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las matematicas

9.5: Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Expresar productos como sumas.
  •      
  • Sumas expresas como productos.
  •  
 
 

Una banda marcha por el campo creando un sonido increíble que estimula a la multitud. Ese sonido viaja como una onda que se puede interpretar utilizando funciones trigonométricas.

 
Photo of the UCLA marching band.
Figura ( PageIndex {1} ): La banda de música de UCLA (crédito: Eric Chan, Flickr).
 

Por ejemplo, la Figura ( PageIndex {2} ) representa una onda sonora para la nota musical A. En esta sección, investigaremos las identidades trigonométricas que son fundamento de fenómenos cotidianos como las ondas sonoras.

 
Graph of a sound wave for the musical note A - it is a periodic function much like sin and cos - from 0 to .01
Figura ( PageIndex {2} )
 

Expresando productos como sumas

 

Ya hemos aprendido varias fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces es posible que necesitemos expresar el producto del coseno y el seno como una suma. Podemos usar las fórmulas producto a suma, que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad del coseno y luego la identidad del seno.

 

Expresando productos como sumas para coseno

 

Podemos derivar la fórmula del producto a la suma de las identidades de suma y diferencia para coseno . Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos:

 

[ begin {align *} cos alpha cos beta + sin alpha sin beta & = cos ( alpha- beta) \ [4pt] underline {+ cos alpha cos beta- sin alpha sin beta} & = underline { cos ( alpha + beta)} \ [4pt] 2 cos alpha cos beta & = cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta) end {align *} ]

 

Luego, dividimos por 2 para aislar el producto de cosenos:

 

[ cos alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta)] label {eq1} ] [ 19459003]  

 

Cómo: dado un producto de cosenos, expresado como una suma

 
         
  1. Escribe la fórmula para el producto de cosenos.
  2.      
  3. Sustituye los ángulos dados en la fórmula.
  4.      
  5. Simplifica.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Escribir el producto como una suma usando la fórmula de producto a suma para coseno

 

Escribe el siguiente producto de cosenos como una suma: (2 cos left ( dfrac {7x} {2} right) cos left ( dfrac {3x} {2} right) ) .

 

Solución

 

Comenzamos escribiendo la fórmula para el producto de cosenos (Ecuación ref {eq1}):

 

[ cos alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta)] nonumber ]

 

Luego podemos sustituir los ángulos dados en la fórmula y simplificar.

 

[ begin {align *} 2 cos left ( dfrac {7x} {2} right) cos left ( dfrac {3x} {2} right) & = 2 left ( dfrac {1} {2} right) [ cos left ( dfrac {7x} {2} – dfrac {3x} {2} right) + cos left ( dfrac {7x} {2 } + dfrac {3x} {2} right)] \ [4pt] & = cos left ( dfrac {4x} {2} right) + cos left ( dfrac {10x} {2 } right) \ [4pt] & = cos 2x + cos 5x end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Use la fórmula de producto a suma (Ecuación ref {eq1}) para escribir el producto como una suma o diferencia: ( cos (2 theta) cos (4 theta) ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {2} ( cos 6 theta + cos 2 theta) )

     
 
 
 

Expresando el producto de seno y coseno como una suma

 

A continuación, derivaremos la fórmula del producto a la suma para seno y coseno de las fórmulas de suma y diferencia para seno . Si agregamos las identidades de suma y diferencia, obtenemos:

 

[ begin {align *} cos alpha cos beta + sin alpha sin beta & = cos ( alpha- beta) \ [4pt] underline {+ cos alpha cos beta- sin alpha sin beta} & = cos ( alpha + beta) \ [4pt] 2 cos alpha cos beta & = cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta) \ [4pt] text {Luego, dividimos por 2 para aislar el producto de cosenos:} \ [4pt] cos alpha cos beta & = dfrac {1} {2 } left [ cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta) right] end {align *} ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Escribir el producto como una suma que contiene solo seno o coseno

 

Exprese el siguiente producto como una suma que contiene solo seno o coseno y ningún producto: ( sin (4 theta) cos (2 theta) ).

