Habilidades para desarrollar
- Resuelve ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno.
- Resuelve ecuaciones que involucran una sola función trigonométrica.
- Resuelve ecuaciones trigonométricas usando una calculadora.
- Resuelve ecuaciones trigonométricas de forma cuadrática.
- Resuelve ecuaciones trigonométricas usando identidades fundamentales.
- Resuelve ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos.
- Resuelve problemas de triángulos rectángulos.
Tales de Mileto (circa 625–547 a. C.) es conocido como el fundador de la geometría. La leyenda es que calculó la altura de la Gran Pirámide de Giza en Egipto usando la teoría de triángulos similares , que desarrolló midiendo la sombra de su bastón. Basado en proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en una serie de áreas, incluyendo geometría fractal, ingeniería y arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran utilizando triángulos similares.
En secciones anteriores de este capítulo, analizamos las identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de ecuaciones trigonométricas para estudiar escenarios del mundo real, como encontrar las dimensiones de las pirámides.
Resolución de ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno
Las ecuaciones trigonométricas son, como su nombre lo indica, ecuaciones que involucran funciones trigonométricas. Similar en muchas formas a la resolución de ecuaciones polinómicas o ecuaciones racionales, solo los valores específicos de la variable serán soluciones, si es que existen soluciones. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo especificado. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que encontremos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener un número infinito de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, el dominio de la función debe considerarse antes de asumir que cualquier solución es válida. El período tanto de la función seno como de la función coseno es (2 pi ). En otras palabras, cada (2 pi ) unidades, se repiten los valores y- . Si necesitamos encontrar todas las soluciones posibles, entonces debemos agregar (2 pi k ), donde (k ) es un número entero, a la solución inicial. Recuerde la regla que da el formato para indicar todas las soluciones posibles para una función donde el período es (2 pi ):
[ sin theta = sin ( theta pm 2k pi) ]
Existen reglas similares para indicar todas las soluciones posibles para las otras funciones trigonométricas. Resolver ecuaciones trigonométricas requiere las mismas técnicas que resolver ecuaciones algebraicas. Leemos la ecuación de izquierda a derecha, horizontalmente, como una oración. Buscamos patrones conocidos, factorizamos, encontramos denominadores comunes y sustituimos ciertas expresiones con una variable para hacer que la solución sea un proceso más directo. Sin embargo, con las ecuaciones trigonométricas, también tenemos la ventaja de usar las identidades que desarrollamos en las secciones anteriores.
Ejemplo ( PageIndex {1A} ): Resolviendo una ecuación trigonométrica lineal que involucra la función coseno
Encuentre todas las soluciones exactas posibles para la ecuación ( cos theta = dfrac {1} {2} ).
Solución
Desde el círculo unitario, sabemos que
[ begin {align *} cos theta & = dfrac {1} {2} \ [4pt] theta & = dfrac { pi} {3}, space dfrac {5 pi} {3} end {align *} ]
Estas son las soluciones en el intervalo ([0,2 pi] ). Todas las posibles soluciones están dadas por
[ theta = dfrac { pi} {3} pm 2k pi quad text {y} quad theta = dfrac {5 pi} {3} pm 2k pi no número ]
donde (k ) es un número entero.
Ejemplo ( PageIndex {1B} ): Resolviendo una ecuación lineal que involucra la función seno
Encuentre todas las soluciones exactas posibles para la ecuación ( sin t = dfrac {1} {2} ).
Solución
Resolver todos los valores posibles de (t ) significa que las soluciones incluyen ángulos más allá del período de (2 pi ). De la sección sobre Identidades de suma y diferencia , podemos ver que las soluciones son (t = dfrac { pi} {6} ) y (t = dfrac {5 pi} { 6} ). Pero el problema es pedir todos los valores posibles que resuelvan la ecuación. Por lo tanto, la respuesta es
[t = dfrac { pi} {6} pm 2 pi k quad text {y} quad t = dfrac {5 pi} {6} pm 2 pi k no número ]
donde (k ) es un número entero.
Cómo: dada una ecuación trigonométrica, resolver usando álgebra
- Busque un patrón que sugiera una propiedad algebraica, como la diferencia de cuadrados o una oportunidad de factorización.
- Sustituya la expresión trigonométrica con una sola variable, como (x ) o (u ).
- Resuelve la ecuación de la misma manera que se resolvería una ecuación algebraica.
- Sustituye la expresión trigonométrica por la variable en las expresiones resultantes.
- Resuelve el ángulo.
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resolver la ecuación trigonométrica lineal
Resuelve la ecuación exactamente: (2 cos theta − 3 = −5 ), (0≤ theta <2 pi ).
