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las matematicas

9.5: Dividir raíces cuadradas

Racionalizar un denominador de un término

 

Antes de que la calculadora se convirtiera en una herramienta de la vida cotidiana, se usaron tablas de raíces cuadradas para encontrar valores aproximados de raíces cuadradas. La figura muestra una porción de una tabla de cuadrados y raíces cuadradas. Las raíces cuadradas se aproximan a cinco decimales en esta tabla.

 
This table has three solumn and eleven rows. The columns are labeled, “n,” “n squared,” and “the square root of n.” Under the column labeled “n” are the following numbers: 200; 201; 202; 203; 204; 205; 206; 207; 208; 209; and 210. Under the column labeled, “n squared” are the following numbers: 40,000; 40,401; 40,804; 41,209; 41,616; 42,025; 42,436; 42,849; 43,264; 43,681; 44,100. Under the column labeled, “the square root of n” are the following numbers: 14.14214; 14.17745; 14.21267; 14.24781; 14.28286; 14.31782; 14.35270; 14.38749; 14.42221; 14.45683; 14.49138.  
Se usó una tabla de raíces cuadradas para encontrar valores aproximados de raíces cuadradas antes de que hubiera calculadoras.
 
 

Si alguien necesitaba aproximar una fracción con una raíz cuadrada en el denominador, significaba hacer una división larga con un divisor de cinco decimales. Este fue un proceso muy engorroso.

 

Por esta razón, se desarrolló un proceso llamado racionalizar el denominador. Una fracción con un radical en el denominador se convierte en una fracción equivalente cuyo denominador es un entero. Este proceso todavía se usa hoy y también es útil en otras áreas de las matemáticas.

 
 

Definición: RACIONALIZANDO EL DENOMINADOR

 

El proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador en una fracción equivalente cuyo denominador es un entero se llama racionalizando el denominador .

 
  Las raíces cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos son números irracionales. Cuando racionalizamos el denominador , escribimos una fracción equivalente con un número racional en el denominador.  

Veamos un ejemplo numérico.

 

[ begin {array} {ll} { text {Supongamos que necesitamos un valor aproximado para la fracción.}} & { Frac {1} { sqrt {2}}} \ { text { Una aproximación de cinco decimales a} sqrt {2} text {is} 1.41421} & { frac {1} {1.41421}} \ { text {Sin una calculadora, ¿le gustaría hacer esta división?}} & {1.41421) overline {1.0}} \ nonumber end {array} ]

   

Pero podemos encontrar una fracción equivalente a ( frac {1} { sqrt {2}} ) multiplicando el numerador y el denominador por ( sqrt {2} ).

 This figure shows three fractions. The first fraction is 1 over the square root of 2. The second is 1 times the square root of 2 over the square root of 2 times the square root of 2. The third shows the square root of 2 over 2.  

Ahora, si necesitamos un valor aproximado, dividimos (2) overline {1.41421} ). Esto es mucho más fácil

 

Aunque tenemos calculadoras disponibles en casi todas partes, una fracción con un radical en el denominador todavía debe racionalizarse. No se considera simplificado si el denominador contiene una raíz cuadrada.

 

Del mismo modo, una raíz cuadrada no se considera simplificada si el radicando contiene una fracción.

 
 

Definición: RAÍCES CUADRADAS SIMPLIFICADAS

 

Una raíz cuadrada se considera simplificada si hay

 
         
  • sin factores de cuadrado perfecto en el radio y
  •      
  • sin fracciones en el radio y
  •      
  • sin raíces cuadradas en el denominador de una fracción
  •  
 
 

Para racionalizar un denominador, usamos la propiedad que (( sqrt {a}) ^ 2 = a ). Si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada irracional, obtenemos un número racional.

 

Usaremos esta propiedad para racionalizar el denominador en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Simplifique: ( frac {4} { sqrt {3}} ).

