9.5: Ecuaciones radicales

Ecuaciones radicales

 

En esta sección vamos a resolver ecuaciones que contienen una o más expresiones radicales. En el caso en que podamos aislar la expresión radical en un lado de la ecuación, simplemente podemos elevar ambos lados de la ecuación a una potencia que elimine la expresión radical. Por ejemplo, si

 

( sqrt {x − 1} = 2 ) (1)

 

entonces podemos cuadrar ambos lados de la ecuación, eliminando el radical.

 

( sqrt {x − 1} ^ 2 = (2) ^ 2 )

 

x − 1 = 4

 

Ahora que se elimina el radical, podemos recurrir a técnicas bien entendidas para resolver la ecuación que queda. En este caso, solo necesitamos sumar 1 a ambos lados de la ecuación para obtener

 

x = 5.

 

Esta solución se verifica fácilmente. Sustituya x = 5 en la ecuación original (1) .

 

( sqrt {x − 1} = 2 )

 

( sqrt {5−1} = 2 )

 

( sqrt {4} = 2 )

 

La última línea es válida porque la “raíz cuadrada positiva de 4” es de hecho 2.

 

Esto parece bastante sencillo, pero hay algunas sutilezas. Veamos otro ejemplo, uno con una ecuación bastante similar a la ecuación .

   

Si estudia cuidadosamente la ecuación

 

( sqrt {x − 1} = −2 ) (3)

 

podrías detectar inmediatamente una dificultad. El lado izquierdo de la ecuación requiere una “raíz cuadrada positiva”, pero el lado derecho de la ecuación es negativo. Intuitivamente, no puede haber soluciones.

 

Una mirada a las gráficas de cada lado de la ecuación también revela el problema. Las gráficas de (y = sqrt {x − 1} ) e y = −2 se muestran en Figura 1 . Tenga en cuenta que los gráficos no se cruzan, por lo que la ecuación ( sqrt {x − 1} = −2 ) no tiene solución.

 

Sin embargo, note lo que sucede cuando cuadramos ambos lados de la ecuación (3) .

 

(( sqrt {x – 1}) ^ 2 = (−2) ^ 2 )

 

(x − 1 = 4 ) (4)

 

 

Este resultado es idéntico al resultado que obtuvimos cuando cuadramos ambos lados de la ecuación ( sqrt {x − 1} = 2 ) anterior. Si continuamos, sumando 1 a ambos lados de la ecuación, obtenemos

 

x = 5.

 

Pero esto no puede ser correcto, ya que tanto la intuición como las gráficas en Figura 1 han demostrado que la ecuación ( sqrt {x − 1} = −2 ) no tiene solución.

 

Verifiquemos la solución x = 5 en la ecuación original.

 

( sqrt {x − 1} = −2 )

 

( sqrt {5−1} = −2 )

 

( sqrt {4} = −2 )

 

Debido a que la “raíz cuadrada positiva de 4” no es igual a – 2, esta última línea es incorrecta y la solución x = 5 no registra la ecuación ( sqrt {x − 1} = −2 ). Como la única solución que encontramos no funciona, la ecuación no tiene soluciones.

 

La discusión en Ejemplo 2 dicta precaución.

   

Solo hay una forma de evitar este dilema de ecuaciones extrañas.

   

Cuadrando un binomio

 

Como hemos visto una y otra vez, la cuadratura de un patrón binomial es de suma importancia.

   

La cuadratura de un patrón binomial desempeñará un papel importante en el resto de los ejemplos de esta sección.

 

Veamos algunos ejemplos de su uso.

   

Se supone que (x ge 0 ), de lo contrario, la expresión ( sqrt {x} ) involucra la raíz cuadrada de un número negativo, que no es un número real .

 

La cuadratura de un patrón binomial nos dice que cuadremos el primer y el segundo término. Sin embargo, también hay un término medio, que se encuentra tomando el producto del primer y segundo término, y luego multiplicando el resultado por 2.

