Racionalizar un denominador de un término
Antes de que la calculadora se convirtiera en una herramienta de la vida cotidiana, se usaron tablas de raíces cuadradas para encontrar valores aproximados de raíces cuadradas. La figura muestra una porción de una tabla de cuadrados y raíces cuadradas. Las raíces cuadradas se aproximan a cinco decimales en esta tabla.
Si alguien necesitaba aproximar una fracción con una raíz cuadrada en el denominador, significaba hacer una división larga con un divisor de cinco decimales. Este fue un proceso muy engorroso.
Por esta razón, se desarrolló un proceso llamado racionalizar el denominador. Una fracción con un radical en el denominador se convierte en una fracción equivalente cuyo denominador es un entero. Este proceso todavía se usa hoy y también es útil en otras áreas de las matemáticas.
Definición: RACIONALIZANDO EL DENOMINADOR
El proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador en una fracción equivalente cuyo denominador es un entero se llama racionalizando el denominador .
Veamos un ejemplo numérico.
[ begin {array} {ll} { text {Supongamos que necesitamos un valor aproximado para la fracción.}} & { Frac {1} { sqrt {2}}} \ { text { Una aproximación de cinco decimales a} sqrt {2} text {is} 1.41421} & { frac {1} {1.41421}} \ { text {Sin una calculadora, ¿le gustaría hacer esta división?}} & {1.41421) overline {1.0}} \ nonumber end {array} ]
Pero podemos encontrar una fracción equivalente a ( frac {1} { sqrt {2}} ) multiplicando el numerador y el denominador por ( sqrt {2} ).
Ahora, si necesitamos un valor aproximado, dividimos (2) overline {1.41421} ). Esto es mucho más fácil
Aunque tenemos calculadoras disponibles en casi todas partes, una fracción con un radical en el denominador todavía debe racionalizarse. No se considera simplificado si el denominador contiene una raíz cuadrada.
Del mismo modo, una raíz cuadrada no se considera simplificada si el radicando contiene una fracción.
Definición: RAÍCES CUADRADAS SIMPLIFICADAS
Una raíz cuadrada se considera simplificada si hay
- sin factores de cuadrado perfecto en el radio y
- sin fracciones en el radio y
- sin raíces cuadradas en el denominador de una fracción
Para racionalizar un denominador, usamos la propiedad que (( sqrt {a}) ^ 2 = a ). Si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada irracional, obtenemos un número racional.
Usaremos esta propiedad para racionalizar el denominador en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {19} )
Simplifique: ( frac {4} { sqrt {3}} ).
- Respuesta
-
Para eliminar la raíz cuadrada del denominador, la multiplicamos por sí misma. Para mantener las fracciones equivalentes, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.
( frac {4} { sqrt {3}} ) Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt {3} ) ( frac {4 · sqrt {3}} { sqrt {3} · sqrt {3}} ) Simplifica. ( frac {4 sqrt {3}} {3} )
Ejemplo ( PageIndex {20} )
Simplifique: ( frac {5} { sqrt {3}} ).
- Respuesta
-
( frac {5 sqrt {3}} {3} )
Ejemplo ( PageIndex {21} )
Simplifique: ( frac {6} { sqrt {5}} ).
- Respuesta
-
( frac {6 sqrt {5}} {5} )
Ejemplo ( PageIndex {22} )
Simplifique: (- frac {8} {3 sqrt {6}} )
- Respuesta
-
Para eliminar la raíz cuadrada del denominador, la multiplicamos por sí misma. Para mantener las fracciones equivalentes, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por ( sqrt {6} ).
Ejemplo ( PageIndex {23} )
Simplifique: ( frac {5} {2 sqrt {5}} ).
- Respuesta
-
( frac { sqrt {5}} {2} )
Ejemplo ( PageIndex {24} )
Simplifique: (- frac {9} {4 sqrt {3}} ).
- Respuesta
-
(- frac {3 sqrt {3}} {4} )
Siempre simplifica primero el radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta manera, los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar.
