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las matematicas

9.5: Resolver ecuaciones cuadráticas en forma cuadrática

Resolver ecuaciones en forma cuadrática

 

A veces, cuando factorizamos trinomios, el trinomio no parecía estar en la forma (ax ^ {2} + bx + c ). Así que factorizamos por sustitución permitiéndonos hacer que se ajuste a la forma (ax ^ {2} + bx + c ). Usamos el estándar (u ) para la sustitución.

 

Para factorizar la expresión (x ^ {4} -4 x ^ {2} -5 ), notamos que la parte variable del término medio es (x ^ {2} ) [19459007 ] y su cuadrado, (x ^ {4} ), es la parte variable del primer término. (Sabemos ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ).) Así que dejamos (u = x ^ {2} ) y factorizamos.

                                                                                                                                                                                                                                                              
(x ^ {4} -4 x ^ {2} -5 )
( left ( color {red} x ^ 2 color {black} right) ^ {2} -4 left ( color {red} x ^ {2} color {black} right ) -5 )
Sea (u = x ^ {2} ) y sustitúyalo. ( color {rojo} u color {negro} ^ {2} -4 color {rojo} u color {negro} -5 )
Factoriza el trinomio. ((u + 1) (u-5) )
Reemplace (u ) con (x ^ {2} ). ( left ( color {red} x ^ {2} color {black} + 1 right) left ( color {red} x ^ 2 color {black} -5 right) )
 

Del mismo modo, a veces una ecuación no está en la forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) sino que se parece mucho a una ecuación cuadrática. Entonces, a menudo podemos hacer una sustitución reflexiva que nos permitirá ajustarla a la forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ). Si podemos hacer que se ajuste a la forma, podemos usar todos nuestros métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

 

Observe que en la ecuación cuadrática (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), el término medio tiene una variable, (x ), y su cuadrado, (x ^ {2} ), es la parte variable del primer término. Busque esta relación mientras intenta encontrar una sustitución.

 

Nuevamente, usaremos el estándar (u ) para hacer una sustitución que pondrá la ecuación en forma cuadrática. Si la sustitución nos da una ecuación de la forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), decimos que la ecuación original era de forma cuadrática .

 

El siguiente ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación en forma cuadrática.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ) Cómo resolver ecuaciones en forma cuadrática

 

Resuelve: (6 x ^ {4} -7 x ^ {2} + 2 = 0 )

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
Paso 1 : Identifica una sustitución que pondrá la ecuación en forma cuadrática. Dado que ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ), dejamos (u = x ^ {2} ). (6 x ^ {4} -7 x ^ {2} + 2 = 0 )
Paso 2 : Reescribe la ecuación con la sustitución para ponerla en forma cuadrática.              

Reescribe para prepararte para la sustitución.

             

Sustituye (u = x ^ {2} ).

             
( begin {alineado} 6 color {negro} { left ( color {red} {x ^ {2}} right)} ^ {2} -7 color {red} {x ^ {2}} color {negro} {+} 2 & = 0 \ color {negro} {6 color {rojo} {u} ^ {2}} – 7 color {rojo} {u} color { negro} {+} 2 & = 0 end {alineado} )
Paso 3 : Resuelve la ecuación cuadrática para (u ).              

Podemos resolver factorizando.

             

Utilice la propiedad del producto cero.

             
( begin {alineado} (2 u-1) (3 u-2) & = 0 \ 2 u-1 = 0, 3 u-2 & = 0 \ 2 u = 1,3 u & = 2 \ u = frac {1} {2} u & = frac {2} {3} end {alineado} )
Paso 4 : Sustituye la variable original en los resultados, usando la sustitución. Reemplace (u ) con (x ^ {2} ). (x ^ {2} = frac {1} {2} quad x ^ {2} = frac {2} {3} )
Paso 5 : Resuelve la variable original. Resuelve para (x ), usando la propiedad de raíz cuadrada.              

( begin {array} {ll} {x = pm sqrt { frac {1} {2}}} y {x = pm sqrt { frac {2} {3}}} \ {x = pm frac { sqrt {2}} {2}} & {x = pm frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

             

Hay cuatro soluciones.

             

( begin {array} {ll} {x = frac { sqrt {2}} {2}} & {x = frac { sqrt {6}} {3}} \ {x = – frac { sqrt {2}} {2}} & {x = – frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

             
Paso 6 : Verifique las soluciones. Verifique las cuatro soluciones. Mostraremos un cheque aquí.              

( begin {alineado} x & = frac { sqrt {2}} {2} \ 6 x ^ {4} -7 x ^ {2} + 2 & = 0 \ 6 left ( frac { sqrt {2}} {2} right) ^ {4} -7 left ( frac { sqrt {2}} {2} right) ^ {2} +2 & stackrel {?} {=} 0 \ 6 left ( frac {4} {16} right) -7 left ( frac {2} {4} right) ^ {2} + 2 & stackrel {?} {= } 0 \ frac {3} {2} – frac {7} {2} + frac {4} {2} & stackrel {?} {=} 0 \ 0 & = 0 end {alineado} )

             

¡Te dejamos los otros cheques!

