9.4: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

9.4: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

 

Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas en la última sección completando el cuadrado, tomamos los mismos pasos cada vez. Al final del conjunto de ejercicios, es posible que se haya preguntado «¿no hay una manera más fácil de hacer esto?» La respuesta es «sí». Los matemáticos buscan patrones cuando hacen las cosas una y otra vez para facilitar su trabajo. En esta sección derivaremos y usaremos una fórmula para encontrar la solución de una ecuación cuadrática.

 

Ya hemos visto cómo resolver una fórmula para una variable específica «en general», de modo que hagamos los pasos algebraicos solo una vez, y luego usemos la nueva fórmula para encontrar el valor de la variable específica. Ahora veremos los pasos para completar el cuadrado usando la forma general de una ecuación cuadrática para resolver una ecuación cuadrática para (x ) .

 

Comenzamos con la forma estándar de una ecuación cuadrática y la resolvemos para (x ) completando el cuadrado.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          
(ax ^ 2 + bx + c = 0, quad a ne 0 )
Aísle los términos variables en un lado. (ax ^ 2 + bx quad = -c )
Haga que el coeficiente de (x ^ {2} ) sea igual a (1 ), dividiendo por (a ). ( dfrac {ax ^ 2} {a} + dfrac {b} {a} x quad = – dfrac {c} {a} )
Simplificar. (x ^ 2 + dfrac {b} {a} x quad = – dfrac {c} {a} )
Para completar el cuadrado, encuentre ( left ( dfrac {1} {2} cdot dfrac {b} {a} right) ^ {2} ) y agréguelo a ambos lados de la ecuación .
( left ( dfrac {1} {2} dfrac {b} {a} right) ^ {2} = dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} ) (x ^ 2 + dfrac {b} {a} x + { color {rojo} { dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2}}} { color {negro} {= – dfrac {c} {a} , + ,}} { color {rojo} { dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2}}} )
El lado izquierdo es un cuadrado perfecto, factorízalo. ( left (x + dfrac {b} {2a} right) ^ 2 = – dfrac {c} {a} + dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} ) [19459014 ]          
Encuentra el común denominador del lado derecho y escribe fracciones equivalentes con el común denominador. ( left (x + dfrac {b} {2a} right) ^ 2 = dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} – dfrac {c cdot color {red} {4a }} {a cdot color {rojo} {4a}} )
Simplificar. ( left (x + dfrac {b} {2a} right) ^ 2 = dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} – dfrac {4ac} {4a ^ 2} ) [ 19459014]          
Combinar en una fracción. ( left (x + dfrac {b} {2a} right) ^ 2 = dfrac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2} )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (x + dfrac {b} {2a} = pm sqrt { dfrac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}} )
Simplifica el radical. (x + dfrac {b} {2a} = pm dfrac { sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} )
Agregue (- dfrac {b} {2a} ) a ambos lados de la ecuación. (x = – dfrac {b} {2a} pm dfrac { sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} )
Combina los términos en el lado derecho. (x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} )
 

La ecuación final se llama «Fórmula cuadrática».

 
 

Definición ( PageIndex {1} ): Fórmula cuadrática

 

Las soluciones a una ecuación cuadrática de la forma (ax ^ {2} + b x + c = 0 ), donde (a ≠ 0 ) están dadas por la fórmula: [ 19459005]  

[x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} label {quad} ]

 
 

Para usar la Fórmula cuadrática , sustituimos los valores de (a, b ) y (c ) de la forma estándar en la expresión en el lado derecho de la fórmula. Luego simplificamos la expresión. El resultado es el par de soluciones a la ecuación cuadrática.

 

Observe que la fórmula cuadrática (Ecuación ref {quad}) es una ecuación. Asegúrate de usar ambos lados de la ecuación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ) Cómo resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (2 x ^ {2} +9 x-5 = 0 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                      
Paso 1 : Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar. Identifique los valores de (a, b, c ). Esta ecuación está en forma estándar. ( begin {alineado} color {rojo} {ax ^ {2} + b x + c = 0} \ 2 x ^ {2} +9 x-5 = 0 \ a = 2, b = 9, c = -5 end {alineado} )
Paso 2 : Escribe la fórmula cuadrática. Luego, sustituya los valores de (a, b, c ). Sustituir en (a = 2, b = 9, c = -5 ) (x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} )
(x = dfrac {-9 pm sqrt { 9 ^ {2} -4 cdot 2 cdot (-5)}} {2 cdot 2} )
Paso 3 : Simplifica la fracción y resuelve (x ). ( begin {array} {l} {x = dfrac {-9 pm sqrt {81 – (- 40)}} {4}} \ {x = dfrac {-9 pm sqrt {121}} {4}} \ {x = dfrac {-9 pm 11} {4}} \ {x = dfrac {-9 + 11} {4}} quad x = dfrac {-9-11} {4} \ {x = dfrac {2} {4} quad quad : : : x = dfrac {-20} {4}} \ {x = dfrac {1} {2} quad quad : : : x = -5} end {array} )
Paso 4 : Verifique las soluciones. Ponga cada respuesta en la ecuación original para verificar. Sustituya (x = color {red} { dfrac {1} {2}} ) y (x = color {red} {- 5} ).              

