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las matematicas

9.4: Usar propiedades de ángulos, triángulos y el teorema de Pitágoras (Parte 1)

Hasta ahora en este capítulo, nos hemos centrado en resolver problemas de palabras, que son similares a muchas aplicaciones del álgebra en el mundo real. En las próximas secciones, aplicaremos nuestras estrategias de resolución de problemas a algunos problemas de geometría comunes.

Usa las propiedades de los ángulos

 

¿Está familiarizado con la frase “hacer 180”? Significa girar para que mire hacia la dirección opuesta. Viene del hecho de que la medida de un ángulo que forma una línea recta es de 180 grados. Ver Figura ( PageIndex {1} ).

 

The image is a straight line with an arrow on each end. There is a dot in the center. There is an arrow pointing from one side of the dot to the other, and the angle is marked as 180 degrees.

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

Un ángulo está formado por dos rayos que comparten un punto final común. Cada rayo se llama un lado del ángulo y el punto final común se llama vértice . Un ángulo se llama por su vértice. En la Figura ( PageIndex {2} ), ∠A es el ángulo con vértice en el punto A. La medida de ∠A se escribe m ∠ A.

 

The image is an angle made up of two rays. The angle is labeled with letter A.

 

Figura ( PageIndex {2} ) – ∠ A es el ángulo con vértice en el punto A.

 

Medimos ángulos en grados y usamos el símbolo ° para representar grados. Usamos la abreviatura m para la medida de un ángulo. Entonces, si ∠A es 27 °, escribiríamos m ∠ A = 27.

 

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180 °, entonces se denominan ángulos suplementarios . En la Figura ( PageIndex {3} ), cada par de ángulos es suplementario porque sus medidas suman 180 °. Cada ángulo es el suplemento del otro.

 

Part a shows a 120 degree angle next to a 60 degree angle. Together, the angles form a straight line. Below the image, it reads 120 degrees plus 60 degrees equals 180 degrees. Part b shows a 45 degree angle attached to a 135 degree angle. Together, the angles form a straight line. Below the image, it reads 45 degrees plus 135 degrees equals 180 degrees.

 

Figura ( PageIndex {3} ) – La suma de las medidas de ángulos suplementarios es 180 °.

 

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90 °, entonces los ángulos son ángulos complementarios . En la Figura ( PageIndex {4} ), cada par de ángulos es complementario, porque sus medidas suman 90 °. Cada ángulo es el complemento del otro.

 

Part a shows a 50 degree angle next to a 40 degree angle. Together, the angles form a right angle. Below the image, it reads 50 degrees plus 40 degrees equals 90 degrees. Part b shows a 60 degree angle attached to a 30 degree angle. Together, the angles form a right angle. Below the image, it reads 60 degrees plus 30 degrees equals 90 degrees.

 

Figura ( PageIndex {4} ) – La suma de las medidas de ángulos complementarios es 90 °.

 
 

Definición: ángulos suplementarios y complementarios

 

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180 °, entonces los ángulos son suplementarios.

 

Si ∠A y ∠B son suplementarios, entonces m∠A + m∠B = 180 °.

 

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90 °, entonces los ángulos son complementarios.

 

Si ∠A y ∠B son complementarios, entonces m∠A + m∠B = 90 °.

 
 

En esta sección y en la siguiente, se le presentarán algunas fórmulas de geometría comunes. Adaptaremos nuestra estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría. La fórmula de geometría nombrará las variables y nos dará la ecuación para resolver.

 

Además, dado que todas estas aplicaciones involucrarán formas geométricas, será útil dibujar una figura y luego etiquetarla con la información del problema. Incluiremos este paso en la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría.

 
 

CÓMO: USAR UNA ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARA APLICACIONES DE GEOMETRÍA

 

Paso 1. Lea el problema y asegúrese de comprender todas las palabras e ideas. Dibuja una figura y etiquétala con la información dada.

 

Paso 2. Identifica lo que estás buscando

 

Paso 3. Nombre lo que está buscando y elija una variable para representarlo.

 

Paso 4. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.

 

Paso 5. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.

 

Paso 6. Verifique la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.

 

Paso 7. Responda la pregunta con una oración completa.

