Pitágoras fue un matemático y filósofo griego, nacido en la isla de Samos (ca. 582 a. C.). Fundó varias escuelas, una en particular en una ciudad del sur de Italia llamada Crotone, cuyos miembros finalmente se conocieron como los pitagóricos. El círculo interno de la escuela, el Mathematikoi, vivía en la escuela, se despojaba de todas sus posesiones personales, era vegetariano y observaba un estricto voto de silencio. Estudiaron matemáticas, filosofía y música, y creyeron que los números constituyen la verdadera naturaleza de las cosas, dándoles una calidad mística o incluso espiritual.
Hoy, no se sabe nada de los escritos de Pitágoras, quizás debido al secreto y silencio de la sociedad pitagórica. Sin embargo, uno de los teoremas más famosos de todas las matemáticas lleva su nombre, el Teorema de Pitágoras.
TEOREMA PITAGOREO
Sea c la longitud de la hipotenusa , el lado de un triángulo rectángulo directamente opuesto al ángulo recto (un ángulo recto mide 90º) del triángulo. Los lados restantes del triángulo rectángulo se denominan patas del triángulo rectángulo, cuyas longitudes se designan con las letras ay b.
La relación entre las piernas y la hipotenusa del triángulo rectángulo, dada por
[a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 label {1} ]
se llama el Teorema de Pitágoras .
Tenga en cuenta que el teorema de Pitágoras solo puede aplicarse a triángulos rectángulos. Veamos una aplicación simple del Teorema de Pitágoras (Equat ion ref {1}).
EJEMPLO ( PageIndex {2} )
Dado que la longitud de una pata de un triángulo rectángulo es de 4 centímetros y la hipotenusa tiene una longitud de 8 centímetros, encuentre la longitud de la segunda pata.
Comencemos dibujando y etiquetando un triángulo rectángulo con la información dada. Dejaremos que x represente la longitud de la pierna que falta.
Aquí hay un importante consejo.
CONSEJO ( PageIndex {3} ): Hipotenusa
La hipotenusa es el lado más largo del triángulo rectángulo. Se encuentra directamente opuesto al ángulo recto del triángulo. Lo más importante, es la cantidad que está aislada por sí sola en el Teorema de Pitágoras (Ecuación ref {1}). Aísle siempre la cantidad que representa la hipotenusa en un lado de la ecuación. Las “piernas” van al otro lado de la ecuación.
Entonces, tomando la punta al corazón, y observando la longitud de las piernas y la hipotenusa en Figura 1 , escribimos
(4 ^ 2 + x ^ 2 = 8 ^ 2 ).
Cuadrado, luego aislar x en un lado de la ecuación.
(16 + x ^ 2 = 64 )
(x ^ 2 = 48 )
Normalmente, tomaríamos más o menos la raíz cuadrada para resolver esta ecuación, pero x representa la longitud de una pierna, que debe ser un número positivo. Por lo tanto, tomamos solo la raíz cuadrada positiva de 48.
(x = sqrt {48} )
Por supuesto, coloca tu respuesta en forma radical simple.
(x = sqrt {16} sqrt {3} )
(x = 4 sqrt {3} )
Si es necesario, puedes usar tu calculadora gráfica para aproximar esta longitud. A la centésima de centímetro más cercana, (x aprox 6,93 ) centímetros.
Prueba del teorema de Pitágoras
No se sabe si Pitágoras fue el primero en proporcionar una prueba del Teorema de Pitágoras. Muchos historiadores matemáticos piensan que no. De hecho, ni siquiera se sabe si Pitágoras elaboró una prueba del teorema que lleva su nombre, y mucho menos fue el primero en proporcionar una prueba.
Existe evidencia de que los antiguos babilonios conocían el teorema de Pitágoras más de 1000 años antes de la época de Pitágoras. Una tableta de arcilla, ahora conocida como Plimpton 322 (ver Figura 2 ), contiene ejemplos de Triples pitagóricos, conjuntos de tres números que satisfacen el Teorema de Pitágoras (como 3, 4, 5).