Ejemplo ( PageIndex {25} )
Simplifique: ( sqrt { frac {5} {12}} ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {26} )
Simplifique: ( sqrt { frac {7} {18}} ).
- Respuesta
-
( frac { sqrt {14}} {6} )
Ejemplo ( PageIndex {27} )
Simplifique: ( sqrt { frac {3} {32}} ).
- Respuesta
-
( frac { sqrt {6}} {8} )
Ejemplo ( PageIndex {28} )
Simplifique: ( sqrt { frac {11} {28}} )
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {29} )
Simplifique: ( sqrt { frac {3} {27}} ).
- Respuesta
-
( frac {1} {3} )
Ejemplo ( PageIndex {30} )
Simplifique: ( sqrt { frac {10} {50}} )
- Respuesta
-
( frac { sqrt {5}} {5} )
Racionalizar un denominador de dos términos
Cuando el denominador de una fracción es una suma o diferencia con raíces cuadradas, usamos el patrón Producto de conjugados para racionalizar el denominador.
[ begin {array} {ll} {(a − b) (a + b)} & {(2− sqrt {5}) (2+ sqrt {5})} \ {a ^ 2 − b ^ 2} y {2 ^ 2 – ( sqrt {5}) ^ 2} \ {} y {4−5} \ {} y {- 1} \ nonumber end {array { } ]
Cuando multiplicamos un binomio que incluye una raíz cuadrada por su conjugado, el producto no tiene raíces cuadradas.
Ejemplo ( PageIndex {31} )
Simplifique: ( frac {4} {4+ sqrt {2}} ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {32} )
Simplifique: ( frac {2} {2+ sqrt {3}} ).
- Respuesta
-
( frac {2 (2− sqrt {3})} {1} )
Ejemplo ( PageIndex {33} )
Simplifique: ( frac {5} {5+ sqrt {3}} ).
- Respuesta
-
( frac {5 (5− sqrt {3})} {22} )
Ejemplo ( PageIndex {34} )
Simplifique: ( frac {5} {2− sqrt {3}} ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {35} )
Simplifique: ( frac {3} {1− sqrt {5}} ).
- Respuesta
-
(- frac {3 (1+ sqrt {5})} {4} )
Ejemplo ( PageIndex {36} )
Simplifique: ( frac {2} {4− sqrt {6}} ).
- Respuesta
-
( frac {4+ sqrt {6}} {5} )
Ejemplo ( PageIndex {37} )
Simplifique: ( frac { sqrt {3}} { sqrt {u} – sqrt {6}} ).
- Respuesta
-
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. 
Multiplica los conjugados en el denominador. 
Simplifica el denominador. 
Ejemplo ( PageIndex {38} )
Simplifique: ( frac { sqrt {5}} { sqrt {x} + sqrt {2}} ).
- Respuesta
-
( frac { sqrt {5} ( sqrt {x} – sqrt {2})} {x − 2} )
Ejemplo ( PageIndex {39} )
Simplifique: ( frac { sqrt {10}} { sqrt {y} – sqrt {3}} ).
- Respuesta
-
( frac { sqrt {10} ( sqrt {y} + sqrt {3})} {y − 3} )
Ejemplo ( PageIndex {40} )
Simplifique: ( frac { sqrt {x} + sqrt {7}} { sqrt {x} – sqrt {7}} ).
- Respuesta
-
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. 
Multiplica los conjugados en el denominador. 
Simplifica el denominador. 
No cuadramos el numerador. En forma factorizada, podemos ver que no hay factores comunes para eliminar del numerador y el denominador.
Ejemplo ( PageIndex {41} )
Simplifique: ( frac { sqrt {p} + sqrt {2}} { sqrt {p} – sqrt {2}} ).
- Respuesta
-
( frac {( sqrt {p} + sqrt {2}) ^ 2} {p − 2} )
Ejemplo ( PageIndex {42} )
Simplifique: ( frac { sqrt {q} – sqrt {10}} { sqrt {q} + sqrt {10}} ).
- Respuesta
-
( frac {( sqrt {q} – sqrt {10}) ^ 2} {q − 10} )
Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales para dividir y racionalizar.