 

Solución

 

Escribe la fórmula para el producto de seno y coseno. Luego sustituya los valores dados en la fórmula y simplifique.

 

[ begin {align *} sin alpha cos beta & = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) + sin ( alpha- beta)] \ [4pt] sin (4 theta) cos (2 theta) & = dfrac {1} {2} [ sin (4 theta + 2 theta) + sin (4 theta-2 theta )] \ [4pt] & = dfrac {1} {2} [ sin (6 theta) + sin (2 theta)] end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Use la fórmula de producto a suma para escribir el producto como una suma: ( sin (x + y) cos (x − y) ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {2} ( sin 2x + sin 2y) )

     
 
 
 

Expresando productos de seno en términos de coseno

 

Expresar el producto de los senos en términos de coseno también se deriva de las identidades de suma y diferencia para el coseno. En este caso, primero restaremos las dos fórmulas de coseno:

 

[ begin {align *} cos ( alpha- beta) & = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta \ [4pt] underline {- cos ( alpha + beta)} & = – ( cos alpha cos beta- sin alpha sin beta) \ [4pt] cos ( alpha- beta) – cos ( alpha + beta ) & = 2 sin alpha sin beta \ [4pt] text {Luego, dividimos por 2 para aislar el producto de los senos:} \ [4pt] sin alpha sin beta & = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha- beta) – cos ( alpha + beta)] end {align *} ]

 

Del mismo modo, podríamos expresar el producto de cosenos en términos de seno o derivar otras fórmulas de producto a suma.

 
 

LAS FÓRMULAS DE PRODUCTO A SUMA

 

Las fórmulas producto a suma son ​​las siguientes:

 

[ cos alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha− beta) + cos ( alpha + beta)] ]

 

[ sin alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) + sin ( alpha− beta)] ]

 

[ sin alpha sin beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha− beta) – cos ( alpha + beta)] ]

 

[ cos alpha sin beta = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) – sin ( alpha− beta)] ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Expresar el producto como una suma o diferencia

 

Escribe ( cos (3 theta) cos (5 theta) ) como una suma o diferencia.

 

Solución

 

Tenemos el producto de cosenos, así que comenzamos escribiendo la fórmula relacionada. Luego sustituimos los ángulos dados y simplificamos.

 

[ begin {align *} cos alpha cos beta & = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha- beta) + cos ( alpha + beta)] \ [4pt] cos (3 theta) cos (5 theta) & = dfrac {1} {2} [ cos (3 theta-5 theta) + cos (3 theta + 5 theta )] \ [4pt] & = dfrac {1} {2} [ cos (2 theta) + cos (8 theta)] qquad text {Usar identidad par-impar} end {align * } ]

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Use la fórmula del producto a la suma para evaluar ( cos dfrac {11 pi} {12} cos dfrac { pi} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {−2− sqrt {3}} {4} )

     
 
 
 

Expresando sumas como productos

 

Algunos problemas requieren el reverso del proceso que acabamos de utilizar. Las fórmulas de suma de productos nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas pueden derivarse de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con algunas sustituciones, podemos derivar la identidad de suma a producto para seno . Deje ( dfrac {u + v} {2} = alpha ) y ( dfrac {u − v} {2} = beta ).

 

Entonces,

 

[ begin {align *} alpha + beta & = dfrac {u + v} {2} + dfrac {uv} {2} \ [4pt] & = dfrac {2u} {2} \ [4pt] & = u end {alinear *} ]

 

[ begin {align *} alpha- beta & = dfrac {u + v} {2} – dfrac {uv} {2} \ [4pt] & = dfrac {2v} {2 } \ [4pt] & = v end {align *} ]

 

Por lo tanto, reemplazando ( alpha ) y ( beta ) en la fórmula del producto para sumar con las expresiones sustitutas, tenemos

 

[ begin {align *} sin alpha cos beta & = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) + sin ( alpha- beta)] \ [4pt] sin left ( frac {u + v} {2} right) cos left ( frac {uv} {2} right) & = frac {1} {2} [ sin u + sin v] qquad text {Sustituir por} ( alpha + beta) text {y} ( alpha beta) \ [4pt] 2 sin left ( dfrac {u + v} { 2} right) cos left ( dfrac {uv} {2} right) & = sin u + sin v end {align *} ]

 

Las otras identidades de suma a producto se derivan de manera similar.

