Resolvimos algunas aplicaciones modeladas por ecuaciones cuadráticas antes, cuando el único método que teníamos para resolverlas era factorizar. Ahora que tenemos más métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, analizaremos nuevamente las aplicaciones.
Primero resumamos los métodos que ahora tenemos para resolver ecuaciones cuadráticas.
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas
- Factoring
- Propiedad de raíz cuadrada
- Completando la plaza
- Fórmula cuadrática
Mientras resuelve cada ecuación, elija el método que le resulte más conveniente para resolver el problema. Como recordatorio, copiaremos nuestra estrategia habitual de resolución de problemas aquí para que podamos seguir los pasos.
Use una estrategia de resolución de problemas
- Lea el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.
- Identifique lo que estamos buscando.
- Nombre lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
- Traduzca en una ecuación. Puede ser útil repetir el problema en una oración con toda la información importante. Luego, traduce la oración en inglés a una ecuación algebraica.
- Resuelve la ecuación usando técnicas de álgebra.
- Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
- Responda la pregunta con una oración completa.
Hemos resuelto aplicaciones de números que involucraban enteros pares e impares consecutivos, modelando la situación con ecuaciones lineales. Recuerde, notamos que cada entero par es (2 ) más que el número que lo precede. Si llamamos al primero (n ), entonces el siguiente es (n + 2 ). El siguiente sería (n + 2 + 2 ) o (n + 4 ). Esto también es cierto cuando usamos enteros impares. A continuación se muestra un conjunto de enteros pares y un conjunto de enteros impares.
( begin {array} {cl} {} & { text {números enteros consecutivos}} \ {} y {64,66,68} \ {n} y {1 ^ { text { st}} text {entero entero}} \ {n + 2} y {2 ^ { text {nd}} text {entero par consecutivo}} \ {n + 4} y {3 ^ { text {rd}} text {entero par consecutivo}} end {array} )
( begin {array} {cl} {} & { text {enteros impares consecutivos}} \ {} y {77,79,81} \ {n} y {1 ^ { text { st}} text {entero impar}} \ {n + 2} y {2 ^ { text {nd}} text {entero impar consecutivo}} \ {n + 4} y {3 ^ { text {rd}} text {entero impar consecutivo}} end {array} )
Algunas aplicaciones de enteros pares o impares consecutivos se modelan mediante ecuaciones cuadráticas. La notación anterior será útil cuando nombre las variables.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
El producto de dos enteros impares consecutivos es (195 ). Encuentra los enteros.
Solución :
Paso 1 : Lea el problema
Paso 2 : Identifique lo que estamos buscando.
Estamos buscando dos enteros impares consecutivos.
Paso 3 : Nombre lo que estamos buscando.
Sea (n = ) el primer entero impar.
(n + 2 = ) el siguiente entero impar.
Paso 4 : Traducir en una ecuación. Indique el problema en una oración.
“El producto de dos enteros impares consecutivos es (195 )”. El producto del primer entero impar y el segundo entero impar es (195 ).
Traducir a una ecuación.
(n (n + 2) = 195 )
Paso 5 : Resuelve la ecuación. Distribuir.
(n ^ {2} +2 n = 195 )
Escribe la ecuación en forma estándar.
(n ^ {2} +2 n-195 = 0 )
Factor.
((n + 15) (n-13) = 0 )
Utilice la propiedad del producto cero.
(n + 15 = 0 quad n-13 = 0 )
Resuelve cada ecuación.
(n = -15, quad n = 13 )
Hay dos valores de (n ) que son soluciones. Esto nos dará dos pares de enteros impares consecutivos para nuestra solución.
( begin {array} {cc} { text {primer entero impar} n = 13} & { text {primer entero impar} n = -15} \ { text {siguiente entero impar} n +2} y { text {siguiente entero impar} n + 2} \ {13 + 2} y {-15 + 2} \ {15} y {-13} end {array} )
Paso 6 : Marque la respuesta.
¿Funcionan estos pares? ¿Son enteros impares consecutivos?
( begin {alineado} 13,15 y text {yes} \ – 13, -15 & text {yes} end {alineado} )
¿Es su producto (195 )?
