9.6: Resolver ecuaciones con raíces cuadradas

9.6: Resolver ecuaciones con raíces cuadradas

Usar raíces cuadradas en aplicaciones

 

A medida que avanzas en tus cursos universitarios, encontrarás fórmulas que incluyen raíces cuadradas en muchas disciplinas. Ya hemos usado fórmulas para resolver aplicaciones de geometría.

 

Utilizaremos nuestra Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría, con ligeras modificaciones, para darnos un plan para resolver aplicaciones con fórmulas de cualquier disciplina.

 
 

Definición: RESOLVER APLICACIONES CON FORMULAS.

 
         
  1. Lea el problema y asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas. Cuando sea apropiado, dibuje una figura y etiquétela con la información dada.
  2.      
  3. Identifique lo que estamos buscando.
  4.      
  5. Nombre lo que estamos buscando al elegir una variable para representarlo.
  6.      
  7. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
  8.      
  9. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
  10.      
  11. Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
  12.      
  13. Responda la pregunta con una oración completa.
  14.  
 
 

Utilizamos la fórmula A = L · W para encontrar el área de un rectángulo con longitud L y ancho [ 19459018] W . Un cuadrado es un rectángulo en el que la longitud y el ancho son iguales. Si dejamos que s sea la longitud de un lado de un cuadrado, el área del cuadrado es ( s ^ 2 ) .

 

This figure shows a square with two sides labeled s. It also indicates that A equals s squared.

 

La fórmula (A = s ^ 2 ) nos da el área de un cuadrado si conocemos la longitud de un lado. ¿Qué pasa si queremos encontrar la longitud de un lado para un área determinada? Entonces necesitamos resolver la ecuación para s .

 

[ begin {array} {ll} {} & {A = s ^ 2} \ { text {Tome la raíz cuadrada de ambos lados.}} & { Sqrt {A} = sqrt { s ^ 2}} \ { text {Simplify.}} & {s = sqrt {A}} \ nonumber end {array} ]

 

Podemos usar la fórmula (s = sqrt {A} ) para encontrar la longitud de un lado de un cuadrado para un área dada.

 
 
 

Definición: ÁREA DE UN CUADRADO

 

This figure shows a square with two sides labeled s. The figure also indicates, “Area, A,” “A equals s squared,” “Length of a side, s,” and “s equals the square root of A.”

 
 

Mostraremos un ejemplo de esto en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {34} )

 

Mike y Lychelle quieren hacer un patio cuadrado. Tienen suficiente concreto para pavimentar un área de 200 pies cuadrados. Use la fórmula (s = sqrt {A} ) para encontrar la longitud de cada lado del patio. Redondea tu respuesta a la décima de pie más cercana.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Paso 1. Lea el problema. Dibuje una figura y
etiquétela con la información dada.
.
A = 200 pies cuadrados
Paso 2. Identifique lo que está buscando. La longitud de un lado del patio cuadrado.
Paso 3. Nombre lo que está buscando
eligiendo una variable para representarlo.
Sea s = la longitud de un lado.
Paso 4. Traduzca en una ecuación escribiendo la
fórmula o modelo apropiado para la situación.
Sustituir la información dada.
.
Paso 5. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra
. Redondea a un decimal.
.
Paso 6. Verifique la respuesta en el problema y
asegúrese de que tenga sentido.
.
Esto está lo suficientemente cerca porque redondeamos la raíz cuadrada
.
¿Es razonable un patio con 14.1 pies de lado?
Sí.
Paso 7. Responda la pregunta con una oración completa
.
Cada lado del patio debe tener 14.1 pies.
     
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {35} )

 

Katie quiere plantar un césped cuadrado en su patio delantero. Ella tiene suficiente césped para cubrir un área de 370 pies cuadrados. Use la fórmula (s = sqrt {A} ) para encontrar la longitud de cada lado de su césped. Redondea tu respuesta a la décima de pie más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

19,2 pies

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {36} )

 

Sergio quiere hacer un mosaico cuadrado como incrustación para una mesa que está construyendo. Tiene suficiente mosaico para cubrir un área de 2704 centímetros cuadrados. Use la fórmula (s = sqrt {A} ) para encontrar la longitud de cada lado de su mosaico. Redondea tu respuesta a la décima de pie más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

52,0 cm

     
 
 
 

Otra aplicación de raíces cuadradas tiene que ver con la gravedad.