 
 
 

FÓRMULAS DE SUMA AL PRODUCTO

 

Las fórmulas de suma a producto son ​​las siguientes:

 

[ sin alpha + sin beta = 2 sin left ( dfrac { alpha + beta} {2} right) cos left ( dfrac { alpha− beta} {2 } right) ]

 

[ sin alpha- sin beta = 2 sin left ( dfrac { alpha- beta} {2} right) cos left ( dfrac { alpha + beta} { 2} right) ]

 

[ cos alpha− cos beta = −2 sin left ( dfrac { alpha + beta} {2} right) sin left ( dfrac { alpha− beta} {2} right) ]

 

[ cos alpha + cos beta = 2 sin left ( dfrac { alpha + beta} {2} right) sin left ( dfrac { alpha− beta} {2 } right) ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Escribir la diferencia de los senos como producto

 

Escriba la siguiente diferencia de expresión de senos como un producto: ( sin (4 theta) – sin (2 theta) ).

 

Solución

 

Comenzamos escribiendo la fórmula para la diferencia de los senos.

 

[ begin {align *} sin alpha- sin beta & = 2 sin left ( dfrac { alpha- beta} {2} right) cos left ( dfrac { alpha + beta} {2} right) \ [4pt] text {Sustituya los valores en la fórmula y simplifique.} \ [4pt] sin (4 theta) – sin (2 theta) & = 2 sin left ( dfrac {4 theta-2 theta} {2} right) cos left ( dfrac {4 theta + 2 theta} {2} right) \ [ 4pt] & = 2 sin left ( dfrac {2 theta} {2} right) cos left ( dfrac {6 theta} {2} right) \ [4pt] & = 2 sin theta cos (3 theta) end {align *} ]

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Use la fórmula de suma a producto para escribir la suma como producto: ( sin (3 theta) + sin ( theta) ).

 
     
Respuesta
     
     

(2 sin (2 theta) cos ( theta) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Evaluación utilizando la fórmula de suma de productos

 

Evalúa ( cos (15 °) – cos (75 °) ). Comprueba la respuesta con una calculadora gráfica.

 

Solución

 

Comenzamos escribiendo la fórmula para la diferencia de cosenos.

 

[ begin {align *}
cos alpha- cos beta & = -2 sin left ( dfrac { alpha + beta} {2} right) sin left ( dfrac { alpha- beta} {2} right) \ [4pt]
text {Luego sustituimos los ángulos dados y simplificamos.} \ [4pt]
cos (15 ^ { circ}) – cos (75 ^ { circ}) & = -2 sin left ( dfrac {15 ^ { circ} +75 ^ { circ}} {2} right) sin izquierda ( dfrac {15 ^ { circ} -75 ^ { circ}} {2} derecha) \ [4pt]
& = -2 sin (45 ^ { circ}) sin ( -30 ^ { circ}) \ [4pt]
& = -2 left ( dfrac { sqrt {2}} {2} right) left (- dfrac {1} {2} right) \ [4pt]
& = dfrac { sqrt {2}} {2}
end {align *} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Prueba de identidad

 

Probar la identidad:

 

[ dfrac { cos (4t) – cos (2t)} { sin (4t) + sin (2t)} = – tan t ]

 

Solución

 

Comenzaremos con el lado izquierdo, el lado más complicado de la ecuación, y reescribiremos la expresión hasta que coincida con el lado derecho.