 
 

El siguiente ejemplo mostrará cómo puede usar la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría para responder preguntas sobre ángulos complementarios y complementarios.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Un ángulo mide 40 °. Encuentre (a) su suplemento y (b) su complemento.

 

Solución

 

(a)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_03_047_img-01.png
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el suplemento de un 40 °
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea s = la medida del suplemento
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada. $$ m ángulo A + m ángulo B = 180 $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ begin {split} s + 40 & = 180 \ s & = 140 end {split} $$
Paso 6. Verificar. $$ begin {split} 140 + 40 & stackrel {?} {=} 180 \ 180 & = 180 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta. El suplemento del ángulo de 40 ° es 140 °.
 

(b)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_03_048_img-01.png
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el complemento de un 40 °
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea c = la medida del complemento
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada. $$ m ángulo A + m ángulo B = 90 $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ begin {split} c + 40 & = 90 \ c & = 50 end {split} $$
Paso 6. Verificar. $$ begin {split} 50 + 40 & stackrel {?} {=} 90 \ 90 & = 90 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta. El suplemento del ángulo de 40 ° es 50 °.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Un ángulo mide 25 °. Encuentre (a) su suplemento y (b) su complemento.

 
     
Responda a
     
     

155 °

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

65 °

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Un ángulo mide 77 °. Encuentre (a) su suplemento y (b) su complemento.

 
     
Responda a
     
     

103 °

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

13 °

     
 
 
 

¿Notó que las palabras complementarias y suplementarias están en orden alfabético al igual que 90 y 180 están en orden numérico?

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Dos ángulos son suplementarios. El ángulo más grande es 30 ° más que el ángulo más pequeño. Encuentra la medida de ambos ángulos.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_03_049_img-01.png
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. las medidas de ambos ángulos
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.              

deje a = medida del ángulo más pequeño

             

a + 30 = medida de ángulo mayor

             
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada. $$ m ángulo A + m ángulo B = 180 $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ begin {split} (a + 30) + a & = 180 \ 2a + 30 & = 180 \ 2a & = 150 \ a & = 75 quad measure ; de; menor; ángulo \ a & + 30 quad measure ; de; mayor ; ángulo \ 75 y + 30 \ y 105 end {split} $$
Paso 6. Verificar. $$ begin {split} m angle A + m angle B & = 180 \ 75 + 105 & stackrel {?} {=} 180 \ 180 & = 180 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta. Las medidas de los ángulos son 75 ° y 105 °.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Dos ángulos son suplementarios. El ángulo más grande es 100 ° más que el ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de ambos ángulos.

 
     
Respuesta
     
     

40 °, 140 °

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Dos ángulos son complementarios. El ángulo más grande es 40 ° más que el ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de ambos ángulos.

 
     
Respuesta
     
     

25 °, 65 °

     
 
 
 
 

Usa las propiedades de los triángulos

 

¿Qué sabes sobre los triángulos? Triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Los triángulos se nombran por sus vértices. El triángulo en la Figura ( PageIndex {5} ) se llama ΔABC, lea ‘triángulo ABC’. Rotulamos cada lado con una letra minúscula para que coincida con la letra mayúscula del vértice opuesto.

 

The vertices of the triangle on the left are labeled A, B, and C. The sides are labeled a, b, and c.

 

Figura ( PageIndex {5} ) – ΔABC tiene vértices A, B y C y lados a, b y c.

 

Los tres ángulos de un triángulo están relacionados de una manera especial. La suma de sus medidas es 180 °.

 

$$ m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 ° $$

 
 

Definición: Suma de las medidas de los ángulos de un triángulo

 

Para cualquier ΔABC, la suma de las medidas de los ángulos es 180 °.

 

$$ m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 ° $$

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 55 ° y 82 °. Encuentra la medida del tercer ángulo.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_03_050_img-01.png
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. la medida del tercer ángulo en un triángulo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. let x = la medida del ángulo
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada. $$ m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ begin {split} 55 + 82 + x & = 180 \ 137 + x & = 180 \ x & = 43 end {split} $$
Paso 6. Verificar. $$ begin {split} 55 + 82 + 43 & stackrel {?} {=} 180 \ 180 & = 180 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta. La medida del tercer ángulo es de 43 grados.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 31 ° y 128 °. Encuentra la medida del tercer ángulo.