Una de las primeras pruebas registradas del Teorema de Pitágoras data de la dinastía Han (206 a. C. a 220 d. C.), y está registrada en el Chou Pei Suan Ching (ver Figura 3 [19459006 ]). Puede ver que esta figura aborda específicamente el caso del triángulo rectángulo 3, 4, 5. Los historiadores matemáticos están divididos en cuanto a si la imagen debía o no ser parte de una prueba general o si solo fue diseñada para abordar este caso específico. También hay desacuerdo sobre si la prueba fue proporcionada por un comentarista más moderno o si se remonta más atrás en el tiempo.
Sin embargo, La Figura 3 sugiere un camino que podríamos tomar en el camino hacia una prueba del Teorema de Pitágoras. Comience con un triángulo rectángulo arbitrario que tenga patas de longitudes ayb, e hipotenusa que tenga longitud c, como se muestra en Figura 4 (a).
A continuación, haga cuatro copias del triángulo que se muestra en Figura 4 (a), luego gírelas y traslade a su lugar como se muestra en Figura 4 (b). Tenga en cuenta que esto forma un gran cuadrado que es c unidades en un lado.
Además, la posición de los triángulos en Figura 4 (b) permite la formación de un cuadrado más pequeño y sin sombrear en el centro del cuadrado más grande. No es difícil calcular la longitud del lado de este cuadrado más pequeño. Simplemente resta la longitud de la pata más pequeña de la pata más grande del triángulo original. Por lo tanto, el lado del cuadrado más pequeño tiene una longitud b – a.
Ahora, calcularemos el área del cuadrado grande en Figura 4 (b) de dos maneras separadas.
-
Primero, el cuadrado grande en Figura 4 (b) tiene un lado de longitud c. Por lo tanto, el área del cuadrado grande es
(Área = c ^ 2 ).
-
En segundo lugar, el cuadrado grande en Figura 4 (b) está formado por 4 triángulos del mismo tamaño y un cuadrado más pequeño que tiene un lado de longitud b − a. Podemos calcular el área del cuadrado grande sumando el área de los 4 triángulos y el cuadrado más pequeño.
- El área del cuadrado más pequeño es ((b − a) ^ 2 ).
- El área de cada triángulo es ( frac {ab} {2} ). Por lo tanto, el área de cuatro triángulos de igual tamaño es cuatro veces este número;
es decir, (4 ( frac {ab} {2}) ). Por lo tanto, el área del cuadrado grande es
Área = Área del cuadrado pequeño + (4 cdot ) Área del triángulo
= ((b − a) ^ 2 + 4 ( frac {ab} {2}) ).
Calculamos el área del cuadrado más grande dos veces. La primera vez que obtuvimos (c ^ 2 ); la segunda vez que obtuvimos ((b − a) ^ 2 + 4 ( frac {ab} {2}) ). Por lo tanto, estas dos cantidades deben ser iguales.
(c ^ 2 = (b − a) ^ 2 + 4 ( frac {ab} {2}) ).
Expande el binomio y simplifica.
(c ^ 2 = b ^ 2−2ab + a ^ 2 + 2ab )
(c ^ 2 = b ^ 2 + a ^ 2 )
Es decir,
(a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ),
y el Teorema de Pitágoras está probado.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
En esta sección veremos algunas aplicaciones del Teorema de Pitágoras, uno de los teoremas más aplicados en todas las matemáticas. Pregúntele a su carpintero local.
Los antiguos egipcios tomarían una cuerda con 12 nudos igualmente espaciados como el que se muestra en Figura 5 , y la usarían para esquinas cuadradas de sus edificios. La herramienta fue instrumental en la construcción de las pirámides.
El teorema de Pitágoras también es útil en topografía, cartografía y navegación, por nombrar algunas posibilidades.
Veamos algunos ejemplos del Teorema de Pitágoras en acción.
EJEMPLO ( PageIndex {4} )
Una pata de un triángulo rectángulo es 7 metros más larga que la otra pata. La longitud de la hipotenusa es de 13 metros. Encuentra las longitudes de todos los lados del triángulo rectángulo.
