9.6: Principios de conteo

9.6: Principios de conteo

Una nueva compañía vende fundas personalizables para tabletas y teléfonos inteligentes. Cada estuche viene en una variedad de colores y se puede personalizar por una tarifa adicional con imágenes o un monograma. Un cliente puede elegir no personalizar o puede elegir tener una, dos o tres imágenes o un monograma. El cliente puede elegir el orden de las imágenes y las letras en el monograma. La compañía está trabajando con una agencia para desarrollar una campaña de marketing con un enfoque en la gran cantidad de opciones que ofrecen. ¡Contar las posibilidades es un desafío!

Nos encontramos con una amplia variedad de problemas de conteo todos los días. Hay una rama de las matemáticas dedicada al estudio de problemas de conteo como este. Otras aplicaciones de conteo incluyen contraseñas seguras, resultados de carreras de caballos y opciones de programación universitaria. Examinaremos este tipo de matemáticas en esta sección.

Uso del principio de adición

 

La compañía que vende fundas personalizables ofrece fundas para tabletas y teléfonos inteligentes. Hay (3 ) modelos de tabletas compatibles y (5 ) modelos de teléfonos inteligentes compatibles. El Principio de adición nos dice que podemos agregar la cantidad de opciones de tableta a la cantidad de opciones de teléfonos inteligentes para encontrar la cantidad total de opciones. Según el Principio de adición, hay (8 ) opciones totales, como podemos ver en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
The addition of 3 iPods and 4 iPhones.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 
 
 

EL PRINCIPIO DE ADICION

 

De acuerdo con el Principio de adición , si un evento puede ocurrir en (m ) formas y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en (n ) formas, entonces el primero [19459016 ] o el segundo evento puede ocurrir en (m + n ) formas.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso del principio de adición

 

Hay (2 ) opciones de entradas vegetarianas y (5 ) opciones de entradas de carne en el menú de la cena. ¿Cuál es el número total de opciones de entrada?

 

Solución

 

Podemos agregar el número de opciones vegetarianas al número de opciones de carne para encontrar el número total de opciones de entrada.

 

The addition of the type of options for an entree.

 

Hay (7 ) opciones totales.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Un estudiante está comprando una computadora nueva. Está decidiendo entre (3 ) computadoras de escritorio y (4 ) computadoras portátiles. ¿Cuál es el número total de opciones de computadora?

 
     
Respuesta
     
     

(7 )

     
 
 
 

Usando el principio de multiplicación

 

El Principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección. Supongamos que estamos eligiendo un aperitivo, un plato principal y un postre. Si hay (2 ) opciones de aperitivo, (3 ) opciones de entrada y (2 ) opciones de postre en un menú de cena de precio fijo, hay un total de (12 ) opciones posibles de una cada una como se muestra en el diagrama de árbol en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
A tree diagram of the different menu combinations.  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 

Las opciones posibles son:

 
         
  1. sopa, pollo, pastel
  2.      
  3. sopa, pollo, budín
  4.      
  5. sopa, pescado, pastel
  6.      
  7. sopa, pescado, budín
  8.      
  9. sopa, filete, pastel
  10.      
  11. sopa, bistec, pudín
  12.      
  13. ensalada, pollo, pastel
  14.      
  15. ensalada, pollo, pudin
  16.      
  17. ensalada, pescado, pastel
  18.      
  19. ensalada, pescado, budín
  20.      
  21. ensalada, filete, pastel
  22.      
  23. ensalada, filete, pudín También podemos encontrar el número total de cenas posibles multiplicando.
  24.  
 

También podríamos concluir que hay (12 ) opciones de cena posibles simplemente aplicando el Principio de Multiplicación.

 

( # text {de opciones de aperitivo} times # text {de opciones de entrada} times # text {de opciones de postre} )

 

(2 × 3 × 2 = 12 )

 
 
 

EL PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

 

De acuerdo con el Principio de multiplicación, si un evento puede ocurrir en (m ) formas y un segundo evento puede ocurrir en (n ) formas después de que haya ocurrido el primer evento, entonces los dos eventos pueden ocurrir en ( m × n ) formas. Esto también se conoce como el Principio fundamental de conteo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Uso del principio de multiplicación

 

Diane empacó (2 ) faldas, (4 ) blusas y un suéter para su viaje de negocios. Tendrá que elegir una falda y una blusa para cada atuendo y decidir si usar el suéter. Usa el principio de multiplicación para encontrar el número total de atuendos posibles.

 

Solución

 

Para encontrar el número total de atuendos, encuentra el producto del número de opciones de faldas, el número de opciones de blusas y el número de opciones de suéteres.