             
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelve: (x ^ {4} -6 x ^ {2} + 8 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = sqrt {2}, x = – sqrt {2}, x = 2, x = -2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve: (x ^ {4} -11 x ^ {2} + 28 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = sqrt {7}, x = – sqrt {7}, x = 2, x = -2 )

     
 
 
 

Resumimos los pasos para resolver una ecuación en forma cuadrática.

 
 

Resolver ecuaciones en forma cuadrática

 
         
  1. Identifica una sustitución que pondrá la ecuación en forma cuadrática.
  2.      
  3. Reescribe la ecuación con la sustitución para ponerla en forma cuadrática.
  4.      
  5. Resuelve la ecuación cuadrática para (u ).
  6.      
  7. Sustituye la variable original en los resultados, usando la sustitución.
  8.      
  9. Resolver para la variable original.
  10.      
  11. Verifique las soluciones.
  12.  
 
 
     
 

En el siguiente ejemplo, el binomio en el término medio, ((x-2) ) se eleva al cuadrado en el primer término. Si dejamos (u = x-2 ) y lo sustituimos, nuestro trinomio estará en forma (a x ^ {2} + b x + c ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelve: ((x-2) ^ {2} +7 (x-2) + 12 = 0 ).

 

Solución :

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: ((x-5) ^ {2} +6 (x-5) + 8 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 3, x = 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) + 15 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = -1, y = 1 )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, notamos que (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Además, recuerde que cuando cuadramos ambos lados de una ecuación, podemos introducir raíces extrañas. ¡Asegúrese de verificar sus respuestas!

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: (x-3 sqrt {x} + 2 = 0 ).

 

Solución :

 

El ( sqrt {x} ) en el término medio, está cuadrado en el primer término (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Si dejamos (u = sqrt {x} ) y lo sustituimos, nuestro trinomio estará en forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: (x-7 sqrt {x} + 12 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 9, x = 16 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve: (x-6 sqrt {x} + 8 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 4, x = 16 )

     
 
 
 

Las sustituciones por exponentes racionales también pueden ayudarnos a resolver una ecuación en forma cuadrática. Piense en las propiedades de los exponentes al comenzar el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelva: (x ^ { frac {2} {3}} – 2 x ^ { frac {1} {3}} – 24 = 0 ).

 

Solución :

 

El (x ^ { frac {1} {3}} ) en el término medio se eleva al cuadrado en el primer término ( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {2} = x ^ { frac {2} {3}} ). Si dejamos (u = x ^ { frac {1} {3}} ) y lo sustituimos, nuestro trinomio estará en forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(x ^ { frac {2} {3}} – 2 x ^ { frac {1} {3}} – 24 = 0 )
Reescribe el trinomio para prepararte para la sustitución. .
Sea (u = x ^ { frac {1} {3}} ) .
Resuelva factorizando.              

((u-6) (u + 4) = 0 )

             

(u-6 = 0, quad u + 4 = 0 )

             

(u = 6, quad u = -4 )

             
Reemplace (u ) con (x ^ { frac {1} {3}} ).              

(x ^ { frac {1} {3}} = 6, quad x ^ { frac {1} {3}} = – 4 )

             
Resuelve (x ) cubicando ambos lados.              

( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {3} = (6) ^ {3}, quad left (x ^ { frac {1} { 3}} right) ^ {3} = (- 4) ^ {3} )

             

(x = 216, quad x = -64 )

             
             

Comprobar:

             
.              
Figura 9.4.33
             
             
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve: (x ^ { frac {2} {3}} – 5 x ^ { frac {1} {3}} – 14 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = -8, x = 343 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelve: (x ^ { frac {1} {2}} + 8 x ^ { frac {1} {4}} + 15 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 81, x = 625 )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, debemos tener en cuenta la definición de un exponente negativo, así como las propiedades de los exponentes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: (3 x ^ {- 2} -7 x ^ {- 1} + 2 = 0 ).

 

Solución :

 

El (x ^ {- 1} ) en el término medio se eleva al cuadrado en el primer término ( left (x ^ {- 1} right) ^ {2} = x ^ {- 2} ) Si dejamos (u = x ^ {- 1} ) y lo sustituimos, nuestro trinomio estará en forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelve: (8 x ^ {- 2} -10 x ^ {- 1} + 3 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac {4} {3}, x = 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resuelve: (6 x ^ {- 2} -23 x ^ {- 1} + 20 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac {2} {5}, x = frac {3} {4} )

     
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la resolución de ecuaciones cuadráticas.

 
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