Sea x la longitud de una pata del triángulo rectángulo. Debido a que el segundo tramo es 7 metros más largo que el primer tramo, la longitud del segundo tramo se puede representar con la expresión x + 7, como se muestra en Figura 6 , donde también hemos etiquetado la longitud de la hipotenusa (13 metros).
Recuerde aislar la longitud de la hipotenusa en un lado de la ecuación que representa el Teorema de Pitágoras. Es decir,
(x ^ 2 + (x + 7) ^ 2 = 13 ^ 2 ).
Tenga en cuenta que las piernas van a un lado de la ecuación, la hipotenusa en el otro. Cuadrado y simplificar. Recuerde usar el cuadrado un patrón binomial.
(x ^ 2 + x ^ 2 + 14x + 49 = 169 )
(2x ^ 2 + 14x + 49 = 169 )
Esta ecuación no es lineal, por lo tanto, haga que un lado sea cero restando 169 de ambos lados de la ecuación.
(2x ^ 2 + 14x + 49−169 = 0 )
(2x ^ 2 + 14x − 120 = 0 )
Tenga en cuenta que cada término en el lado izquierdo de la ecuación es divisible por 2. Divida ambos lados de la ecuación por 2.
(x ^ 2 + 7x − 60 = 0 )
Usemos la fórmula cuadrática con a = 1, b = 7 y c = −60.
(x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} = frac {−7 pm sqrt {7 ^ 2 −4 (1) (- 60) }} {2 (1)} )
Simplificar.
(x = frac {−7 pm sqrt {289}} {2} )
Tenga en cuenta que 289 es un cuadrado perfecto ( (17 ^ 2 = 289 )). Por lo tanto,
(x = frac {−7 pm 17} {2} ).
Por lo tanto, tenemos dos soluciones,
x = 5 o x = −12.
Debido a que la longitud debe ser un número positivo, eliminamos – 12 de la consideración. Por lo tanto, la longitud del primer tramo es x = 5 metros. La longitud del segundo tramo es x +7, o 12 metros.
Verificar. Verificar es una cuestión fácil. Las patas son de 5 y 12 metros, respectivamente, y la hipotenusa es de 13 metros. Tenga en cuenta que el segundo tramo es 7 metros más largo que el primero. Además,
(5 ^ 2 + 12 ^ 2 = 25 + 144 = 169 ) ,
que es el cuadrado de 13.
Los lados integrales del triángulo en el ejemplo anterior, 5, 12 y 13, son un ejemplo de un Triple pitagórico.
TRIPLE PITAGOREO
Un conjunto de enteros positivos a, byc, se llama Triple pitagórico si satisfacen el Teorema de Pitágoras; es decir, si
(a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ).
Si el máximo común divisor de a, byc es 1, entonces el triple (a, b, c) se llama primitivo Triple pitagórico.
Así, por ejemplo, el Triple pitagórico (5 , 12 , 13) es primitivo. Veamos otro ejemplo.
EJEMPLO ( PageIndex {5} )
Si (a, b, c) es un Triple pitagórico, demuestre que cualquier múltiplo integral positivo también es un Triple pitagórico.
Por lo tanto, si los enteros positivos (a, b, c) son un Triple pitagórico, debemos demostrar que (ka, kb, kc ), donde k es un número entero positivo, también es un Triple pitagórico.
Sin embargo, sabemos que
(a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ).
Multiplica ambos lados de esta ecuación por (k ^ 2 ).
(k ^ {2} a ^ 2 + k ^ {2} b ^ 2 = k ^ {2} c ^ 2 )
Este último resultado se puede escribir
((ka) ^ 2 + (kb) ^ 2 = (kc) ^ 2 ).
Por lo tanto, (ka, kb, kc) es un Triple pitagórico.
