Objetivos de aprendizaje
- Encuentra la razón común para una secuencia geométrica.
- Enumera los términos de una secuencia geométrica.
- Usa una fórmula recursiva para una secuencia geométrica.
- Use una fórmula explícita para una secuencia geométrica.
Muchos trabajos ofrecen un aumento anual del costo de vida para mantener los salarios consistentes con la inflación. Supongamos, por ejemplo, que un recién graduado universitario encuentra un puesto como gerente de ventas ganando un salario anual de ($ 26,000 ). Se le promete un (2 % ) aumento de costo de vida cada año. Se puede encontrar su salario anual en cualquier año multiplicando su salario del año anterior por (102 % ). Su salario será ($ 26,520 ) después de un año; ($ 27,050.40 ) después de dos años; ($ 27,591.41 ) después de tres años; y así. Cuando un salario aumenta a una tasa constante cada año, el salario crece por un factor constante. En esta sección, revisaremos las secuencias que crecen de esta manera.
Encontrar razones comunes
Los valores salariales anuales descritos forman una secuencia geométrica porque cambian por un factor constante cada año. Cada término de una secuencia geométrica aumenta o disminuye en un factor constante llamado índice común . La secuencia a continuación es un ejemplo de una secuencia geométrica porque cada término aumenta en un factor constante de 6. Multiplicar cualquier término de la secuencia por la razón común 6 genera el término subsiguiente.
Definición: SECUENCIA GEOMÉTRICA
Una secuencia geométrica es aquella en la que cualquier término dividido por el término anterior es una constante. Esta constante se llama cociente común de la secuencia. La razón común se puede encontrar dividiendo cualquier término de la secuencia por el término anterior. Si (a_1 ) es el término inicial de una secuencia geométrica y (r ) es la razón común, la secuencia será
[ {a_1, a_1r, a_1r ^ 2, a_1r ^ 3, … }. ]
Cómo: dado un conjunto de números, determinar si representan una secuencia geométrica.
- Divide cada término por el término anterior.
- Compara los cocientes. Si son iguales, existe una relación común y la secuencia es geométrica.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar razones comunes
¿Es la secuencia geométrica? Si es así, encuentre la razón común.
- (1 ), (2 ), (4 ), (8 ), (16 ), …
- (48 ), (12 ), (4 ), (2 ), …
Solución
Divida cada término por el término anterior para determinar si existe una razón común.
- ( dfrac {2} {1} = 2 ) ( dfrac {4} {2} = 2 ) ( dfrac {8} {4} = 2 ) ( dfrac { 16} {8} = 2 )
La secuencia es geométrica porque hay una relación común. La razón común es (2 ).
- ( dfrac {12} {48} = dfrac {1} {4} ) ( dfrac {4} {12} = dfrac {1} {3} ) ( dfrac { 2} {4} = dfrac {1} {2} )
La secuencia no es geométrica porque no hay una relación común.
Análisis
El gráfico de cada secuencia se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). Parece de los gráficos que tanto (a) como (b) aparecen tienen la forma del gráfico de una función exponencial en esta ventana de visualización. Sin embargo, sabemos que (a) es geométrico y, por lo tanto, esta interpretación es válida, pero (b) no lo es.
Preguntas y respuestas
Si le dicen que una secuencia es geométrica, ¿tiene que dividir cada término por el término anterior para encontrar la razón común?
No. Si sabe que la secuencia es geométrica, puede elegir cualquier término de la secuencia y dividirlo por el término anterior para encontrar la razón común.
Ejercicio ( PageIndex {1A} )
¿Es la secuencia geométrica? Si es así, encuentre la razón común.
(5 ), (10 ), (15 ), (20 ), …
- Respuesta
-
La secuencia no es geométrica porque ( dfrac {10} {5} ≠ dfrac {15} {10} )
Ejercicio ( PageIndex {1B} )
¿Es la secuencia geométrica? Si es así, encuentre la razón común.
(100 ), (20 ), (4 ), ( dfrac {4} {5} ), …
- Respuesta
-
La secuencia es geométrica. La razón común es ( dfrac {1} {5} )
Escribir términos de secuencias geométricas
Ahora que podemos identificar una secuencia geométrica, aprenderemos cómo encontrar los términos de una secuencia geométrica si se nos da el primer término y la razón común. Los términos de una secuencia geométrica se pueden encontrar comenzando con el primer término y multiplicándolo por la razón común repetidamente. Por ejemplo, si el primer término de una secuencia geométrica es (a_1 = −2 ) y la razón común es (r = 4 ), podemos encontrar términos subsiguientes multiplicando (- 2⋅4 ) para obtener (- 8 ) luego multiplica el resultado (- 8⋅4 ) para obtener (- 32 ) y así sucesivamente.
[ begin {align *} a_1 & = −2 \ a_2 & = (−2⋅4) = – 8 \ a_3 & = (−8⋅4) = – 32 \ a_4 & = ( −32⋅4) = 128 end {align *} ]
Los primeros cuatro términos son ( {- 2, –8, –32, –128 } ).