 

The multiplication of number of skirt options (2) times the number of blouse options (4) times the number of sweater options (2) which equals 16.

 

Hay (16 ) atuendos posibles.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Un restaurante ofrece un desayuno especial que incluye un sándwich de desayuno, un plato de acompañamiento y una bebida. Hay (3 ) tipos de sándwiches de desayuno, (4 ) opciones de guarniciones y (5 ) opciones de bebidas. Encuentra el número total de posibles ofertas de desayuno.

 
     
Respuesta
     
     

Hay (60 ) especiales de desayuno posibles.

     
 
 
 

Encontrar el número de permutaciones de (n ) objetos distintos

 

El principio de multiplicación se puede utilizar para resolver una variedad de tipos de problemas. Un tipo de problema implica colocar objetos en orden. Organizamos letras en palabras y dígitos en números, alineamos para fotografías, decoramos habitaciones y más. Una ordenación de objetos se llama permutación.

 
Encontrar el número de permutaciones de (n ) objetos distintos usando el principio de multiplicación
 

Para resolver problemas de permutación, a menudo es útil dibujar segmentos de línea para cada opción. Eso nos permite determinar el número de cada opción para que podamos multiplicar. Por ejemplo, supongamos que tenemos cuatro pinturas y queremos encontrar la cantidad de formas en que podemos colgar tres de las pinturas en orden en la pared. Podemos dibujar tres líneas para representar los tres lugares en la pared.

 

 

Hay cuatro opciones para el primer lugar, por lo que escribimos un (4 ) en la primera línea.

 

Four times two blanks spots.

 

Después de llenar el primer lugar, hay tres opciones para el segundo lugar, por lo que escribimos un (3 ) en la segunda línea.

 

Four times three times one blank spot.

 

Después de llenar el segundo lugar, hay dos opciones para el tercer lugar, por lo que escribimos un (2 ) en la tercera línea. Finalmente, encontramos el producto.

 

 

Hay (24 ) posibles permutaciones de las pinturas.

 
 

Cómo: Dadas (n ) opciones distintas, determinar cuántas permutaciones hay.

 
         
  1. Determine cuántas opciones hay para la primera situación.
  2.      
  3. Determine cuántas opciones quedan para la segunda situación.
  4.      
  5. Continúa hasta que se llenen todos los puntos.
  6.      
  7. Multiplica los números juntos.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Encontrar el número de permutaciones usando el principio de multiplicación

 

En una competencia de natación, nueve nadadores compiten en una carrera.

 
         
  1. ¿De cuántas maneras pueden ubicar primero, segundo y tercero?
  2.      
  3. ¿De cuántas maneras pueden colocarse primero, segundo y tercero si un nadador llamado Ariel gana el primer lugar? (Suponga que solo hay un concursante llamado Ariel.)
  4.      
  5. ¿De cuántas maneras se pueden alinear los nueve nadadores para una foto?
  6.  
 

Solución

 
         
  1. Dibuja líneas para cada lugar.      

         

    Hay (9 ) opciones para el primer lugar. Una vez que alguien ha ganado el primer lugar, quedan (8 ) opciones restantes para el segundo lugar. Una vez que se han ganado el primer y segundo lugar, quedan (7 ) opciones restantes para el tercer lugar.

         

         

    Multiplica para encontrar que hay (504 ) formas para que los nadadores las coloquen.

         
  2.      
  3. Dibuja líneas para describir cada lugar.      

         

    Sabemos que Ariel debe ganar el primer lugar, por lo que solo hay una opción (1 ) para el primer lugar. Hay (8 ) opciones restantes para el segundo lugar, y luego (7 ) opciones restantes para el tercer lugar.

         

         

    Multiplica para encontrar que hay (56 ) formas en que los nadadores pueden ubicar si Ariel gana primero.

         
  4.      
  5.      

    Dibuja líneas para describir cada lugar en la foto.

         

         

    Hay (9 ) opciones para el primer lugar, luego (8 ) para el segundo, (7 ) para el tercero, (6 ) para el cuarto, y así sucesivamente hasta que solo (1 ) persona permanece para el último lugar.

         

         

    Hay (362,880 ) posibles permutaciones para que los nadadores se alineen.

         
  6.  
 

Análisis

 

Tenga en cuenta que en la parte c, encontramos que había (9! ) Formas para que (9 ) personas se alinearan. El número de permutaciones de (n ) objetos distintos siempre se puede encontrar con (n! ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3A} )

 

Una familia de cinco está tomando retratos. Use el Principio de multiplicación para encontrar lo siguiente:

 
         
  1. ¿De cuántas maneras puede la familia alinearse para el retrato?
  2.      
  3. ¿De cuántas maneras puede el fotógrafo alinear a (3 ) miembros de la familia?
  4.      
  5. ¿De cuántas maneras puede la familia alinearse para el retrato si los padres deben pararse en cada extremo?
  6.  
 