Por lo tanto, porque (3 , 4 , 5) es un Triple pitagórico, puedes duplicar todo para obtener otro triple (6 , 8 [19459013 ], 10). Tenga en cuenta que (6 ^ 2 + 8 ^ 2 = 10 ^ 2 ) se verifica fácilmente. Del mismo modo, triplicar da otro triple (9 , 12 , 15), y así sucesivamente.
En Ejemplo 5 , mostramos que (5 , 12 , 13) era un triple, por lo que podemos tomar múltiplos para generar otros Triples pitagóricos, tales como (10 , 24 , 26) o (15 , 36 , 39), y así sucesivamente.
Las fórmulas para generar triples pitagóricos se conocen desde la antigüedad.
EJEMPLO ( PageIndex {6} )
La siguiente fórmula para generar triples pitagóricos se publicó en Elementos de Euclides (325-265 a. C.), uno de los libros de texto más exitosos de la historia de las matemáticas. Si myn son enteros positivos con m> n, muestre
(a = m ^ 2 − n ^ 2 ),
b = 2 millones, (7)
(c = m ^ 2 + n ^ 2 ),
genera triples pitagóricos.
Solo necesitamos mostrar que las fórmulas para a , b y c satisfacer al pitagórico Theo rem . Con eso en mente, primero calculemos ( a ^ 2+ b ^ 2 ).
(a ^ 2 + b ^ 2 = (m ^ 2 − n ^ 2) ^ 2 + (2mn) ^ 2 )
= (m ^ 4−2m ^ {2} n ^ {2} + n ^ 4 + 4m ^ {2} n ^ 2 )
= (m ^ 4 + 2m ^ {2} n ^ 2 + n ^ 4 )
Por otro lado,
(c ^ 2 = (m ^ 2 + n ^ 2) ^ 2 )
= (m ^ 4 + 2m ^ {2} n ^ 2 + n ^ 4 ).
Por lo tanto, (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ), y las expresiones para a, byc forman un Triple pitagórico.
Es interesante y divertido generar triples pitagóricos con las fórmulas del Ejemplo 6 . Elija m = 4 yn = 2, luego
(a = m ^ 2 − n ^ 2 = (4) ^ 2− (2) ^ 2 = 12 ),
(b = 2mn = 2 (4) (2) = 16 ),
(c = m ^ 2 + n ^ 2 = (4) ^ 2 + (2) ^ 2 = 20 ).
Es fácil verificar que el triple (12 , 16 , 20) satisfará (12 ^ 2 + 16 ^ 2 = 20 ^ 2 ). De hecho, tenga en cuenta que este triple es un múltiplo del triple básico (3 , 4 , 5), por lo que también debe ser un triple pitagórico.
También se puede demostrar que si myn son relativamente primos, y no son tanto impares como pares, entonces las fórmulas en Ejemplo 6 generarán un primitivo Triple pitagórico . Por ejemplo, elija m = 5 yn = 2. Tenga en cuenta que el máximo común divisor de m = 5 yn = 2 es uno, por lo que myn son relativamente primos. Además, m es impar mientras que n es par. Estos valores de myn generan
(a = m ^ 2 − n ^ 2 = (5) ^ 2− (2) ^ 2 = 21 ),
(b = 2mn = 2 (5) (2) = 20 ),
(c = m ^ 2 + n ^ 2 = (5) ^ 2 + (2) ^ 2 = 29 ).
Tenga en cuenta que
(21 ^ 2 + 20 ^ 2 = 441 + 400 = 841 = 29 ^ 2 ).
Por lo tanto, (21 , 20 , 29) es un Triple pitagórico. Además, el máximo común divisor de 21, 20 y 29 es uno, entonces (21 , 20 , 29) es primitivo.
Las aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras son numerosas.
EJEMPLO ( PageIndex {8} )
Un pintor apoya una escalera de 20 pies contra la pared de una casa. La base de la escalera está en un terreno llano a 5 pies de la pared de la casa. ¿Qué tan alto en la pared de la casa llegará la escalera?
Considere el triángulo en Figura 7 . La hipotenusa del triángulo representa la escalera y tiene una longitud de 20 pies. La base del triángulo representa la distancia de la base de la escalera desde la pared de la casa y mide 5 pies de largo. La pata vertical del triángulo es la distancia que la escalera alcanza hasta la pared y la cantidad que deseamos determinar.