 
 

Definición: OBJETOS CAÍDOS

 

En la Tierra, si un objeto se cae desde una altura de hh pies, el tiempo en segundos que tomará llegar al suelo se encuentra usando la fórmula,

 

(t = frac { sqrt {h}} {4} )

 
 

Por ejemplo, si un objeto se cae desde una altura de 64 pies, podemos encontrar el tiempo que lleva llegar al suelo sustituyendo h = 64 en la fórmula.

                                                                                                                                                                                                              
.
.
Saca la raíz cuadrada de 64. .
Simplifica la fracción. .
 

Tomaría 2 segundos para que un objeto caído desde una altura de 64 pies alcance el suelo.

 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {37} )

 
 
 

Christy dejó caer sus gafas de sol desde un puente a 400 pies sobre un río. Use la fórmula (t = frac { sqrt {h}} {4} ) para encontrar cuántos segundos le tomaron a las gafas de sol llegar al río.

 
 
 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {38} )

 

Un helicóptero dejó caer un paquete de rescate desde una altura de 1,296 pies. Use la fórmula (t = frac { sqrt {h}} {4} ) para encontrar cuántos segundos le tomó al paquete llegar al suelo.

 
     
Respuesta
     
     

9 segundos

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {39} )

 

Un limpiador de ventanas dejó caer una escobilla de goma desde una plataforma a 196 pies sobre la acera Use la fórmula (t = frac { sqrt {h}} {4} ) para encontrar cuántos segundos le tomó a la escobilla de goma alcanzar la acera.

 
     
Respuesta
     
     

3,5 segundos

     
 
 
 
 
 

Los oficiales de policía que investigan accidentes automovilísticos miden la longitud de las marcas de deslizamiento en el pavimento. Luego usan raíces cuadradas para determinar la velocidad, en millas por hora, iba un automóvil antes de aplicar los frenos.

 
 

Definición: MARCAS DE DESLIZAMIENTO Y VELOCIDAD DE UN COCHE

 

Si la longitud de las marcas de deslizamiento es d pies, entonces la velocidad, s , del automóvil antes de aplicar los frenos se puede encontrar usando la fórmula, [19459005 ]  

(s = sqrt {24d} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {40} )

 

Después de un accidente automovilístico, las marcas de derrape para un automóvil midieron 190 pies. Use la fórmula (s = sqrt {24d} ) para encontrar la velocidad del automóvil antes de aplicar los frenos. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {41} )

 

Un investigador de accidentes midió las marcas de deslizamiento del automóvil. La longitud de las marcas de deslizamiento fue de 76 pies. Use la fórmula (s = sqrt {24d} ) para encontrar la velocidad del automóvil antes de aplicar los frenos. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

42,7 pies

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {42} )

 

Las marcas de derrape de un vehículo involucrado en un accidente tenían 122 pies de largo. Use la fórmula (s = sqrt {24d} ) para encontrar la velocidad del vehículo antes de aplicar los frenos. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

54,1 pies

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Para resolver una ecuación radical:      
               
    1. Aislar el radical en un lado de la ecuación.
    2.          
    3. Cuadra ambos lados de la ecuación.
    4.          
    5. Resuelve la nueva ecuación.
    6.          
    7. Verifica la respuesta. Algunas soluciones obtenidas pueden no funcionar en la ecuación original.
    8.      
         
  •      
  • Resolución de aplicaciones con fórmulas      
               
    1. Lea el problema y asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas. Cuando sea apropiado, dibuje una figura y etiquétela con la información dada.
    2.          
    3. Identifique lo que estamos buscando.
    4.          
    5. Nombre lo que estamos buscando al elegir una variable para representarlo.
    6.          
    7. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
    8.          
    9. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    10.          
    11. Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    12.          
    13. Responda la pregunta con una oración completa.
    14.      
         
  •      
  • Área de un cuadrado
    This figure shows a square with two sides labeled, “s.” The figure also says, “Area, A,” “A equals s squared,” “Lenth of a side, s,” and “s equals the square root of A.”
  •      
  • Objetos que caen      
               
    • En la Tierra, si un objeto se cae desde una altura de hh pies, el tiempo en segundos que tardará en llegar al suelo se encuentra mediante la fórmula (t = frac { sqrt {h}} {4 } ).
    •      
         
  •      
  • Marcas de patinaje y velocidad de un automóvil      
               
    • Si la longitud de las marcas de deslizamiento es d pies, entonces la velocidad, s , del automóvil antes de aplicar los frenos se puede encontrar usando la fórmula (s = sqrt {24d} ).
    •      
         
  •  
 
 
 
 

Glosario

 
 
     
ecuación radical
     
Una ecuación en la que la variable está en el radicando de una raíz cuadrada se llama ecuación radical
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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