     
Responda a
     
     

(120 )

     
     
Respuesta b
     
     

(60 )

     
     
Respuesta c
     
     

(12 )

     
 
 
 

Encontrar el número de permutaciones de n Distintos objetos que usan una fórmula

 

Para algunos problemas de permutación, es inconveniente usar el principio de multiplicación porque hay muchos números para multiplicar. Afortunadamente, podemos resolver estos problemas usando una fórmula. Antes de aprender la fórmula, veamos dos notaciones comunes para permutaciones. Si tenemos un conjunto de objetos (n ) y queremos elegir (r ) objetos del conjunto en orden, escribimos (P (n, r) ). Otra forma de escribir esto es (nP_r ), una notación comúnmente vista en computadoras y calculadoras. Para calcular (P (n, r) ), comenzamos por encontrar (n! ), El número de formas de alinear todos los nn objetos. Luego dividimos por ((n − r)! ) Para cancelar los elementos ((n − r) ) que no deseamos alinear.

 

Veamos cómo funciona esto con un ejemplo simple. Imagina un club de seis personas. Necesitan elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Seis personas pueden ser elegidas presidente, cualquiera de las cinco personas restantes puede ser elegida vicepresidenta, y cualquiera de las cuatro personas restantes puede ser elegida tesorera. El número de formas en que esto se puede hacer es (6 × 5 × 4 = 120 ). Usando factoriales, obtenemos el mismo resultado.

 

( dfrac {6!} {3!} = Dfrac {6 · 5 · 4 · 3!} {3!} = 6 · 5 · 4 = 120 )

 

Hay (120 ) formas de seleccionar (3 ) oficiales en orden de un club con (6 ) miembros. Nos referimos a esto como una permutación de (6 ) tomada (3 ) a la vez. La fórmula general es la siguiente.

 

[P (n, r) = dfrac {n!} {(N − r)!} ]

 

Tenga en cuenta que la fórmula aún funciona si elegimos todos los objetos (n ) y los colocamos en orden. En ese caso, estaríamos dividiendo entre ((n − n)! ) O (0! ), Que dijimos anteriormente es igual a (1 ). Entonces, el número de permutaciones de (n ) objetos tomados (n ) a la vez es ( dfrac {n!} {1} ) o simplemente (n! ).

 
 
 

FORMULA PARA PERMUTACIONES DE N OBJETOS DISTINTOS

 

Dados (n ) objetos distintos, la cantidad de formas de seleccionar (r ) objetos del conjunto en orden es

 

[P (n, r) = dfrac {n!} {(N − r)!} ]

 
 
 

Cómo: dado un problema verbal, evaluar las posibles permutaciones.

 
         
  1. Identifique (n ) a partir de la información dada.
  2.      
  3. Identifique (r ) a partir de la información proporcionada.
  4.      
  5. Reemplace (n ) y (r ) en la fórmula con los valores dados.
  6.      
  7. Evaluar.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar el número de permutaciones usando la fórmula

 

Un profesor está creando un examen de (9 ) preguntas de un banco de pruebas de (12 ) preguntas. ¿De cuántas maneras puede seleccionar y organizar las preguntas?

 

Solución

 

Sustituye (n = 12 ) y (r = 9 ) en la fórmula de permutación y simplifica.

 

[ begin {align *} P (n, r) & = dfrac {n!} {(Nr)!} \ P (12,9) & = dfrac {12!} {(12 -9)!} \ & = dfrac {12!} {3!} \ & = 79,833,600 end {align *} ]

 

¡Hay (79,833,600 ) posibles permutaciones de preguntas de examen!

 

Análisis

 

También podemos usar una calculadora para encontrar permutaciones. Para este problema, deberíamos ingresar (12 ), presionar la función (nP_r ), ingresar (9 ) y luego presionar el signo igual. La función (nP_r ) puede ubicarse en el menú MATH con comandos de probabilidad.

 
 
 

Preguntas y respuestas:

 

¿Podríamos haber resuelto el ejemplo anterior utilizando el Principio de multiplicación?

 

Sí. Podríamos haber multiplicado (15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4 ) para encontrar la misma respuesta.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4A} )

 

Una obra tiene un elenco de (7 ) actores que se preparan para hacer su llamado al telón. Usa la fórmula de permutación para encontrar lo siguiente.