Aplicación del teorema de Pitágoras,
(5 ^ 2 + h ^ 2 = 20 ^ 2 ).
Nuevamente, tenga en cuenta que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es la cantidad que está aislada en un lado de la ecuación.
Luego, cuadrado, luego aislar el término que contiene h en un lado de la ecuación restando 25 de ambos lados de la ecuación resultante.
(25 + h ^ 2 = 400 )
(h ^ 2 = 375 )
Solo necesitamos extraer la raíz cuadrada positiva.
(h = sqrt {375} )
Podríamos colocar la solución en forma simple, es decir, (h = 5 sqrt {15} ), pero la naturaleza del problema garantiza una aproximación decimal. Usando una calculadora y redondeando a la décima de pie más cercana,
(h aprox 19,4 ).
Por lo tanto, la escalera alcanza unos 19,4 pies de altura en la pared.
La fórmula de la distancia
A menudo necesitamos calcular la distancia entre dos puntos P y Q en el plano. De hecho, esta es una necesidad tan frecuente que nos gustaría desarrollar una fórmula que calcule rápidamente la distancia entre los puntos P y Q dados. Esta fórmula es el objetivo de esta última sección.
Sea P (x1, y1) y Q (x2, y2) dos puntos arbitrarios en el plano, como se muestra en Figura 8 (a) y deje que d represente distancia entre los dos puntos.
Para encontrar la distancia d, primero dibuje el triángulo rectángulo △ PQR, con patas paralelas a los ejes, como se muestra en Figura 8 (b). Luego, necesitamos encontrar las longitudes de las patas del triángulo rectángulo △ PQR.
-
La distancia entre P y R se encuentra restando la coordenada x de P de la coordenada x de R y tomando el valor absoluto del resultado. Es decir, la distancia entre P y R es (| x_ {2} −x_ {1} | ).
-
La distancia entre R y Q se encuentra restando la coordenada y de R de la coordenada y de Q y tomando el valor absoluto del resultado. Es decir, la distancia entre R y Q es (| y_ {2} −y_ {1} | ).
Ahora podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular d. Por lo tanto,
(d ^ 2 = (| x_ {2} −x_ {1} |) ^ 2 + (| y_ {2} −y_ {1} |) ^ 2 ).
Sin embargo, para cualquier número real a,
((| a |) ^ 2 = | a | · | a | = | a ^ 2 | = a ^ 2 ),
porque a2 no es negativo. Por lo tanto, ((| x_ {2} – x_ {1} |) ^ 2 = (x_ {2} – x_ {1}) ^ 2 y (| y_ {2} – y_ {1} |) ^ 2 = (y_ {2} – y_ {1}) ^ 2 ) y podemos escribir
(d ^ 2 = (x_ {2} −x_ {1}) ^ 2+ (y_ {2} −y_ {1}) ^ 2 ).
Tomar la raíz cuadrada positiva conduce a la fórmula de la distancia.
LA FORMULA DE DISTANCIA
Sea P (x1, y1) y Q (x2, y2) dos puntos arbitrarios en el plano. La distancia d entre los puntos P y Q viene dada por la fórmula
(d = sqrt {(x_ {2} −x_ {1}) ^ 2+ (y_ {2} −y_ {1}) ^ 2} ). (9)
La dirección de la resta no es importante. Debido a que cuadras el resultado de la resta, obtienes la misma respuesta independientemente de la dirección de la resta (por ejemplo, ((5 – 2) ^ 2 = (2 [ 19459013] – 5) ^ 2 )). Por lo tanto, no importa qué punto designe como el punto P , ni importa qué punto designe como el punto Q . Simplemente reste x – coordenadas y cuadrado, reste y -coordenadas y cuadrado, suma, luego toma la raíz cuadrada.
Veamos un ejemplo.
EJEMPLO ( PageIndex {10} )
Encuentre la distancia entre los puntos P (−4, −2) y Q (4, 4).