( begin {alineado} 13 cdot 15 & = 195 & text {yes} \ – 13 (-15) & = 195 & text {yes} end {alineado} )
Paso 7 : Responda la pregunta.
Dos enteros impares consecutivos cuyo producto es (195 ) son (13,15 ) y (- 13, -15 ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
El producto de dos enteros impares consecutivos es (99 ). Encuentra los enteros.
- Respuesta
-
Los dos enteros impares consecutivos cuyo producto es (99 ) son (9, 11 ) y (- 9, −11 ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
El producto de dos enteros pares consecutivos es (168 ). Encuentra los enteros.
- Respuesta
-
Los dos enteros pares consecutivos cuyo producto es (128 ) son (12, 14 ) y (- 12, −14 ).
Usaremos la fórmula para el área de un triángulo para resolver el siguiente ejemplo.
Definición ( PageIndex {1} )
Área de un triángulo
Para un triángulo con base, (b ) y altura, (h ), el área, (A ), viene dada por la fórmula (A = frac {1} {2} bh ).
Recuerde que cuando resolvemos aplicaciones geométricas, es útil dibujar la figura.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Un arquitecto está diseñando la entrada de un restaurante. Ella quiere poner una ventana triangular sobre la puerta. Debido a restricciones de energía, la ventana solo puede tener un área de (120 ) pies cuadrados y el arquitecto quiere que la base tenga (4 ) pies más del doble de la altura. Encuentra la base y la altura de la ventana.
Solución :
| Paso 1 : Lea el problema. Dibuja una imagen. |  |
| Paso 2 : Identifique lo que estamos buscando. | Estamos buscando la base y la altura. |
| Paso 3 : Nombre lo que estamos buscando. |
Sea (h = ) la altura del triángulo. (2h + 4 = ) la base del triángulo. |
|
Paso 4 : Traducir a una ecuación. Conocemos la zona. Escribe la fórmula para el área de un triángulo. |
(A = frac {1} {2} b h ) |
| Paso 5 : Resuelve la ecuación. Sustituir en los valores. | (120 = frac {1} {2} (2 h + 4) h ) |
| Distribuir. | (120 = h ^ {2} +2 h ) |
| Esta es una ecuación cuadrática, reescríbala en forma estándar. | (h ^ {2} +2 h-120 = 0 ) |
| Factor. | ((h-10) (h + 12) = 0 ) |
| Utilice la propiedad del producto cero. | (h-10 = 0 quad h + 12 = 0 ) |
| Simplifica. | (h = 10, quad cancel {h = -12} ) |
| Dado que (h ) es la altura de una ventana, un valor de (h = -12 ) no tiene sentido. | |
| La altura del triángulo (h = 10 ). | |
|
La base del triángulo (2h + 4 ). (2 cdot 10 + 4 ) (24 ) |
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|
Paso 6 : Marque la respuesta. ¿Un triángulo con altura (10 ) y base (24 ) tiene área (120 )? Si. |
|
| Paso 7 : Responda la pregunta. | La altura de la ventana triangular es (10 ) pies y la base es (24 ) pies. |
Tabla 9.5.1
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Encuentra la base y la altura de un triángulo cuya base es cuatro pulgadas más de seis veces su altura y tiene un área de (456 ) pulgadas cuadradas.
- Respuesta
-
La altura del triángulo es (12 ) pulgadas y la base es (76 ) pulgadas.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Si un triángulo que tiene un área de (110 ) pies cuadrados tiene una base que es dos pies menos del doble de la altura, ¿cuál es la longitud de su base y altura?
- Respuesta
-
La altura del triángulo es (11 ) pies y la base es (20 ) pies.
En los dos ejemplos anteriores, el número en el radical en la Cuadrática Fórmula era un cuadrado perfecto y las soluciones eran números racionales. Si obtenemos un número irracional como solución a un problema de aplicación, utilizaremos una calculadora para obtener un valor aproximado.
Usaremos la fórmula para el área de un rectángulo para resolver el siguiente ejemplo.