Cómo: dado el primer término y el factor común, encontrar los primeros cuatro términos de una secuencia geométrica.
- Multiplique el término inicial, (a_1 ), por la razón común para encontrar el siguiente término, (a_2 ).
- Repita el proceso, usando (a_n = a_2 ) para encontrar (a_3 ) y luego use (a_3 ) para encontrar (a_4 ), hasta que se hayan identificado los cuatro términos.
- Escribe los términos separados por comunes entre paréntesis.
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Escribir los términos de una secuencia geométrica
Enumere los primeros cuatro términos de la secuencia geométrica con (a_1 = 5 ) y (r = –2 ).
Solución
Multiplica (a_1 ) por (- 2 ) para encontrar (a_2 ). Repita el proceso, usando (a_2 ) para encontrar (a_3 ), y así sucesivamente.
[ begin {align *} a_1 & = 5 \ a_2 & = −2a_1 = −10 \ a_3 & = −2a_2 = 20 \ a_4 & = −2a_3 = −40 end {align *} ]
Los primeros cuatro términos son ( {5, –10,20, –40 } ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Enumere los primeros cinco términos de la secuencia geométrica con (a_1 = 18 ) y (r = dfrac {1} {3} ).
- Respuesta:
-
( left {18, 6, 2, dfrac {2} {3}, dfrac {2} {9} right } )
Uso de fórmulas recursivas para secuencias geométricas
Una fórmula recursiva nos permite encontrar cualquier término de una secuencia geométrica utilizando el término anterior. Cada término es el producto de la razón común y el término anterior. Por ejemplo, suponga que la razón común es (9 ). Entonces cada término es nueve veces el término anterior. Como con cualquier fórmula recursiva, se debe dar el término inicial.
Nota: FÓRMULA RECURSIVA PARA UNA SECUENCIA GEOMÉTRICA
La fórmula recursiva para una secuencia geométrica con relación común r y primer término (a_1 ) es
[a_n = ra_ {n − 1}, ; ; ; n≥2 ]
Cómo: dados los primeros términos de una secuencia geométrica, escribe su fórmula recursiva.
- Indique el término inicial.
- Encuentra la razón común dividiendo cualquier término por el término precedente.
- Sustituye la razón común en la fórmula recursiva para una secuencia geométrica.
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de fórmulas recursivas para secuencias geométricas
Escribe una fórmula recursiva para la siguiente secuencia geométrica.
( {6, 9, 13.5, 20.25, … } nonumber )
Solución
El primer término se da como (6 ). La razón común se puede encontrar dividiendo el segundo término por el primer término.
(r = dfrac {9} {6} = 1.5 nonumber )
Sustituye la razón común en la fórmula recursiva para secuencias geométricas y define (a_1 ).
[ begin {align *} a_n & = ra_ {n − 1} \ a_n & = 1.5a_ {n − 1} text {for} n≥2 \ a_1 & = 6 end {align *} ]
Análisis
La secuencia de puntos de datos sigue un patrón exponencial. La razón común también es la base de una función exponencial como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).
Preguntas y respuestas
¿Tenemos que dividir el segundo término por el primer término para encontrar la razón común?
No. Podemos dividir cualquier término de la secuencia por el término anterior. Sin embargo, es más común dividir el segundo término por el primer término porque a menudo es el método más fácil de encontrar la razón común.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Escribe una fórmula recursiva para la siguiente secuencia geométrica.
( {2, 43, 89, 1627, … } )
- Respuesta
-
( begin {align *} a_1 & = 2 \ a_n & = dfrac {2} {3} a_ {n − 1} text {for} n≥2 end {align *} )
Uso de fórmulas explícitas para secuencias geométricas
Debido a que una secuencia geométrica es una función exponencial cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, y la razón común es la base de la función, podemos escribir fórmulas explícitas que nos permitan encontrar términos particulares.
[a_n = a_1r ^ {n − 1} ]
Veamos la secuencia ( {18, 36, 72, 144, 288, … } ). Esta es una secuencia geométrica con una relación común de (2 ) y una función exponencial con una base de (2 ). Una fórmula explícita para esta secuencia es
(a_n = 18 · 2 ^ {n − 1} )
El gráfico de la secuencia se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).
FÓRMULA EXPLÍCITA PARA UNA SECUENCIA GEOMÉTRICA
El término (n ^ {th} ) de una secuencia geométrica viene dado por la fórmula explícita :
[a_n = a_1r ^ {n − 1} ]
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Escribir términos de secuencias geométricas usando la fórmula explícita
Dada una secuencia geométrica con (a_1 = 3 ) y (a_4 = 24 ), encuentre (a_2 ).
Solución
La secuencia se puede escribir en términos del término inicial y la razón común (r ).
(3 ), (3r ), (3r ^ 2 ), (3r ^ 3 ), …
Encuentra la razón común usando el cuarto término dado.