Ayuda a la intuición si hacemos un dibujo, como lo hemos hecho en Figura 9 . Ahora se puede tomar una brújula y abrirla a la distancia entre los puntos P y Q . Luego puede colocar su brújula en el eje horizontal (o en cualquier línea horizontal ) para estimar la distancia entre los puntos P y Q . Lo hicimos en nuestro papel cuadriculado y estimamos la distancia (d aprox 10 ).
Ahora usemos la fórmula de la distancia para obtener un valor exacto para la distancia d. Con ((x_ {1}, y_ {1}) ) = P (−4, −2) y ((x_ {2}, y_ {2}) ) = Q (4, 4), [ 19459002]
(d = sqrt {(x_ {2} −x_ {1}) ^ 2+ (y_ {2} −y_ {1}) ^ 2} )
= ( sqrt {(4 – (- 4)) ^ 2+ (4 – (- 2)) ^ 2} )
= ( sqrt {8 ^ 2 + 6 ^ 2} )
= ( sqrt {64 + 36} )
= ( sqrt {100} )
= 10.
No es frecuente que su resultado exacto concuerde con su aproximación, así que no se preocupe si se aleja un poco.
EJERCICIO
En Ejercicios 1 – 8 , indique si el triple dado es un Triple pitagórico. Justifique su respuesta.
EJERCICIO ( PageIndex {1} )
(8 , 15 , 17)
- Respuesta
-
Sí, porque (8 ^ 2 + 15 ^ 2 = 17 ^ 2 )
EJERCICIO ( PageIndex {2} )
(7 , 24 , 25)
EJERCICIO ( PageIndex {3} )
(8, 9, 17)
- Respuesta
-
No, porque (8 ^ 2 + 9 ^ 2 ne 17 ^ 2 )
EJERCICIO ( PageIndex {4} )
(4 , 9 , 13)
EJERCICIO ( PageIndex {5} )
(12, 35, 37)
- Respuesta
-
Sí, porque (12 ^ 2 + 35 ^ 2 = 37 ^ 2 )
EJERCICIO ( PageIndex {6} )
(12 , 17 , 29)
EJERCICIO ( PageIndex {7} )
(11 , 17 , 28)
- Respuesta
-
No, porque (11 ^ 2 + 17 ^ 2 ne 28 ^ 2 )
EJERCICIO ( PageIndex {8} )
(11 , 60 , 61)
En Ejercicios 9 – 16 , establece una ecuación para modelar las restricciones del problema y resolverlas. Usa tu respuesta para encontrar el lado que falta del triángulo rectángulo dado. Incluya un boceto con su solución y verifique su resultado.
EJERCICIO ( PageIndex {9} )
- Respuesta
-
4
EJERCICIO ( PageIndex {10} )
EJERCICIO ( PageIndex {11} )
- Respuesta
-
(4 sqrt {2} )
EJERCICIO ( PageIndex {12} )
EJERCICIO ( PageIndex {13} )
- Respuesta
-
(2 sqrt {2} )
EJERCICIO ( PageIndex {14} )
EJERCICIO ( PageIndex {15} )
- Respuesta
-
(5 sqrt {3} )
Ejercicio ( PageIndex {16} )
En Ejercicios 17 – 20 , establece una ecuación que modele las restricciones del problema. Resuelve la ecuación y usa el resultado para responder la pregunta. Mire hacia atrás y verifique su resultado.
EJERCICIO ( PageIndex {17} )
Las patas de un triángulo rectángulo son enteros positivos consecutivos. La hipotenusa tiene longitud 5. ¿Cuáles son las longitudes de las piernas?
- Respuesta
-
Las patas tienen longitudes 3 y 4.
EJERCICIO ( PageIndex {18} )
Las patas de un triángulo rectángulo son enteros pares consecutivos. La hipotenusa tiene longitud 10. ¿Cuáles son las longitudes de las piernas?