 
     
Respuesta
     
     

21 °

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Un triángulo tiene ángulos de 49 ° y 75 °. Encuentra la medida del tercer ángulo.

 
     
Respuesta
     
     

56 °

     
 
 
 
 

Triángulos rectángulos

 

Algunos triángulos tienen nombres especiales. Primero veremos el triángulo rectángulo . Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 °, que a menudo está marcado con el símbolo que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

 

A right triangle is shown. The right angle is marked with a box and labeled 90 degrees.

 

Figura ( PageIndex {6} )

 

Si sabemos que un triángulo es un triángulo rectángulo, sabemos que un ángulo mide 90 °, por lo que solo necesitamos la medida de uno de los otros ángulos para determinar la medida del tercer ángulo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 28 °. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_03_051_img-01.png
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. la medida de un ángulo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. let x = la medida del ángulo
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada. $$ m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ begin {split} x + 90 + 28 & = 180 \ x + 118 & = 180 \ x & = 62 end {split} $$
Paso 6. Verificar. $$ begin {split} 180 & stackrel {?} {=} 90 + 28 + 62 \ 180 & = 180 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta. La medida del tercer ángulo es 62 °.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 56 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?

 
     
Respuesta
     
     

34 °

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 45 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?

 
     
Respuesta
     
     

45 °

     
 
 
 

En los ejemplos hasta ahora, podríamos dibujar una figura y etiquetarla directamente después de leer el problema. En el siguiente ejemplo, tendremos que definir un ángulo en términos de otro. Así que esperaremos para dibujar la figura hasta que escribamos expresiones para todos los ángulos que estamos buscando.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 20 ° más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. las medidas de los tres ángulos
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. Ahora dibuje la figura y etiquétela con la información dada.              

Sea a = 1 st ángulo

             

a + 20 = 2 nd ángulo

             

90 = 3 rd ángulo (el ángulo recto)

             

CNX_BMath_Figure_09_03_052_img-04.png

             
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada. $$ begin {split} m angle A + m angle B + m angle C & = 180 \ a + (a + 20) + 90 & = 180 end {split} $$ [19459027 ]          
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ begin {split} 2a + 110 & = 180 \ 2a & = 70 \ a & = 35 quad first ; ángulo \ a + & 20 quad segundo ; ángulo \ textcolor {rojo} {35} + & 20 \ & 55 \ & 90 quad tercio ; ángulo final {división} $$
Paso 6. Verificar. $$ begin {split} 35 + 55 + 90 & stackrel {?} {=} 180 \ 180 & = 180 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta. Los tres ángulos miden 35 °, 55 ° y 90 °.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 50 ° más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

 
     
Respuesta
     
     

20 °, 70 °, 90 °

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 30 ° más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

 
     
Respuesta
     
     

30 °, 60 °, 90 °

     
 
 
 
 

Triángulos similares

 

Cuando usamos un mapa para planificar un viaje, un boceto para construir una estantería o un patrón para coser un vestido, estamos trabajando con figuras similares. En geometría, si dos figuras tienen exactamente la misma forma pero diferentes tamaños, decimos que son figuras similares . Uno es un modelo a escala del otro. Los lados correspondientes de las dos figuras tienen la misma relación, y todos sus ángulos correspondientes tienen las mismas medidas.

 

Los dos triángulos en la Figura ( PageIndex {7} ) son similares. Cada lado de ΔABC es cuatro veces la longitud del lado correspondiente de ΔXYZ y sus ángulos correspondientes tienen medidas iguales.

 

Two triangles are shown. They appear to be the same shape, but the triangle on the right is smaller. The vertices of the triangle on the left are labeled A, B, and C. The side across from A is labeled 16, the side across from B is labeled 20, and the side across from C is labeled 12. The vertices of the triangle on the right are labeled X, Y, and Z. The side across from X is labeled 4, the side across from Y is labeled 5, and the side across from Z is labeled 3. Beside the triangles, it says that the measure of angle A equals the measure of angle X, the measure of angle B equals the measure of angle Y, and the measure of angle C equals the measure of angle Z. Below this is the proportion 16 over 4 equals 20 over 5 equals 12 over 3.