( begin {alineado} 2 x ^ {2} +9 x-5 & = 0 \ 2 color {negro} { left ( color {rojo} { dfrac {1} {2}} right)} ^ {2} +9 cdot color {red} { dfrac {1} {2}} color {black} {-} 5 & stackrel {?} {=} 0 \ 2 cdot dfrac {1} {4} +0 cdot dfrac {1} {2} -5 & stackrel {?} {=} 0 \ 2 cdot dfrac {1} {4} +9 cdot dfrac {1} {2} -5 & stackrel {?} {=} 0 \ dfrac {1} {2} + dfrac {9} {2} -5 & stackrel {?} {=} 0 \ dfrac {10} {2} -5 & stackrel {?} {=} 0 \ 5-5 & stackrel {?} {=} 0 \ 0 & = 0 end {alineado} )

             

( begin {array} {r} {2 x ^ {2} +9 x-5 = 0} \ {2 ( color {red} {- 5} color {black} {)} ^ {2} +9 ( color {rojo} {- 5} color {negro} {)} – 5 stackrel {?} {=} 0} \ {2 cdot 25-45-5 stackrel { ?} {=} 0} \ {50-45-5 stackrel {?} {=} 0} \ {0 = 0} end {array} )

             
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (3 y ^ {2} -5 y + 2 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = 1, y = dfrac {2} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (4 z ^ {2} +2 z-6 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(z = 1, z = – dfrac {3} {2} )

     
 
 
 
 

HowTo: Resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática

 
         
  1. Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar, (a x ^ {2} + b x + c = 0 ). Identifique los valores de (a, b ) y (c ).
  2.      
  3. Escribe la fórmula cuadrática. Luego, sustituya los valores de (a, b ) y (c ).
  4.      
  5. Simplifica.
  6.      
  7. Verifique las soluciones.
  8.  
 
 

Si dice la fórmula a medida que la escribe en cada problema, ¡la memorizará de inmediato! Y recuerde, la Fórmula Cuadrática es una ECUACIÓN. Asegúrese de comenzar con » (x = )».

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (x ^ {2} -6 x = -5 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
             

(x ^ {2} -6 x = -5 )

             
Escribe la ecuación en forma estándar agregando (5 ) a cada lado.              

(x ^ {2} -6 x + 5 = 0 )

             
Esta ecuación ahora está en forma estándar.              

({ color {rojo} { small {ax ^ 2 + bx + c} = small {0}}} )
(x ^ 2 – 6x + 5 = 0 ) [ 19459005]              

Identifique los valores de ( color {cyan} a ), ( color {red} b ), ( color {limegreen} c ). ({ color {cyan} a = 1} ), ({ color {red} b = -6} ), ({ color {limegreen} c = 5} ) [19459014 ]          
Escribe la fórmula cuadrática.              

(x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} )

             
Luego sustituye los valores de (a, b, c ).              

(x = dfrac {- color {rojo} (-6) color {negro} pm sqrt { color {rojo} (- 6) color {negro} ^ {2} -4 cdot color {cyan} 1 color {black} cdot ( color {limegreen} 5 color {black})}} {2 cdot color {cyan} 1} )

             
Simplificar.              

(x = dfrac {6 pm sqrt {36-20}} {2} )

             

(x = dfrac {6 pm sqrt {16}} {2} )

             

(x = dfrac {6 pm 4} {2} )

             
Reescribe para mostrar dos soluciones.              

(x = frac {6 + 4} {2}, quad x = frac {6-4} {2} )

             
Simplificar.              

(x = frac {10} {2}, quad x = frac {2} {2} )

             
(x = 5, quad x = 1 )
             

Comprobar:

             
.
             
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (a ^ {2} -2 a = 15 ).

 
     
Respuesta
     
     

(a = -3, a = 5 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (b ^ {2} + 24 = -10 b ).

 
     
Respuesta
     
     

(b = -6, b = -4 )

     
 
 
 

Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas usando la Propiedad de la raíz cuadrada, a veces obtuvimos respuestas que tenían radicales. Eso también puede suceder cuando se usa la Fórmula cuadrática . Si obtenemos un radical como solución, la respuesta final debe tener el radical en su forma simplificada.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (2 x ^ {2} +10 x + 11 = 0 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Esta ecuación está en forma estándar. .
Identifique los valores de (a, b ) y (c ). .
Escribe la fórmula cuadrática.              