EJERCICIO ( PageIndex {19} )
Una pata de un triángulo rectángulo es 1 centímetro menos que el doble de la longitud de la primera pata. Si la longitud de la hipotenusa es de 17 centímetros, encuentre la longitud de las piernas.
- Respuesta
-
Las patas tienen longitudes de 8 y 15 centímetros.
EJERCICIO ( PageIndex {20} )
Una pata de un triángulo rectángulo es 3 pies más larga que 3 veces la longitud de la primera pata. La longitud de la hipotenusa es de 25 pies. Encuentra las longitudes de las piernas.
EJERCICIO ( PageIndex {21} )
Pitágoras se acredita con las siguientes fórmulas que se pueden utilizar para generar triples pitagóricos.
a = m
(b = frac {m ^ 2−1} {2} ),
(c = frac {m ^ 2 + 1} {2} )
Use la técnica del Ejemplo 6 para demostrar que las fórmulas dadas anteriormente generarán Tripletas Pitágoras, siempre que m sea un entero positivo impar mayor que uno. En segundo lugar, generar al menos 3 instancias de triples pitagóricos con la fórmula de Pitágoras.
- Respuesta
-
(3, 4, 5), (5, 12, 13) y (7, 24, 25), con m = 3, 5 y 7, respectivamente.
EJERCICIO ( PageIndex {22} )
Platón (380 a. C.) se acredita con las siguientes fórmulas que se pueden utilizar para generar triples pitagóricos.
(a = 2 m )
(b = m ^ 2 – 1 ),
(c = m ^ 2 + 1 )
Use la técnica del ejemplo 6 para demostrar que las fórmulas dadas anteriormente generarán triples pitagóricos, siempre que m sea un entero positivo mayor que 1. En segundo lugar, genere al menos 3 instancias de triples pitagóricos con los de Platón fórmula.
En Ejercicios 23 – 28 , establezca una ecuación que modele las restricciones del problema. Resuelve la ecuación y usa el resultado para responder. Mire hacia atrás y verifique su respuesta.
EJERCICIO ( PageIndex {23} )
Fritz y Greta están plantando un jardín rectangular de 12 pies por 18 pies, y lo están colocando con una cuerda. Les gustaría saber la longitud de una diagonal para asegurarse de que se formen ángulos rectos. Encuentra la longitud de una diagonal. Aproxima tu respuesta a 0.1 pies.
- Respuesta
-
21 . 63 pies
EJERCICIO ( PageIndex {24} )
Angelina y Markos están plantando un jardín rectangular de 20 pies por 28 pies, y lo están colocando con una cuerda. Les gustaría saber la longitud de una diagonal para asegurarse de que se formen ángulos rectos. Encuentra la longitud de una diagonal. Aproxima tu respuesta a 0.1 pies.
EJERCICIO ( PageIndex {25} )
La base de un cable de conexión de 36 pies de largo se encuentra a 16 pies de la base del poste de teléfono que está anclando. ¿Qué tan alto alcanza el poste el cable de conexión? Aproxima tu respuesta a 0.1.
- Respuesta
-
32 . 25 pies
EJERCICIO ( PageIndex {26} )
La base de un cable de cable de 35 pies de largo se encuentra a 10 pies de la base del poste telefónico que está anclando. ¿Qué tan alto alcanza el poste el cable de conexión? Aproxima tu respuesta a 0.1 pies.
EJERCICIO ( PageIndex {27} )
Un receptor estéreo está en una esquina de una habitación rectangular de 13 pies por 16 pies. El cable del altavoz pasará debajo de una alfombra, en diagonal, hasta un altavoz en la esquina más alejada. Si se requieren 3 pies de holgura en cada extremo, ¿cuánto tiempo se debe comprar un trozo de cable? Aproxima tu respuesta a 0.1 pies.
- Respuesta
-
26 . 62 pies
EJERCICIO ( PageIndex {28} )
Un receptor estéreo está en una esquina de una habitación rectangular de 10 pies por 15 pies. El cable del altavoz pasará debajo de una alfombra, en diagonal, hasta un altavoz en la esquina más alejada. Si se requieren 4 pies de holgura en cada extremo, ¿cuánto tiempo se debe comprar un cable? Aproxima tu respuesta a 0.1 pies.