 

((1 + sqrt {x}) ^ 2 = (1) ^ 2 + 2 (1) ( sqrt {x}) + ( sqrt {x}) ^ 2 )

 

= (1 + 2 sqrt {x} + x )

 

Veamos otro ejemplo.

   

Para que esta expresión tenga sentido, debemos evitar sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, ambas expresiones bajo las raíces cuadradas deben ser no negativas (positivas o cero). Es decir,

 

[ begin {array} {ccc} {x + 1 ge 0} & { text {and}} y {x ge 0} \ nonumber end {array} ]

 

Resolviendo cada una de estas desigualdades de forma independiente, obtenemos el hecho de que

 

[ begin {array} {ccc} {x ge −1} & { text {and}} y {x ge 0} \ nonumber end {array} ]

 

Debido a la palabra “y”, el dominio solicitado es el conjunto de todos los números que satisfacen ambas desigualdades, a saber, el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales a cero. Es decir, el dominio de la expresión es ({x: x ≥ 0} ).

 

Ahora expandiremos la expresión (( sqrt {x + 1} – sqrt {x}) ^ 2 ) usando la cuadratura de un patrón binomial.

 

(( sqrt {x + 1} – sqrt {x}) ^ 2 = ( sqrt {x + 1}) ^ 2−2 ( sqrt {x + 1}) ( sqrt {x }) + ( sqrt {x}) ^ 2 )

 

= (x + 1 + 2 sqrt {(x + 1) x} + x )

 

= (2x + 1 + 2 sqrt {x ^ 2 + x} )

 

Aislar el radical

 

Nuestro mantra será la frase de estrategia “Aislar al radical”.

   

Aunque esto no siempre es posible (algunas ecuaciones pueden contener más de una expresión radical ), es posible en nuestro próximo ejemplo.

   

Veamos una solución de calculadora gráfica. Hemos cargado los lados izquierdo y derecho de (1+ sqrt {4x + 13} = 2x ) en Y1 e Y2, respectivamente, como se muestra en Figura 2 (a). Luego usamos 6: ZStandard y la utilidad de intersección en el menú CALC para determinar las coordenadas del punto de intersección de (y = 1+ sqrt {4x + 13} ) ey = 2x, como se muestra en Figura 2 (b).

 

 

Ahora presentaremos una solución algebraica, pero tenga en cuenta que se nos advierte que solo hay una solución y creemos que la solución es (x aprox 3 ). Por supuesto, esto es solo una aproximación, como siempre es el caso cuando recogemos nuestra calculadora (nuestra máquina de aproximación).

 

Canta la frase de estrategia “aislar el radical”, luego aislar el radical en un lado de la ecuación. Lograremos esta directiva restando 1 de ambos lados de la ecuación.

 

(1+ sqrt {4x + 13} = 2x )

 

( sqrt {4x + 13} = 2x − 1 )

 

Luego, cuadra ambos lados de la ecuación.

 

(( sqrt {4x + 13}) ^ 2 = (2x − 1) ^ 2 )
La cuadratura elimina el radical de la izquierda, pero debemos usar la cuadratura de un patrón binomial para cuadrar el binomio en el lado derecho de la ecuación.

 

(4x + 13 = (2x) ^ 2−2 (2x) (1) + (1) ^ 2 )

 

(4x + 13 = 4x ^ 2−4x + 1 )

 

Hemos logrado eliminar todas las raíces cuadradas de la ecuación con nuestra estrategia de “aislar al radical”. La ecuación que queda es no lineal (hay una potencia de x mayor que 1), por lo que queremos hacer que un lado de la ecuación sea igual a cero. Haremos esto restando 4x y 13 de ambos lados de la ecuación.

 

(0 = 4x ^ 2−4x + 1−4x − 13 )

 

(0 = 4x ^ 2−8x − 12 )

 

En este punto, tenga en cuenta que cada término en el lado derecho de la ecuación es divisible por 4. Divida ambos lados de la ecuación entre 4, luego use la prueba ac para factorizar el resultado.

