Resolver ecuaciones en forma cuadrática
A veces, cuando factorizamos trinomios, el trinomio no parecía estar en la forma (ax ^ {2} + bx + c ). Así que factorizamos por sustitución permitiéndonos hacer que se ajuste a la forma (ax ^ {2} + bx + c ). Usamos el estándar (u ) para la sustitución.
Para factorizar la expresión (x ^ {4} -4 x ^ {2} -5 ), notamos que la parte variable del término medio es (x ^ {2} ) [19459007 ] y su cuadrado, (x ^ {4} ), es la parte variable del primer término. (Sabemos ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ).) Así que dejamos (u = x ^ {2} ) y factorizamos.
| (x ^ {4} -4 x ^ {2} -5 ) | |
| ( left ( color {red} x ^ 2 color {black} right) ^ {2} -4 left ( color {red} x ^ {2} color {black} right ) -5 ) | |
| Sea (u = x ^ {2} ) y sustitúyalo. | ( color {rojo} u color {negro} ^ {2} -4 color {rojo} u color {negro} -5 ) |
| Factoriza el trinomio. | ((u + 1) (u-5) ) |
| Reemplace (u ) con (x ^ {2} ). | ( left ( color {red} x ^ {2} color {black} + 1 right) left ( color {red} x ^ 2 color {black} -5 right) ) |
Del mismo modo, a veces una ecuación no está en la forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) sino que se parece mucho a una ecuación cuadrática. Entonces, a menudo podemos hacer una sustitución reflexiva que nos permitirá ajustarla a la forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ). Si podemos hacer que se ajuste a la forma, podemos usar todos nuestros métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
Observe que en la ecuación cuadrática (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), el término medio tiene una variable, (x ), y su cuadrado, (x ^ {2} ), es la parte variable del primer término. Busque esta relación mientras intenta encontrar una sustitución.
Nuevamente, usaremos el estándar (u ) para hacer una sustitución que pondrá la ecuación en forma cuadrática. Si la sustitución nos da una ecuación de la forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), decimos que la ecuación original era de forma cuadrática .
El siguiente ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación en forma cuadrática.
Ejemplo ( PageIndex {1} ) Cómo resolver ecuaciones en forma cuadrática
Resuelve: (6 x ^ {4} -7 x ^ {2} + 2 = 0 )
Solución :
| Paso 1 : Identifica una sustitución que pondrá la ecuación en forma cuadrática. | Dado que ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ), dejamos (u = x ^ {2} ). | (6 x ^ {4} -7 x ^ {2} + 2 = 0 ) |
| Paso 2 : Reescribe la ecuación con la sustitución para ponerla en forma cuadrática. |
Reescribe para prepararte para la sustitución. Sustituye (u = x ^ {2} ). |
( begin {alineado} 6 color {negro} { left ( color {red} {x ^ {2}} right)} ^ {2} -7 color {red} {x ^ {2}} color {negro} {+} 2 & = 0 \ color {negro} {6 color {rojo} {u} ^ {2}} – 7 color {rojo} {u} color { negro} {+} 2 & = 0 end {alineado} ) |
| Paso 3 : Resuelve la ecuación cuadrática para (u ). |
Podemos resolver factorizando. Utilice la propiedad del producto cero. |
( begin {alineado} (2 u-1) (3 u-2) & = 0 \ 2 u-1 = 0, 3 u-2 & = 0 \ 2 u = 1,3 u & = 2 \ u = frac {1} {2} u & = frac {2} {3} end {alineado} ) |
| Paso 4 : Sustituye la variable original en los resultados, usando la sustitución. | Reemplace (u ) con (x ^ {2} ). | (x ^ {2} = frac {1} {2} quad x ^ {2} = frac {2} {3} ) |
| Paso 5 : Resuelve la variable original. | Resuelve para (x ), usando la propiedad de raíz cuadrada. |
( begin {array} {ll} {x = pm sqrt { frac {1} {2}}} y {x = pm sqrt { frac {2} {3}}} \ {x = pm frac { sqrt {2}} {2}} & {x = pm frac { sqrt {6}} {3}} end {array} ) Hay cuatro soluciones. ( begin {array} {ll} {x = frac { sqrt {2}} {2}} & {x = frac { sqrt {6}} {3}} \ {x = – frac { sqrt {2}} {2}} & {x = – frac { sqrt {6}} {3}} end {array} ) |
| Paso 6 : Verifique las soluciones. | Verifique las cuatro soluciones. Mostraremos un cheque aquí. |
( begin {alineado} x & = frac { sqrt {2}} {2} \ 6 x ^ {4} -7 x ^ {2} + 2 & = 0 \ 6 left ( frac { sqrt {2}} {2} right) ^ {4} -7 left ( frac { sqrt {2}} {2} right) ^ {2} +2 & stackrel {?} {=} 0 \ 6 left ( frac {4} {16} right) -7 left ( frac {2} {4} right) ^ {2} + 2 & stackrel {?} {= } 0 \ frac {3} {2} – frac {7} {2} + frac {4} {2} & stackrel {?} {=} 0 \ 0 & = 0 end {alineado} ) ¡Te dejamos los otros cheques! |
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve: (x ^ {4} -6 x ^ {2} + 8 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = sqrt {2}, x = – sqrt {2}, x = 2, x = -2 )
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve: (x ^ {4} -11 x ^ {2} + 28 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = sqrt {7}, x = – sqrt {7}, x = 2, x = -2 )
Resumimos los pasos para resolver una ecuación en forma cuadrática.