En Ejercicios 29 – 38 , usa la fórmula de la distancia para encontrar la distancia exacta entre los puntos dados.
EJERCICIO ( PageIndex {29} )
(−8, −9) y (6, −6)
- Respuesta
-
( sqrt {205} )
EJERCICIO ( PageIndex {30} )
(1, 0) y ( – 9, – 2)
EJERCICIO ( PageIndex {31} )
( – 9 , 1) y ( – 8 , 7)
- Respuesta
-
( sqrt {37} )
EJERCICIO ( PageIndex {32} )
(0, 9) y (3, 1)
EJERCICIO ( PageIndex {33} )
(6, −5) y (−9, −2)
- Respuesta
-
( sqrt {234} = 3 sqrt {26} )
EJERCICIO ( PageIndex {34} )
(−5, 6) y (1, 4)
EJERCICIO ( PageIndex {35} )
(−7, 7) y (−3, 6)
- Respuesta
-
( sqrt {17} )
EJERCICIO ( PageIndex {36} )
(−7, −6) y (−2, −4)
EJERCICIO ( PageIndex {37} )
(4, −3) y (−9, 6)
- Answer
-
(sqrt{250} = 5sqrt{10})
EJERCICIO ( PageIndex {38} )
(−7, −1) and (4, −5)
In Exercises 39 – 42 , set up an equation that models the problem constraints. Solve the equation and use the result to answer the question. Look back and check your result.
EJERCICIO ( PageIndex {39} )
Find k so that the point (4, k) is (2sqrt{2}) units away from the point (2, 1).
- Answer
-
k = 3, −1.
EJERCICIO ( PageIndex {40} )
Find k so hat the point (k, 1) is (2sqrt{2}) units away from the point (0, −1)
EJERCICIO ( PageIndex {41} )
Find k so hat the point (k, 1) is (sqrt{17}) units away from the point (2, −3)
- Answer
-
k = 1, 3.
EJERCICIO ( PageIndex {42} )
Find k so that the point (−1, k) is (sqrt{13}) units away from the point (−4, −3).
EJERCICIO ( PageIndex {43} )
Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje. Plot the points P (0, 5) and Q (4, −3) on your coordinate system.
a) Plot several points that are equidistant from the points P and Q on your coordinate system. What graph do you get if you plot all points that are equidistant from the points P and Q? Determine the equation of the graph by examining the resulting image on your coordinate system.
b) Use the distance formula to find the equation of the graph of all points that are equidistant from the points P and Q. Hint: Let (x, y) represent an arbitrary point on the graph of all points equidistant from points P and Q. Calculate the distances from the point (x, y) to the points P and Q separately, then set them equal and simplify the resulting equation. Note that this analytical approach should provide an equation that matches that found by the graphical approach in part (a).
- Answer
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a) In the figure that follows, XP = XQ.
b) (y = frac{1}{2}x)
EJERCICIO ( PageIndex {44} )
Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje. Plot the point P (0, 2) and label it with its coordinates. Draw the line y = −2 and label it with its equation.
a) Plot several points that are equidistant from the point P and the line y = −2 on your coordinate system. What graph do you get if you plot all points that are equidistant from the points P and the line y = −2.
b) Use the distance formula to find the equation of the graph of all points that are equidistant from the points P and the line y = −2. Hint: Let(x, y) represent an arbitrary point on the graph of all points equidistant from points P and the line y = −2. Calculate the distances from the point(x,y) to the points P and the line y = −2 separately, then set them equal and simplify the resulting equation.
EJERCICIO ( PageIndex {45} )
Copy the following figure onto a sheet of graph paper. Cut the pieces of the first figure out with a pair of scissors, then rearrange them to form the second figure. Explain how this proves the Pythagorean Theorem.
EJERCICIO ( PageIndex {46} )
Compare this image to the one that follows and explain how this proves the Pythagorean Theorem.