 

(0 = x ^ 2−2x − 3 )
0 = (x − 3) (x + 1)

 

Establezca cada factor en el lado derecho de esta última ecuación para obtener las soluciones x = 3 y x = −1.

 

Tenga en cuenta que x = 3 coincide con la solución encontrada al representar gráficamente en Figura 2 (b). Sin embargo, ha aparecido una solución “extra” x = −1. Recuerde que cuadramos ambos lados de la ecuación original, por lo que es posible que se hayan introducido soluciones extrañas. Necesitamos verificar cada una de nuestras soluciones sustituyéndolas en la ecuación original (9) .

 

Nuestro gráfico en Figura 2 (b) agrega credibilidad a la solución analítica x = 3, así que verifiquemos eso primero. Sustituye x = 3 en la ecuación original.

 

(1+ sqrt {4x + 13} = 2x )

 

(1+ sqrt {4 (3) +13} = 2 (3) )

 

(1+ sqrt {25} = 6 )

 

(1 + 5 = 6 )

 

Claramente, x = 3 verifica y es una solución válida.

 

A continuación, verifiquemos la solución “sospechosa” x = – 1 sustituyéndola en la ecuación original.

 

(1+ sqrt {4x + 13} = 2x )

 

(1 + sqrt {4 (−1) + 13} = 2 (−1) )

 

(1+ sqrt {9} = −2 )

 

(1 + 3 = −2 )

 

Claramente, x = −1 no comprueba y no es una solución.

 

Por lo tanto, la única solución de (1+ sqrt {4x + 13} = 2x ) es x = 3. Los lectores deben tomar nota de cómo esa solución gráfica y la solución analítica se complementan entre sí.

 

Antes de ver otro ejemplo, veamos uno de los errores más comunes cometidos en la solución algebraica de la ecuación .

 

Un error algebraico común

 

En esta sección discutimos uno de los errores algebraicos más comunes encontrados al resolver ecuaciones que contienen expresiones radicales.

   

Cuando se presenta la ecuación

 

(1+ sqrt {4x + 13} = 2x ), (11)

 

algunos cuadrarán ambos lados de la ecuación de la siguiente manera.

 

((1) ^ 2 + ( sqrt {4x + 13}) ^ 2 = (2x) ^ 2 ). (12)

 

llegando a

 

(1 + 4x + 13 = 4x ^ 2 ).

 

Pon un lado a cero, luego divide ambos lados de la ecuación resultante por 2.

 

(0 = 4x ^ 2 −4x − 14 )

 

(0 = 2x ^ 2 −2x − 7 )

 

El lector cuidadoso ya se dará cuenta de que hemos recorrido el camino equivocado, ya que este resultado es bastante diferente al de un punto similar en la solución del Ejemplo 8 . Sin embargo, podemos continuar con la solución usando la fórmula cuadrática para resolver la última ecuación para x. Cuando comparamos (2x ^ 2−2x − 7 ) con (ax ^ 2 + bx + c ), tenga en cuenta que a = 2, b = −2 y c = −7. Por lo tanto,

 

(x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )

 

 

= ( frac {- (- 2) pm sqrt {(- 2) ^ 2−4 (2) (- 7)}} {2 (2)} )

 

= ( frac {2 pm sqrt {60}} {4} )

 

Sin embargo, ninguna de estas “soluciones” representa la solución correcta encontrada en Ejemplo 8 , a saber, x = 3. Entonces, ¿qué hemos hecho mal?

 

El error ocurrió en el primer paso cuando cuadramos ambos lados de la ecuación (11) . De hecho, para obtener la ecuación (12) , en realidad no cuadramos ambos lados de la ecuación (11) . Más bien, elevamos al cuadrado cada uno de los términos individuales en cada lado de la ecuación.

 

Esto es un grave error. En esencia, comenzamos con una ecuación que tiene la forma

 

a + b = c, (13)

 

luego cuadró “ambos lados” de la siguiente manera.