 

Figura ( PageIndex {7} ) – ΔABC y ΔXYZ son triángulos similares. Sus lados correspondientes tienen la misma relación y los ángulos correspondientes tienen la misma medida.

 
 

Definición: Propiedades de triángulos similares

 

Si dos triángulos son similares, entonces sus medidas de ángulo correspondientes son iguales y sus longitudes laterales correspondientes están en la misma proporción.

 

...

 
 

La longitud de un lado de un triángulo puede ser referida por sus puntos finales, dos vértices del triángulo. Por ejemplo, en ΔABC:

 

la longitud a también se puede escribir BC

 

la longitud b también se puede escribir AC

 

la longitud c también se puede escribir AB

 

A menudo usaremos esta notación cuando resolvamos triángulos similares porque nos ayudará a unir las longitudes de los lados correspondientes.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

ΔABC y ΔXYZ son triángulos similares. Se muestran las longitudes de dos lados de cada triángulo. Encuentra las longitudes del tercer lado de cada triángulo.

 

Two triangles are shown. They appear to be the same shape, but the triangle on the right is smaller. The vertices of the triangle on the left are labeled A, B, and C. The side across from A is labeled a, the side across from B is labeled 3.2, and the side across from C is labeled 4. The vertices of the triangle on the right are labeled X, Y, and Z. The side across from X is labeled 4.5, the side across from Y is labeled y, and the side across from Z is labeled 3.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. Se proporciona la cifra.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. La longitud de los lados de triángulos similares
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. Sea a = longitud del tercer lado de ΔABC, y = longitud del tercer lado ΔXYZ
Paso 4. Traducir .              

Los triángulos son similares, por lo que los lados correspondientes están en la misma proporción. Entonces $$ dfrac {AB} {XY} = dfrac {BC} {YZ} = dfrac {AC} {XZ} $$ Dado que el lado AB = 4 corresponde al lado XY = 3, usaremos la relación ( dfrac {AB} {XY} = dfrac {4} {3} ) para encontrar los otros lados.

             

Tenga cuidado de hacer coincidir los lados correspondientes correctamente.

             

CNX_BMath_Figure_09_03_057_img-01.png

             
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ begin {split} 3a & = 4 (4.5) qquad ; 4y = 3 (3.2) \ 3a & = 18 qquad qquad 4y = 9.6 \ a & = 6 qquad qquad quad y = 2.4 end {split} $$
Paso 6. Verificar. $$ begin {split} dfrac {4} {3} & stackrel {?} {=} Dfrac { textcolor {red} {6}} {4.5} qquad qquad qquad dfrac {4} {3} stackrel {?} {=} Dfrac {3.2} { textcolor {red} {2.4}} \ 4 (4.5) & stackrel {?} {=} 6 (3) qquad qquad ; 4 (2.4) stackrel {?} {=} 3.2 (3) \ 18 & = 18 ; marca de verificación qquad qquad quad ; 9.6 = 9.6 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta. El tercer lado de ΔABC es 6 y el tercer lado de ΔXYZ es 2.4.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

ΔABC es similar a ΔXYZ. Encontrar un.

 

Two triangles are shown. They appear to be the same shape, but the triangle on the right is larger The vertices of the triangle on the left are labeled A, B, and C. The side across from A is labeled a, the side across from B is labeled 15, and the side across from C is labeled 17. The vertices of the triangle on the right are labeled X, Y, and Z. The side across from X is labeled 12, the side across from Y is labeled y, and the side across from Z is labeled 25.5.

 
     
Respuesta
     
     

a = 8

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

ΔABC es similar a ΔXYZ. Encuentra y.

 

Two triangles are shown. They appear to be the same shape, but the triangle on the right is larger The vertices of the triangle on the left are labeled A, B, and C. The side across from A is labeled a, the side across from B is labeled 15, and the side across from C is labeled 17. The vertices of the triangle on the right are labeled X, Y, and Z. The side across from X is labeled 12, the side across from Y is labeled y, and the side across from Z is labeled 25.5.

 
     
Respuesta
     
     

y = 22,5

     
 
 
 
 
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