(x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} )

             
Luego, sustituye los valores de (a, b ) y (c ). .
Simplificar.              

(x = dfrac {-10 pm sqrt {100-88}} {4} )

             
             

(x = dfrac {-10 pm sqrt {12}} {4} )

             
Simplifica el radical.              

(x = dfrac {-10 pm 2 sqrt {3}} {4} )

             
Factoriza el factor común en el numerador.              

.

             

(x = dfrac { color {rojo} {2} (- 5 pm sqrt {3})} {4} )

             
Eliminar los factores comunes.              

(x = dfrac {-5 pm sqrt {3}} {2} )

             
Reescribe para mostrar dos soluciones.              

(x = dfrac {-5+ sqrt {3}} {2}, quad x = dfrac {-5- sqrt {3}} {2} )

             
             

Comprobar:

             

¡Te dejamos el cheque!

             
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (3 m ^ {2} +12 m + 7 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(m = dfrac {-6+ sqrt {15}} {3}, m = dfrac {-6- sqrt {15}} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (5 n ^ {2} +4 n-4 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(n = dfrac {-2 + 2 sqrt {6}} {5}, n = dfrac {-2-2 sqrt {6}} {5} )

     
 
 
 

Cuando sustituimos (a, b ) y (c ) en la Fórmula cuadrática y el radical y es negativo, la ecuación cuadrática tendrá soluciones imaginarias o complejas. Lo veremos en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (3 p ^ {2} +2 p + 9 = 0 ).

 

Solución :

 

Tabla 9.3.5

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (4 a ^ {2} -2 a + 8 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(a = dfrac {1} {4} + dfrac { sqrt {31}} {4} i, quad a = dfrac {1} {4} – dfrac { sqrt {31 }} {4} i )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

   

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (5 b ^ {2} +2 b + 4 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(b = – dfrac {1} {5} + dfrac { sqrt {19}} {5} i, quad b = – dfrac {1} {5} – dfrac { sqrt {19}} {5} i )

     
 
 
 

Recuerde, para usar la fórmula cuadrática, la ecuación debe escribirse en forma estándar, (a x ^ {2} + b x + c = 0 ). A veces, tendremos que hacer un poco de álgebra para obtener la ecuación en forma estándar antes de que podamos usar la fórmula cuadrática.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (x (x + 6) + 4 = 0 ).

 

Solución :

 

Nuestro primer paso es obtener la ecuación en forma estándar.

 

Tabla 9.3.6

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (x (x + 2) −5 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = -1 + sqrt {6}, x = -1- sqrt {6} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (3y (y − 2) −3 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = 1 + sqrt {2}, y = 1- sqrt {2} )

     
 
 
 

Cuando resolvimos ecuaciones lineales, si una ecuación tenía demasiadas fracciones, las borramos al multiplicar ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD. Esto nos dio una ecuación equivalente, sin fracciones, para resolver. Podemos usar la misma estrategia con ecuaciones cuadráticas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: ( dfrac {1} {2} u ^ {2} + dfrac {2} {3} u = dfrac {1} {3} ).

 

Solución :

 

Nuestro primer paso es eliminar las fracciones.

 

Tabla 9.3.7

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: ( dfrac {1} {4} c ^ {2} – dfrac {1} {3} c = dfrac {1} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

(c = dfrac {2+ sqrt {7}} {3}, quad c = dfrac {2- sqrt {7}} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: ( dfrac {1} {9} d ^ {2} – dfrac {1} {2} d = – dfrac {1} {3} ).

 
     
Respuesta
     
     

(d = dfrac {9+ sqrt {33}} {4}, d = dfrac {9- sqrt {33}} {4} )

     
 
 
 

Piensa en la ecuación ((x-3) ^ {2} = 0 ). Sabemos por la Propiedad del producto cero que esta ecuación tiene una sola solución, (x = 3 ).

 

Veremos en el siguiente ejemplo cómo usar la Fórmula cuadrática para resolver una ecuación cuya forma estándar es un cuadrado perfecto trinomio igual a (0 ) da solo una solución . Tenga en cuenta que una vez que el radicando se simplifica se convierte en (0 ), lo que conduce a una sola solución.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (4 x ^ {2} -20 x = -25 ).

 

Solución :

 

Tabla 9.3.8

 

¿Reconociste que (4 x ^ {2} -20 x + 25 ) es un trinomio cuadrado perfecto? ¿Es equivalente a ((2 x-5) ^ {2} )? Si resuelve (4 x ^ {2} -20 x + 25 = 0 ) factorizando y luego usando la propiedad de raíz cuadrada, ¿obtiene el mismo resultado?

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (r ^ {2} +10 r + 25 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(r = -5 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Resuelve usando la fórmula cuadrática: (25 t ^ {2} -40 t = -16 ).

 
     
Respuesta
     
     

(t = dfrac {4} {5} )

     
 
 
 
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