Definición ( PageIndex {2} )
Área de un rectángulo
Para un rectángulo con longitud, (L ) y ancho, (W ), el área, (A ), viene dada por la fórmula (A = LW ).
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Mike quiere poner (150 ) pies cuadrados de césped artificial en su patio delantero. Esta es el área máxima de césped artificial permitida por su asociación de propietarios. Quiere tener un área rectangular de césped con una longitud de un pie menos de (3 ) veces el ancho. Encuentra el largo y el ancho. Redondea a la décima de pie más cercana.
Solución :
Tabla 9.5.2
Ejercicio ( PageIndex {5} )
La longitud de un huerto rectangular de (200 ) pies cuadrados es cuatro pies menos del doble del ancho. Halla la longitud y el ancho del jardín, a la décima de pie más cercana.
- Respuesta
-
La longitud del jardín es de aproximadamente (18 ) pies y el ancho (11 ) pies.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Un mantel rectangular tiene un área de (80 ) pies cuadrados. El ancho es (5 ) pies más corto que el largo. ¿Cuál es el largo y ancho del mantel a la décima de pie más cercana?
- Respuesta
-
La longitud del mantel es de aproximadamente (11.8 ) pies y el ancho (6.8 ) pies.
El Teorema de Pitágoras da la relación entre las patas y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Usaremos el teorema de Pitágoras para resolver el siguiente ejemplo.
Definición ( PageIndex {3} )
Teorema de Pitágoras
En cualquier triángulo rectángulo, donde (a ) y (b ) son las longitudes de las patas, y (c ) es la longitud de la hipotenusa, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ).
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Rene está configurando una pantalla de luces navideñas. Quiere hacer un “árbol” en forma de dos triángulos rectángulos, como se muestra a continuación, y tiene dos cadenas de luces de (10 ) pies para usar en los lados. Fijará las luces a la parte superior de un poste y a dos estacas en el suelo. Quiere que la altura del poste sea la misma que la distancia desde la base del poste hasta cada estaca. ¿Qué tan alto debe ser el poste?
Solución :
| Paso 1 : Lea el problema. Dibuja una imagen. |  |
| Paso 2 : Identifique lo que estamos buscando. | Estamos buscando la altura del poste. |
| Paso 3 : Nombre lo que estamos buscando. |
La distancia desde la base del poste hasta cualquier estaca es la misma que la altura del poste. Sea (x = ) la altura del poste. Cada lado es un triángulo rectángulo. Dibujamos una imagen de uno de ellos. 
|
|
Paso 4 : Traducir a una ecuación. Podemos usar el teorema de Pitágoras para resolver (x ). |
(a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ) |
| Paso 5 : Resuelve la ecuación. Sustituir. | (x ^ {2} + x ^ {2} = 10 ^ {2} ) |
| Simplifica. | (2 x ^ {2} = 100 ) |
| Divide entre (2 ) para aislar la variable. | ( frac {2 x ^ {2}} {2} = frac {100} {2} ) |
| Simplifica. | (x ^ {2} = 50 ) |
| Use la propiedad de raíz cuadrada. | (x = pm sqrt {50} ) |
| Simplifica el radical. | (x = pm 5 sqrt {2} ) |
| Reescribe para mostrar dos soluciones. | (x = 5 sqrt {2}, quad cancel {x = -5 sqrt {2}} ) |
| Si aproximamos este número a la décima más cercana con una calculadora, encontramos (x≈7.1 ). | |
| Paso 6 : Marque la respuesta. Consulte por su cuenta en el Teorema de Pitágoras. | |
| Paso 7 : Responda la pregunta. | El poste debe tener aproximadamente (7.1 ) pies de altura. |
Tabla 9.5.3
Ejercicio ( PageIndex {7} )
El sol proyecta una sombra desde un asta de la bandera. La altura del asta de la bandera es tres veces la longitud de su sombra. La distancia entre el final de la sombra y la parte superior del asta de la bandera es (20 ) pies. Encuentra la longitud de la sombra y la longitud del asta de la bandera. Redondea a la décima más cercana.
- Respuesta
-
La longitud de la sombra del asta de la bandera es aproximadamente (6.3 ) pies y la altura del asta de la bandera es (18.9 ) pies.