 

(a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ). (14)

 

Esto no es válido. Por ejemplo, comience con

 

2 + 3 = 5,

 

una ecuación completamente válida ya que la suma de 2 y 3 es 5. Ahora “cuadrado” como lo hicimos en ecuación (14) para obtener

 

(2 ^ 2 + 3 ^ 2 = 5 ^ 2 ).

 

Sin embargo, tenga en cuenta que esto se simplifica como

 

4 + 9 = 25,

 

por lo que ya no tenemos una ecuación válida.

 

El error cometido aquí es que cuadramos cada uno de los términos individuales en cada lado de la ecuación en lugar de cuadrar “cada lado” de la ecuación. Si hubiéramos hecho eso, estaríamos bien, como se ve en este cálculo.

 

2 + 3 = 5

 

((2 + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 )

 

(2 ^ 2 +2 (2) (3) + 3 ^ 2 = 5 ^ 2 )

 

4 + 12 + 9 = 25

 

Solo recuerda, a + b = c no implica (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ).

   

Más de un radical

 

Veamos una ecuación que contiene más de un radical.

   

Comenzaremos con una solución gráfica de la ecuación. Primero, cargue las ecuaciones (y = sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} ) e y = 3 en el menú Y =, como se muestra en Figura 3 (a).

 

No podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, así que cuando consideramos la función definida por la ecuación (y = sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} ) , ambas expresiones bajo los radicales deben ser no negativas. Es decir,

 

[ begin {array} {ccc} {2x ge 0} & { text {and}} y {2x + 3 ge 0} \ nonumber end {array} ]

 

Resolviendo cada uno de estos independientemente,

 

[ begin {array} {ccc} {x ge 0} & { text {and}} y {x ge – frac {3} {2}} \ nonumber end {array } ]

 

Los números que son mayores o iguales a cero y mayores o iguales a (- frac {3} {2} ) son los números mayores o iguales a cero. Por lo tanto, el dominio de la función definida por la ecuación (y = sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} ) , es {x: (x ge 0 )} . Por lo tanto, no debería sorprendernos cuando la gráfica de (y = sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} ) se encuentra completamente a la derecha de cero, como se muestra en [ 19459010] Figura 3 (b).

 

 

Es un poco difícil ver el punto de intersección en Figura 3 (b), así que ajustemos la configuración de VENTANA como se muestra en Figura 4 (a). Como puede ver Figura 4 (b), esto resalta el punto de intersección un poco más claramente y la utilidad 5: intersect en el menú CALC encuentra el punto de intersección que se muestra en Figura 4 [19459011 ] (b).

 

 

La calculadora gráfica informa una solución (solo hay un punto de intersección), y el valor x del punto de intersección es aproximadamente (x aproximadamente 0,5 ).

 

Ahora, veamos una solución algebraica. Como hay dos expresiones radicales en esta ecuación, aislaremos una de ellas en un lado de la ecuación. Elegimos aislar la más compleja de las dos expresiones radicales en el lado izquierdo de la ecuación, luego cuadramos ambos lados de la ecuación resultante.

 

( sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} = 3 )

 

( sqrt {2x + 3} = 3− sqrt {2x} )

 

(( sqrt {2x + 3}) ^ 2 = (3− sqrt {2x}) ^ 2 )

 

A la izquierda, la cuadratura elimina el radical. Para cuadrar el binomio a la derecha, usamos el cuadrado de un patrón binomial para obtener

 

(2x + 3 = (3) ^ 2−2 (3) ( sqrt {2x}) + ( sqrt {2x}) ^ 2 )

 

(2x + 3 = 9−6 sqrt {2x} + 2x ).

 

Todavía nos queda una expresión radical en el lado derecho de esta ecuación, por lo que seguiremos el mantra “aislar el radical”. Primero, resta 2x de ambos lados de la ecuación para obtener

 

(3 = 9−6 sqrt {2x} ),

 

luego resta 9 de ambos lados de la ecuación.