 
     
Respuesta
     
     

Para eliminar la raíz cuadrada del denominador, la multiplicamos por sí misma. Para mantener las fracciones equivalentes, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

                                                                                                                                                                                                                              
( frac {4} { sqrt {3}} )
Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt {3} ) ( frac {4 · sqrt {3}} { sqrt {3} · sqrt {3}} )
Simplifica. ( frac {4 sqrt {3}} {3} )
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Simplifique: ( frac {5} { sqrt {3}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {5 sqrt {3}} {3} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Simplifique: ( frac {6} { sqrt {5}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {6 sqrt {5}} {5} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Simplifique: (- frac {8} {3 sqrt {6}} )

 
     
Respuesta
     
     

Para eliminar la raíz cuadrada del denominador, la multiplicamos por sí misma. Para mantener las fracciones equivalentes, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por ( sqrt {6} ).

          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Simplifique: ( frac {5} {2 sqrt {5}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac { sqrt {5}} {2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Simplifique: (- frac {9} {4 sqrt {3}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {3 sqrt {3}} {4} )

     
 
 
 

Siempre simplifica primero el radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta manera, los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( sqrt { frac {5} {12}} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Simplifique: ( sqrt { frac {7} {18}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac { sqrt {14}} {6} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Simplifique: ( sqrt { frac {3} {32}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac { sqrt {6}} {8} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Simplifique: ( sqrt { frac {11} {28}} )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Simplifique: ( sqrt { frac {3} {27}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {3} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Simplifique: ( sqrt { frac {10} {50}} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac { sqrt {5}} {5} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Racionalizar un denominador de dos términos

 

Cuando el denominador de una fracción es una suma o diferencia con raíces cuadradas, usamos el patrón Producto de conjugados para racionalizar el denominador.

 

[ begin {array} {ll} {(a − b) (a + b)} & {(2− sqrt {5}) (2+ sqrt {5})} \ {a ^ 2 − b ^ 2} y {2 ^ 2 – ( sqrt {5}) ^ 2} \ {} y {4−5} \ {} y {- 1} \ nonumber end {array { } ]

 

Cuando multiplicamos un binomio que incluye una raíz cuadrada por su conjugado, el producto no tiene raíces cuadradas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {31} )

 

Simplifique: ( frac {4} {4+ sqrt {2}} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

Simplifique: ( frac {2} {2+ sqrt {3}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2 (2− sqrt {3})} {1} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

Simplifique: ( frac {5} {5+ sqrt {3}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {5 (5− sqrt {3})} {22} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {34} )

 

Simplifique: ( frac {5} {2− sqrt {3}} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {35} )

 

Simplifique: ( frac {3} {1− sqrt {5}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {3 (1+ sqrt {5})} {4} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {36} )

 

Simplifique: ( frac {2} {4− sqrt {6}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {4+ sqrt {6}} {5} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {37} )

 

Simplifique: ( frac { sqrt {3}} { sqrt {u} – sqrt {6}} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. .
Multiplica los conjugados en el denominador. .
Simplifica el denominador. .
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {38} )

 

Simplifique: ( frac { sqrt {5}} { sqrt {x} + sqrt {2}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac { sqrt {5} ( sqrt {x} – sqrt {2})} {x − 2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {39} )

 

Simplifique: ( frac { sqrt {10}} { sqrt {y} – sqrt {3}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac { sqrt {10} ( sqrt {y} + sqrt {3})} {y − 3} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {40} )

 

Simplifique: ( frac { sqrt {x} + sqrt {7}} { sqrt {x} – sqrt {7}} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. .
Multiplica los conjugados en el denominador. .
Simplifica el denominador. .
No cuadramos el numerador. En forma factorizada, podemos ver que no hay factores comunes para eliminar del numerador y el denominador.
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {41} )

 

Simplifique: ( frac { sqrt {p} + sqrt {2}} { sqrt {p} – sqrt {2}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {( sqrt {p} + sqrt {2}) ^ 2} {p − 2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {42} )

 

Simplifique: ( frac { sqrt {q} – sqrt {10}} { sqrt {q} + sqrt {10}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {( sqrt {q} – sqrt {10}) ^ 2} {q − 10} )

     
 
 
 
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales para dividir y racionalizar.

 
 
 
 
 
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