Ejercicio ( PageIndex {8} )
La distancia entre las esquinas opuestas de un campo rectangular es cuatro más que el ancho del campo. La longitud del campo es dos veces su ancho. Encuentra la distancia entre las esquinas opuestas. Redondea a la décima más cercana.
- Respuesta
-
La distancia entre las esquinas opuestas es de aproximadamente (7.2 ) pies.
La altura de un proyectil disparado hacia arriba desde el suelo está modelada por una ecuación cuadrática. La velocidad inicial, (v_ {0} ), impulsa el objeto hacia arriba hasta que la gravedad hace que el objeto vuelva a caer.
Definición ( PageIndex {4} )
La altura en pies, (h ), de un objeto disparado hacia arriba en el aire con velocidad inicial, (v_ {0} ), después de (t ) segundos viene dada por la fórmula
(h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t )
Podemos usar esta fórmula para encontrar cuántos segundos le tomará a un fuego artificial alcanzar una altura específica.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Un fuego artificial se dispara hacia arriba con una velocidad inicial (130 ) pies por segundo. ¿Cuántos segundos tomará alcanzar una altura de (260 ) pies? Redondea a la décima de segundo más cercana.
Solución :
Tabla 9.5.4
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Se dispara una flecha desde el suelo hacia el aire a una velocidad inicial de (108 ) pies / s. Use la fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar cuándo la flecha estará (180 ) pies del suelo. Redondea la décima más cercana.
- Respuesta
-
La flecha alcanzará (180 ) pies en su subida después de (3 ) segundos y nuevamente en su bajada después de aproximadamente (3.8 ) segundos.
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Un hombre lanza una pelota al aire con una velocidad de (96 ) pies / s. Use la fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar cuándo la altura de la pelota será (48 ) pies. Redondea a la décima más cercana.
- Respuesta
-
La pelota alcanzará (48 ) pies en su subida después de aproximadamente (. 6 ) segundos y nuevamente en su bajada después de aproximadamente (5.4 ) segundos.
Hemos resuelto problemas de movimiento uniforme usando la fórmula (D = rt ) en capítulos anteriores. Utilizamos una tabla como la siguiente para organizar la información y llevarnos a la ecuación.
La fórmula (D = rt ) supone que conocemos (r ) y (t ) y los usamos para encontrar (D ). Si conocemos (D ) y (r ) y necesitamos encontrar (t ), resolveremos la ecuación para (t ) y obtendremos la fórmula (t = frac {D} {r} ).
Algunos problemas de movimiento uniforme también se modelan mediante ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
El profesor Smith acaba de regresar de una conferencia que fue (2,000 ) millas al este de su casa. Su tiempo total en el avión para el viaje de ida y vuelta fue de (9 ) horas. Si el avión volaba a una velocidad de (450 ) millas por hora, ¿cuál era la velocidad de la corriente en chorro?
Solución :
Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.
Completamos el cuadro para organizar la información.
Estamos buscando la velocidad de la corriente en chorro. Deje (r = ) la velocidad de la corriente en chorro.
Cuando el avión vuela con el viento, el viento aumenta su velocidad y la tasa es (450 + r ).
Cuando el avión vuela contra el viento, el viento disminuye su velocidad y la velocidad es (450 – r ).