 

¿De cuántas maneras pueden alinearse los actores (7 )?

 
     
Respuesta
     
     

(P (7,7) = 5,040 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4B} )

 

¿De cuántas maneras pueden elegirse (5 ) de los (7 ) actores para alinearse?

 
     
Respuesta
     
     

(P (7,5) = 2,520 )

     
 
 
 

Encuentra el número de combinaciones usando la fórmula

 

Hasta ahora, hemos analizado los problemas que nos piden que ordenemos los objetos. Hay muchos problemas en los que queremos seleccionar algunos objetos de un grupo de objetos, pero no nos importa el orden. Cuando estamos seleccionando objetos y el orden no importa, estamos tratando con combinaciones . Una selección de objetos (r ) de un conjunto de objetos (n ) donde el orden no importa puede escribirse como (C (n, r) ). Al igual que con las permutaciones, (C (n, r) ) también se puede escribir como (nC_r ). En este caso, la fórmula general es la siguiente.

 

[C (n, r) = dfrac {n!} {R! (N − r)!} Label {combo} ]

 

Un problema anterior consideraba elegir (3 ) de (4 ) posibles pinturas para colgar en una pared. Descubrimos que había (24 ) formas de seleccionar (3 ) de las pinturas (4 ) en orden. Pero, ¿y si no nos importa el pedido? Esperaríamos un número menor porque seleccionar pinturas (1, 2, 3 ) sería lo mismo que seleccionar pinturas (2, 3, 1 ). Para encontrar la cantidad de formas de seleccionar (3 ) de las pinturas (4 ), sin tener en cuenta el orden de las pinturas, divida la cantidad de permutaciones por la cantidad de formas de ordenar las pinturas (3 ). Hay (3! = 3 · 2 · 1 = 6 ) formas de ordenar (3 ) pinturas. Hay ( dfrac {24} {6} ), o (4 ) formas de seleccionar (3 ) de las pinturas (4 ). Este número tiene sentido porque cada vez que seleccionamos (3 ) pinturas, estamos no seleccionando (1 ) pintura. Hay (4 ) pinturas que podríamos elegir no para seleccionar, por lo que hay (4 ) formas de seleccionar (3 ) de las (4 ) pinturas.

 
 

FORMULA PARA COMBINACIONES DE N OBJETOS DISTINTOS

 

Dados (n ) objetos distintos, la cantidad de formas de seleccionar objetos (r ) del conjunto es

 

[C (n, r) = dfrac {n!} {R! (N − r)!} ]

 
 
 
 

Cómo: Dadas una cantidad de opciones, determinar el número posible de combinaciones.

 
         
  1. Identifique (n ) a partir de la información dada.
  2.      
  3. Identifique (r ) a partir de la información proporcionada.
  4.      
  5. Reemplace (n ) y (r ) en la fórmula con los valores dados.
  6.      
  7. Evaluar.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar el número de combinaciones usando la fórmula

 

Un restaurante de comida rápida ofrece cinco opciones de guarniciones. Su comida viene con dos guarniciones.

 
         
  1. ¿De cuántas maneras puedes seleccionar tus guarniciones?
  2.      
  3. ¿De cuántas maneras puedes seleccionar (3 ) guarniciones?
  4.  
 

Solución

 
         
  1. Queremos elegir (2 ) guarniciones entre las opciones (5 ).      

    (C (5,2) = dfrac {5!} {2! (5−2)!} = 10 )

         
  2.      
  3. Queremos elegir (3 ) guarniciones entre las opciones (5 ).      

    (C (5,3) = dfrac {5!} {3! (5−3)!} = 10 )

         
  4.  
 

Análisis

 

También podemos usar una calculadora gráfica para encontrar combinaciones. Ingrese 5, luego presione (nC_r ), ingrese 3, y luego presione el signo igual. La función (nC_r ), se puede ubicar en el menú MATH con comandos de probabilidad.

 
 
 

Preguntas y respuestas

 

¿Es una coincidencia que las partes (a) y (b) en el ejemplo anterior tengan las mismas respuestas?

 

No. Cuando elegimos objetos r entre n objetos, estamos no eligiendo objetos ((n – r) ). Por lo tanto, (C (n, r) = C (n, n – r) ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Una heladería ofrece (10 ​​) sabores de helado. ¿De cuántas maneras hay que elegir (3 ) sabores para una división de plátano?