 

[ begin {align *} dfrac { cos (4t) – cos (2t)} { sin (4t) + sin (2t)} & = dfrac {-2 sin left ( dfrac {4t + 2t} {2} right) sin left ( dfrac {4t-2t} {2} right)} {2 sin left ( dfrac {4t + 2t} {2} right) cos left ( dfrac {4t-2t} {2} right)} \ [4pt] & = dfrac {-2 sin (3t) sin t} {2 sin (3t) cos t} \ [4pt] & = – dfrac { sin t} { cos t} \ [4pt] & = – tan t end {align *} ]

 

Análisis

 

Recuerde que verificar las identidades trigonométricas tiene su propio conjunto de reglas. Los procedimientos para resolver una ecuación no son los mismos que para verificar una identidad. Cuando demostramos una identidad, elegimos un lado para trabajar y hacemos sustituciones hasta que ese lado se transforme en el otro lado.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Verificación de la identidad utilizando fórmulas de doble ángulo e identidades recíprocas

 

Verifique la identidad ({ csc} ^ 2 theta − 2 = cos (2 theta) sin2 theta ).

 

Solución

 

Para verificar esta ecuación, estamos reuniendo varias de las identidades. Utilizaremos la fórmula de doble ángulo y las identidades recíprocas. Trabajaremos con el lado derecho de la ecuación y la reescribiremos hasta que coincida con el lado izquierdo.

 

[ begin {align *} cos (2 theta) sin2 theta & = dfrac {1-2 { sin} ^ 2 theta} {{ sin} ^ 2 theta} \ [4pt] & = dfrac {1} {{ sin} ^ 2 theta} – dfrac {2 { sin} ^ 2 theta} {{ sin} ^ 2 theta} \ [4pt] & = { csc} ^ 2 theta – 2 end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Verifique la identidad ( tan theta cot theta – { cos} ^ 2 theta = { sin} ^ 2 theta ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {align *} tan theta cot theta – { cos} ^ 2 theta & = left ( dfrac { sin theta} { cos theta} right) izquierda ( dfrac { cos theta} { sin theta} right) – { cos} ^ 2 theta \ [4pt] & = 1 – { cos} ^ 2 theta \ [4pt] & = { sin} ^ 2 theta end {align *} ]

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con las identidades de producto a suma y de suma a producto.

 
 

Ecuaciones clave

 

Fórmulas de producto a suma

 

[ cos alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha− beta) + cos ( alpha + beta)] nonumber ]

 

[ sin alpha cos beta = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) + sin ( alpha− beta)] nonumber ]

 

[ sin alpha sin beta = dfrac {1} {2} [ cos ( alpha− beta) – cos ( alpha + beta)] nonumber ]

 

[ cos alpha sin beta = dfrac {1} {2} [ sin ( alpha + beta) – sin ( alpha− beta)] nonumber ]

 

Fórmulas de suma a producto

 

[ sin alpha + sin beta = 2 sin ( dfrac { alpha + beta} {2}) cos ( dfrac { alpha− beta} {2}) nonumber ]

 

[ sin alpha- sin beta = 2 sin ( dfrac { alpha- beta} {2}) cos ( dfrac { alpha + beta} {2}) nonumber ]

 

[ cos alpha− cos beta = −2 sin ( dfrac { alpha + beta} {2}) sin ( dfrac { alpha− beta} {2}) nonumber ]

 

[ cos alpha + cos beta = 2 sin ( dfrac { alpha + beta} {2}) sin ( dfrac { alpha− beta} {2}) nonumber ]

 

Conceptos clave

 
         
  • A partir de las identidades de suma y diferencia, podemos derivar las fórmulas de producto a suma y las fórmulas de suma a producto para seno y coseno.
  •      
  • Podemos usar las fórmulas de producto a suma para reescribir productos de senos, productos de cosenos y productos de seno y coseno como sumas o diferencias de senos y cosenos. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {1} ), el Ejemplo ( PageIndex {2} ) y el Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  •      
  • También podemos derivar las identidades de suma a producto a partir de las identidades de producto a suma mediante sustitución.
  •      
  • Podemos usar las fórmulas de suma a producto para reescribir la suma o diferencia de senos, cosenos o productos seno y coseno como productos de senos y cosenos. Ver Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  •      
  • Las expresiones trigonométricas son a menudo más simples de evaluar usando las fórmulas. Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  •      
  • Las identidades se pueden verificar utilizando otras fórmulas o convirtiendo las expresiones en senos y cosenos. Para verificar una identidad, elegimos el lado más complicado del signo igual y lo reescribimos hasta que se transforma en el otro lado. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {6} ) y el Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  •  
 
                                  
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