Resolver ecuaciones en forma cuadrática
- Identifica una sustitución que pondrá la ecuación en forma cuadrática.
- Reescribe la ecuación con la sustitución para ponerla en forma cuadrática.
- Resuelve la ecuación cuadrática para (u ).
- Sustituye la variable original en los resultados, usando la sustitución.
- Resolver para la variable original.
- Verifique las soluciones.
En el siguiente ejemplo, el binomio en el término medio, ((x-2) ) se eleva al cuadrado en el primer término. Si dejamos (u = x-2 ) y lo sustituimos, nuestro trinomio estará en forma (a x ^ {2} + b x + c ).
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Resuelve: ((x-2) ^ {2} +7 (x-2) + 12 = 0 ).
Solución :
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resuelve: ((x-5) ^ {2} +6 (x-5) + 8 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = 3, x = 1 )
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resuelve: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) + 15 = 0 ).
- Respuesta
-
(y = -1, y = 1 )
En el siguiente ejemplo, notamos que (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Además, recuerde que cuando cuadramos ambos lados de una ecuación, podemos introducir raíces extrañas. ¡Asegúrese de verificar sus respuestas!
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Resuelve: (x-3 sqrt {x} + 2 = 0 ).
Solución :
El ( sqrt {x} ) en el término medio, está cuadrado en el primer término (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Si dejamos (u = sqrt {x} ) y lo sustituimos, nuestro trinomio estará en forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelve: (x-7 sqrt {x} + 12 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = 9, x = 16 )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resuelve: (x-6 sqrt {x} + 8 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = 4, x = 16 )
Las sustituciones por exponentes racionales también pueden ayudarnos a resolver una ecuación en forma cuadrática. Piense en las propiedades de los exponentes al comenzar el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelva: (x ^ { frac {2} {3}} – 2 x ^ { frac {1} {3}} – 24 = 0 ).
Solución :
El (x ^ { frac {1} {3}} ) en el término medio se eleva al cuadrado en el primer término ( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {2} = x ^ { frac {2} {3}} ). Si dejamos (u = x ^ { frac {1} {3}} ) y lo sustituimos, nuestro trinomio estará en forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).
| (x ^ { frac {2} {3}} – 2 x ^ { frac {1} {3}} – 24 = 0 ) | |
| Reescribe el trinomio para prepararte para la sustitución. |  |
| Sea (u = x ^ { frac {1} {3}} ) |  |
| Resuelva factorizando. |
((u-6) (u + 4) = 0 ) (u-6 = 0, quad u + 4 = 0 ) (u = 6, quad u = -4 ) |
| Reemplace (u ) con (x ^ { frac {1} {3}} ). |
(x ^ { frac {1} {3}} = 6, quad x ^ { frac {1} {3}} = – 4 ) |
| Resuelve (x ) cubicando ambos lados. |
( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {3} = (6) ^ {3}, quad left (x ^ { frac {1} { 3}} right) ^ {3} = (- 4) ^ {3} ) (x = 216, quad x = -64 ) |
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Comprobar: 
|
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Resuelve: (x ^ { frac {2} {3}} – 5 x ^ { frac {1} {3}} – 14 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = -8, x = 343 )
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Resuelve: (x ^ { frac {1} {2}} + 8 x ^ { frac {1} {4}} + 15 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = 81, x = 625 )
En el siguiente ejemplo, debemos tener en cuenta la definición de un exponente negativo, así como las propiedades de los exponentes.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Resuelve: (3 x ^ {- 2} -7 x ^ {- 1} + 2 = 0 ).
Solución :
El (x ^ {- 1} ) en el término medio se eleva al cuadrado en el primer término ( left (x ^ {- 1} right) ^ {2} = x ^ {- 2} ) Si dejamos (u = x ^ {- 1} ) y lo sustituimos, nuestro trinomio estará en forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Resuelve: (8 x ^ {- 2} -10 x ^ {- 1} + 3 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = frac {4} {3}, x = 2 )
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Resuelve: (6 x ^ {- 2} -23 x ^ {- 1} + 20 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = frac {2} {5}, x = frac {3} {4} )
Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la resolución de ecuaciones cuadráticas.