 
     
Respuesta
     
     

(C (10,3) = 120 )

     
 
 
 

Encontrar el número de subconjuntos de un conjunto

 

Solo hemos observado problemas de combinación en los que elegimos exactamente los objetos rr. En algunos problemas, queremos considerar elegir cada número posible de objetos. Considere, por ejemplo, un restaurante de pizza que ofrece (5 ) coberturas. Se puede pedir cualquier cantidad de ingredientes. ¿Cuántas pizzas diferentes son posibles?

 

Para responder a esta pregunta, debemos considerar las pizzas con cualquier cantidad de ingredientes. Hay (C (5,0) = 1 ) forma de pedir una pizza sin coberturas. Hay (C (5,1) = 5 ) formas de pedir una pizza con exactamente un relleno. Si continuamos este proceso, obtenemos

 

(C (5,0) + C (5,1) + C (5,2) + C (5,3) + C (5,4) + C (5,5) = 32 )

 

Hay (32 ) posibles pizzas. Este resultado es igual a (2 ^ 5 ).

 

Se nos presenta una secuencia de opciones. Para cada uno de los nn objetos tenemos dos opciones: incluirlo en el subconjunto o no. Entonces, para todo el subconjunto, hemos hecho nn elecciones, cada una con dos opciones. Entonces, hay un total de (2 · 2 · 2 ·… · 2 ) posibles subconjuntos resultantes, desde el subconjunto vacío, que obtenemos cuando decimos «no» cada vez, hasta el conjunto original en sí, que obtenemos cuando decimos «sí» cada vez.

 
 

FORMULA PARA EL NÚMERO DE SUBSETES DE UN CONJUNTO

 

Un conjunto que contiene n objetos distintos tiene subconjuntos (2 ^ n ).

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar el número de subconjuntos de un conjunto

 

Un restaurante ofrece mantequilla, queso, cebollino y crema agria como ingredientes para una papa al horno. ¿De cuántas maneras diferentes hay para pedir una papa?

 

Solución

 

Estamos buscando el número de subconjuntos de un conjunto con objetos (4 ). Sustituye (n = 4 ) en la fórmula.

 

[ begin {align *} 2 ^ n & = 2 ^ 4 \ & = 16 end {align *} ]

 

Hay (16 ) formas posibles de ordenar una papa.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Una barra de helado en una boda tiene (6 ) ingredientes para elegir. Se puede elegir cualquier cantidad de ingredientes. ¿Cuántos helados diferentes son posibles?

 
     
Respuesta
     
     

(64 ) sundaes

     
 
 
 

Encontrar el número de permutaciones de n Objetos no distintos

 

Hemos estudiado permutaciones donde todos los objetos involucrados eran distintos. ¿Qué sucede si algunos de los objetos son indistinguibles? Por ejemplo, supongamos que hay una hoja de pegatinas de (12 ). Si todas las etiquetas fueran distintas, habría (12! ) Formas de ordenar las etiquetas. Sin embargo, (4 ) de las pegatinas son estrellas idénticas y (3 ) son lunas idénticas. Debido a que todos los objetos no son distintos, muchas de las permutaciones (12! ) Que contamos son duplicados. La fórmula general para esta situación es la siguiente.

 

[ dfrac {n!} {R_1! R_2!… R_k!} ]

 

En este ejemplo, necesitamos dividir por la cantidad de formas de ordenar las estrellas (4 ) y las formas de ordenar las lunas (3 ) para encontrar la cantidad de permutaciones únicas de las pegatinas. Hay (4! ) Formas de ordenar las estrellas y (3! ) Formas de ordenar la luna.

 

( dfrac {12!} {4! 3!} = 3,326,400 )

 

Hay (3,326,400 ) formas de ordenar la hoja de calcomanías.

 
 
 

FORMULA PARA ENCONTRAR EL NÚMERO DE PERMUTACIONES DE (N ) OBJETOS NO DISTINTOS

 

Si hay nn elementos en un conjunto y (r_1 ) son iguales, (r_2 ) son iguales, (r_3 ) son iguales, y así sucesivamente a través de (r_k ), el número de permutaciones se puede encontrar por

 

[ dfrac {n!} {R_1! R_2!… R_k!} ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Encontrar el número de permutaciones de (n ) Objetos no distintos

 

Encuentre el número de reordenamientos de las letras en la palabra DISTINCT.

 

Solución

 

Hay (8 ) letras. Tanto (I ) como (T ) se repiten (2 ) veces. Sustituya (n = 8 ), (r_1 = 2 ) y (r_2 = 2 ) en la fórmula.

 

( dfrac {8!} {2! 2!} = 10,080 )

 

Hay (10,080 ) arreglos.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentre el número de reordenamientos de las letras en la palabra CARRIER.

 
     
Respuesta
     
     

(840 )

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con combinaciones y permutaciones.

 
 
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