a} = frac{−(−6) pm sqrt{ (−6)^2 −4(7)(−2)}}{2(7)} = frac{6 pm sqrt{92}}{14})
Factor a perfect square from the radical in the numerator.
(x = frac{6 pm sqrt{4}sqrt{23}}{14} = frac{6 pm 2sqrt{23}}{14})
Factor the numerator and cancel.
(x = frac{6 pm 2sqrt{23}}{14} = frac{2(3 pm sqrt{23})}{2 cdot 7} = frac{6 pm sqrt{23}}{7})
Exercise (PageIndex{74})
(11x^2+6x=4)
Exercise (PageIndex{75})
(x^2=2x+19)
- Answer
-
The equation is nonlinear, so make one side zero.
(x^2−2x−19=0)
Compare (x^2−2x−19 = 0) with (ax^2+bx+c = 0) and note that a = 1, b = −2, and c = −19. Write down the quadratic formula and substitute.
(x = frac{−b pm sqrt{b^2−4ac}}{2a} = frac{−(−2) pm sqrt{ (−2)^2 −4(1)(−19)}}{2(1)} = frac{2 pm sqrt{80}}{2})
Factor a perfect square from the radical in the numerator.
(x = frac{2 pm sqrt{16}sqrt{5}}{2} = frac{2 pm 4sqrt{5}}{2})
Factor the numerator and cancel.
(x = frac{2 pm 4sqrt{5}}{2} = frac{2(1 pm 2sqrt{5})}{2 cdot 1} = 1 pm 2sqrt{5})
Exercise (PageIndex{76})
(100x^2=40x−1)
In Exercises 77 – 80 , we will suspend the usual rule that you should rationalize the denominator. Instead, just this one time, rationalize the numerator of the resulting expression.
Exercise (PageIndex{77})
Given (f(x) = sqrt{x}), evaluate the expression (frac{f(x)−f(2)}{x−2}), and then “rationalize the numerator.”
- Answer
-
If (f(x) = sqrt{x}), then
(frac{f(x)−f(2)}{x−2} = frac{sqrt{x}−sqrt{2}}{x−2}).
To “rationalize the numerator,” multiply numerator and denominator by (sqrt{x}+sqrt{2}), then use the difference of squares pattern to simplify.
(frac{sqrt{x}−sqrt{2}}{x−2} = frac{sqrt{x}−sqrt{2}}{x−2} cdot frac{sqrt{x}+sqrt{2}}{sqrt{x}+sqrt{2}} = frac{(sqrt{x})^2−(sqrt{2})^2}{(x−2)(sqrt{x}+sqrt{2})} = frac{x−2}{(x−2)(sqrt{x}+sqrt{2})})
Numerator and denominator are factored, so we can cancel,
(frac{x−2}{(x−2)(sqrt{x}+sqrt{2})} = frac{1}{sqrt{x}+sqrt{2}}),
provided, of course, that (x ne 2).
Exercise (PageIndex{78})
Given (f(x) = sqrt{x+2}), evaluate the expression (frac{f(x)−f(3)}{x−3}), and then “rationalize the numerator.”
Exercise (PageIndex{79})
Given (f(x) = sqrt{x}), evaluate the expression (frac{f(x+h)−f(x)}{h}), and then “rationalize the numerator.”
- Answer
-
If (f(x) = sqrt{x}), then
(frac{f(x+h)−f(x)}{h} = frac{sqrt{x+h}−sqrt{x}}{h})
To “rationalize the numerator,” multiply numerator and denominator by (sqrt{x+h}+sqrt{x}), then use the difference of squares pattern to simplify.
(frac{sqrt{x+h}−sqrt{x}}{h} = frac{sqrt{x+h}−sqrt{x}}{h} cdot frac{sqrt{x+h}+sqrt{x}}{sqrt{x+h}+sqrt{x}} = frac{(sqrt{x+h})^2−(sqrt{x})^2}{h(sqrt{x+h}+sqrt{x})} = frac{x+h−x}{h(sqrt{x+h}+sqrt{x})})
Simplify, then cancel.
(frac{x+h−x}{h(sqrt{x+h}+sqrt{x})} = frac{h}{h(sqrt{x+h}+sqrt{x})} = frac{1}{sqrt{x+h}+sqrt{x}})
The result is valid provided (h ne 0).
Exercise (PageIndex{80})
Given (f(x) = sqrt{x−3}), evaluate the expression (frac{f(x+h)−f(x)}{h}), and then “rationalize the numerator.”