 

(- 6 = −6 sqrt {2x} ),

 

Hemos logrado aislar el término radical en un lado de la ecuación. Ahora, divide ambos lados de la ecuación entre −6, luego cuadra ambos lados de la ecuación resultante.

 

(1 = sqrt {2x} )

 

((1) ^ 2 = ( sqrt {2x}) ^ 2 )

 

(1 = 2x )

 

Divide ambos lados del último resultado entre 2.

 

(x = frac {1} {2} )

 

Tenga en cuenta que esto concuerda muy bien con nuestra solución gráfica ( (x aproximadamente 0.5 )), pero verifiquemos nuestra solución sustituyendo (x = frac {1} {2} ) en el original ecuación.

 

( sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} = 3 )

 

( sqrt {2 ( frac {1} {2})} + sqrt {2 ( frac {1} {2}) + 3} = 3 )

 

( sqrt {1} + sqrt {4} = 3 )

 

1 + 2 = 3

 

Esta última declaración es verdadera, por lo que la solución (x = frac {1} {2} ) verifica.

   

Ejercicio

 

Para las funciones racionales en Ejercicios 1 – 6 , realice cada una de las siguientes tareas.

 

     
1. Cargue la función fy la línea y = k en su calculadora gráfica. Ajuste la ventana de visualización para que todos los puntos de intersección de los dos gráficos sean visibles en su ventana de visualización.
     
2. Copie la imagen en su ventana de visualización en su papel de tarea. Rotule y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax. Rotula las gráficas con sus ecuaciones. Recuerde dibujar todas las líneas con una regla.
     
3. Use la utilidad de intersección para determinar las coordenadas de los puntos de intersección. Trace el punto de intersección en su papel de tarea y etiquételo con sus coordenadas.
     
4. Resuelve la ecuación f (x) = k algebraicamente. Coloque su trabajo y solución al lado de su gráfico. ¿Están de acuerdo las soluciones?
 

             

En Ejercicios 7 – 12 , usa una técnica algebraica para resolver la ecuación dada. Comprueba tus soluciones.

             

Para las funciones racionales en Ejercicios 13-16 realice cada una de las siguientes tareas.

 

     
1. Cargue la función fy la línea y = k en su calculadora gráfica. Ajuste la ventana de visualización para que todos los puntos de intersección de los dos gráficos sean visibles en su ventana de visualización.
     
2. Copie la imagen en su ventana de visualización en su papel de tarea. Rotule y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax. Rotula las gráficas con sus ecuaciones. Recuerde dibujar todas las líneas con una regla.
     
3. Use la utilidad de intersección para determinar las coordenadas de los puntos de intersección. Trace el punto de intersección en su papel de tarea y etiquételo con sus coordenadas.
     
4. Resuelve la ecuación f (x) = k algebraicamente. Coloque su trabajo y solución al lado de su gráfico. ¿Están de acuerdo las soluciones?
 

         

En Ejercicio17 – 24 , usa una técnica algebraica para resolver la ecuación dada. Comprueba tus soluciones.

                 

Para las funciones racionales en Ejercicios 25 – 28 , realice cada uno de Las siguientes tareas.

 

     
1.      

   Cargue la función fy la línea y = k en su calculadora gráfica. Ajuste la ventana de visualización para que todos los puntos de intersección de los dos gráficos sean visibles en su ventana de visualización.

        
     
2.      

   Copie la imagen en su ventana de visualización en su papel de tarea. Rotule y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax. Rotula las gráficas con sus ecuaciones. Recuerde dibujar todas las líneas con una regla.

        
     
3.      

   Use la utilidad de intersección para determinar las coordenadas de los puntos de intersección. Trace el punto de intersección en su papel de tarea y etiquételo con sus coordenadas.

        
     
4.      

   Resuelve la ecuación f (x) = k algebraicamente. Coloque su trabajo y solución al lado de su gráfico. ¿Están de acuerdo las soluciones?

        
 

         

En Ejercicios 29 – 40 , usa una técnica algebraica para resolver la ecuación dada. Comprueba tus soluciones.