| Escriba las tarifas. Escribe en las distancias. Desde (D = r⋅t ), resolvemos para (t ) y obtenemos (t = frac {D} {r} ). Dividimos la distancia entre la tasa en cada fila, y colocamos la expresión en la columna de tiempo . |
 |
| Sabemos que los tiempos se suman a (9 ) y por eso escribimos nuestra ecuación. |
( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} = 9 ) |
| Multiplicamos ambos lados por la pantalla LCD. | ((450-r) (450 + r) left ( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} right) = 9 (450-r) ( 450 + r) ) |
| Simplifica. | (2000 (450 + r) +2000 (450-r) = 9 (450-r) (450 + r) ) |
| Factoriza el (2,000 ). | (2000 (450 + r + 450-r) = 9 izquierda (450 ^ {2} -r ^ {2} derecha) ) |
| Resolver. | (2000 (900) = 9 izquierda (450 ^ {2} -r ^ {2} derecha) ) |
| Dividir entre (9 ). | (2000 (100) = 450 ^ {2} -r ^ {2} ) |
| Simplifica. |
( begin {alineado} 200000 & = 202500-r ^ {2} \ -2500 & = – r ^ {2} \ 50 & = r end {alineado} ) La velocidad de la corriente en chorro es (50 ) mph. |
|
Verificación: ¿Es (50 ) mph una velocidad razonable para la corriente en chorro? Si. Si el avión viaja (450 ) mph y el viento es (50 ) mph, Viento de cola (450 + 50 = 500 mathrm {mph} quad frac {2000} {500} = 4 ) horas Viento en contra (450-50 = 400 mathrm {mph} quad frac {2000} {400} = 5 ) horas Los tiempos se suman a (9 ) horas, por lo que comprueba. |
Tabla 9.5.5
La velocidad de la corriente en chorro fue de (50 ) mph.
Ejercicio ( PageIndex {11} )
MaryAnne acaba de regresar de una visita con sus nietos al este. El viaje fue de (2400 ) millas desde su casa y su tiempo total en el avión para el viaje de ida y vuelta fue de (10 ) horas. Si el avión volaba a una velocidad de (500 ) millas por hora, ¿cuál era la velocidad de la corriente en chorro?
- Respuesta
-
La velocidad de la corriente en chorro fue de (100 ) mph.
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Gerry acaba de regresar de un viaje a campo traviesa. El viaje fue de (3000 ) millas desde su casa y su tiempo total en el avión para el viaje de ida y vuelta fue de (11 ) horas. Si el avión volaba a una velocidad de (550 ) millas por hora, ¿cuál era la velocidad de la corriente en chorro?
- Respuesta
-
La velocidad de la corriente en chorro fue de (50 ) mph.
Las aplicaciones de trabajo también se pueden modelar mediante ecuaciones cuadráticas. Los configuraremos utilizando los mismos métodos que usamos cuando los resolvimos con ecuaciones racionales. Ahora utilizaremos un escenario similar.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
La revista semanal de chismes tiene una gran historia sobre las elecciones presidenciales y el editor quiere que la revista se imprima lo antes posible. Le ha pedido a la impresora que ejecute una imprenta adicional para que la impresión se realice más rápidamente. La prensa n. ° 1 tarda (12 ) horas más que la prensa n. ° 2 para hacer el trabajo y, cuando se ejecutan ambas prensas, pueden imprimir el trabajo en (8 ) horas. ¿Cuánto tiempo lleva cada impresión imprimir el trabajo solo?
Solución :
Este es un problema de trabajo. Un cuadro nos ayudará a organizar la información.
Estamos buscando cuántas horas tomaría cada prensa por separado para completar el trabajo.
Tabla 9.5.6
Ejercicio ( PageIndex {13} )
La revista semanal de noticias tiene una gran historia que nombra a la Persona del Año y el editor quiere que la revista se imprima lo antes posible. Le ha pedido a la impresora que ejecute una imprenta adicional para que la impresión se realice más rápidamente. La prensa n. ° 1 tarda (6 ) horas más que la prensa n. ° 2 para hacer el trabajo y, cuando se ejecutan ambas prensas, pueden imprimir el trabajo en (4 ) horas. ¿Cuánto tiempo lleva cada impresión imprimir el trabajo solo?
- Respuesta
-
Presione # 1 tomaría (12 ) horas, y Presione # 2 tomaría (6 ) horas para hacer el trabajo solo.
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Erlinda está haciendo una fiesta y quiere llenar su bañera de hidromasaje. Si solo usa la manguera roja, lleva (3 ) horas más que si solo usa la manguera verde. Si usa ambas mangueras juntas, la bañera de hidromasaje se llena en (2 ) horas. ¿Cuánto tiempo tarda cada manguera en llenar la bañera de hidromasaje?
- Respuesta
-
La manguera roja tarda (6 ) horas y la manguera verde tarda (3 ) horas solo.
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la resolución de aplicaciones modeladas por ecuaciones cuadráticas.