[ begin {align *} a_n & = a_1r ^ {n-1} \ a_4 & = 3r ^ 3 qquad text {Escriba el cuarto término de secuencia en términos de} alpha_1 text {y} r \ 24 & = 3r ^ 3 qquad text {Sustituir} 24 text {for} a_4 \ 8 & = r ^ 3 qquad text {Divide} \ r & = 2 qquad text {Resuelva la razón común } end {align *} ]
Encuentra el segundo término multiplicando el primer término por la razón común.
[ begin {align *} a_2 & = 2 \ a_1 & = 2 (3) \ & = 6 end {align *} ]
Análisis
La razón común se multiplica por el primer término una vez para encontrar el segundo término, dos veces para encontrar el tercer término, tres veces para encontrar el cuarto término y así sucesivamente. El décimo término se puede encontrar multiplicando el primer término por la razón común nueve veces o multiplicando por la razón común elevada a la novena potencia.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Dada una secuencia geométrica con (a_2 = 4 ) y (2a_3 = 32 ), encuentre (a_6 ).
- Respuesta
-
(a_6 = 16,384 )
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Escribir una fórmula explícita para el n término de una secuencia geométrica
Escribe una fórmula explícita para el enésimo término de la siguiente secuencia geométrica.
( {2, 10, 50, 250, … } )
Solución
El primer término es (2 ). La razón común se puede encontrar dividiendo el segundo término por el primer término.
( dfrac {10} {2} = 5 )
La razón común es (5 ). Sustituya la razón común y el primer término de la secuencia en la fórmula.
[ begin {align *} a_n & = a_1r ^ {(n − 1)} \ a_n & = 2⋅5 ^ {n − 1} end {align *} ]
El gráfico de esta secuencia en la Figura ( PageIndex {4} ) muestra un patrón exponencial.
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Escribe una fórmula explícita para la siguiente secuencia geométrica.
( {- 1, 3, –9, 27, … } )
- Respuesta
-
(a_n = – {(- 3)} ^ {n − 1} )
Solución de problemas de aplicación con secuencias geométricas
En escenarios del mundo real que involucran secuencias aritméticas, es posible que necesitemos usar un término inicial de (a_0 ) en lugar de (a_1 ). En estos problemas, podemos alterar ligeramente la fórmula explícita utilizando la siguiente fórmula:
(a_n = a_0r ^ n )
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Resolución de problemas de aplicación con secuencias geométricas
En 2013, el número de estudiantes en una escuela pequeña es (284 ). Se estima que la población estudiantil aumentará en (4 % ) cada año.
- Escribe una fórmula para la población estudiantil.
- Estima la población estudiantil en 2020.
Solución
-
La situación puede ser modelada por una secuencia geométrica con un término inicial de (284 ). La población estudiantil será (104 % ) del año anterior, por lo que la proporción común es (1.04 ).
Sea (P ) la población estudiantil y (n ) el número de años después de 2013. Usando la fórmula explícita para una secuencia geométrica obtenemos
(P_n = 284⋅ {1.04} ^ n )
-
Podemos encontrar el número de años desde 2013 restando.
(2020−2013 = 7 )
Estamos buscando la población después de (7 ) años. Podemos sustituir (7 ) por (n ) para estimar la población en 2020.
(P_7 = 284⋅ {1.04} ^ 7≈374 )
La población estudiantil será de aproximadamente (374 ) en 2020.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Una empresa inicia un nuevo sitio web. Inicialmente, el número de visitas es (293 ) debido al factor de curiosidad. El negocio estima que el número de visitas aumentará en (2.6% ) por semana.
- Escribe una fórmula para el número de visitas.
- Estima el número de visitas en (5 ) semanas.
- Responda a
-
(P_n = 293⋅1.026a ^ n )
- Respuesta b
-
El número de visitas será aproximadamente (333 ).
Medios
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con secuencias geométricas.
Ecuaciones clave
|
fórmula recursiva para el enésimo término de una secuencia geométrica |
(a_n = ra_ {n − 1} ), (n≥2 ) |
|
fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia geométrica |
(a_n = a_1r ^ {n − 1} ) |
Conceptos clave
- Una secuencia geométrica es una secuencia en la que la relación entre dos términos consecutivos es una constante.
- La razón constante entre dos términos consecutivos se llama razón común.
- La razón común se puede encontrar dividiendo cualquier término de la secuencia por el término anterior. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
- Los términos de una secuencia geométrica se pueden encontrar comenzando con el primer término y multiplicando por la razón común repetidamente. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {2} ) y el Ejemplo ( PageIndex {4} ).
- Una fórmula recursiva para una secuencia geométrica con relación común (r ) viene dada por (a_n = ra_ {n – 1} ) para (n≥2 ).
- Como con cualquier fórmula recursiva, se debe dar el término inicial de la secuencia. Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).
- (a_n = a_1r ^ {n – 1} ) proporciona una fórmula explícita para una secuencia geométrica con relación común (r ). Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
- En problemas de aplicación, a veces modificamos la fórmula explícita ligeramente a (a_n = a_0r ^ n ). Ver Ejemplo ( PageIndex {6} ).