Solución
Usa técnicas algebraicas para resolver la ecuación.
[ begin {align *} 2 cos theta-3 & = -5 \ 2 cos theta & = -2 \ cos theta & = -1 \ theta & = pi end { alinear *} ]
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelva exactamente la siguiente ecuación lineal en el intervalo ([0,2 pi) ): (2 sen x + 1 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = dfrac {7 pi} {6}, space dfrac {11 pi} {6} )
Resolviendo ecuaciones que involucran una única función trigonométrica
Cuando se nos dan ecuaciones que involucran solo una de las seis funciones trigonométricas, sus soluciones implican el uso de técnicas algebraicas y el círculo unitario (ver [enlace] ). Necesitamos hacer varias consideraciones cuando la ecuación involucra funciones trigonométricas distintas de seno y coseno. Los problemas relacionados con los recíprocos de las funciones trigonométricas primarias deben verse desde una perspectiva algebraica. En otras palabras, escribiremos la función recíproca y resolveremos los ángulos usando la función. Además, una ecuación que involucra la función tangente es ligeramente diferente de la que contiene una función seno o coseno. Primero, como sabemos, el período de tangente es ( pi ), no (2 pi ). Además, el dominio de la tangente es todos los números reales con la excepción de los múltiplos enteros impares de ( dfrac { pi} {2} ), a menos que, por supuesto, un problema imponga sus propias restricciones al dominio.
Ejemplo ( PageIndex {3A} ): Solución de un problema relacionado con una sola función trigonométrica
Resuelva el problema exactamente: (2 { sin} ^ 2 theta − 1 = 0 ), (0≤ theta <2 pi ).
Solución
Como este problema no se puede factorizar fácilmente, lo resolveremos usando la propiedad de raíz cuadrada. Primero, usamos álgebra para aislar ( sin theta ). Luego encontraremos los ángulos.
[ begin {align *}
2 { sin} ^ 2 theta-1 & = 0 \
2 { sin} ^ 2 theta & = 1 \
{ sin} ^ 2 theta & = dfrac {1} {2} \
sqrt {{ sin} ^ 2 theta} & = pm sqrt { dfrac {1} {2}} \
sin theta & = pm dfrac {1} { sqrt {2}} \
& = pm dfrac { sqrt {2}} {2} \
theta & = dfrac { pi} {4}, space dfrac {3 pi} {4}, space dfrac {5 pi} {4}, space dfrac {7 pi} {4} [ 19459046] end {align *} ]
Ejemplo ( PageIndex {3B} ): Resolviendo una ecuación trigonométrica que involucra un cosante
Resuelva la siguiente ecuación exactamente: ( csc theta = −2 ), (0≤ theta <4 pi ).
Solución
Queremos todos los valores de ( theta ) para los cuales ( csc theta = −2 ) durante el intervalo (0≤ theta <4 pi ).
[ begin {align *} csc theta & = -2 \ dfrac {1} { sin theta} & = -2 \ sin theta & = – dfrac {1} {2 } \ theta & = dfrac {7 pi} {6}, space dfrac {11 pi} {6}, space dfrac {19 pi} {6}, space dfrac {23 pi} {6} end {align *} ]
Análisis
Como ( sin theta = – dfrac {1} {2} ), observe que las cuatro soluciones están en el tercer y cuarto cuadrante.
Ejemplo ( PageIndex {3C} ): Resolviendo una ecuación que involucra tangente
Resuelve la ecuación exactamente: ( tan left ( theta− dfrac { pi} {2} right) = 1 ), (0≤ theta <2 pi ).
Solución
Recuerde que la función tangente tiene un período de ( pi ). En el intervalo ([0, pi) ), y en el ángulo de ( dfrac { pi} {4} ), la tangente tiene un valor de (1 ). Sin embargo, el ángulo que queremos es ( left ( theta− dfrac { pi} {2} right) ). Por lo tanto, si ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ), entonces
[ begin {align *} theta- dfrac { pi} {2} & = dfrac { pi} {4} \ theta & = dfrac {3 pi} {4} pm k pi end {alinear *} ]
Durante el intervalo ([0,2 pi) ), tenemos dos soluciones:
( theta = dfrac {3 pi} {4} ) y ( theta = dfrac {3 pi} {4} + pi = dfrac {7 pi} {4} )
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Encuentre todas las soluciones para ( tan x = sqrt {3} ).
- Respuesta
-
( dfrac { pi} {3} pm pi k )
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Identificar todas las soluciones a la ecuación que involucra la tangente
Identifique todas las soluciones exactas a la ecuación (2 ( tan x + 3) = 5 + tan x ), (0≤x <2 pi ).
Solución
Podemos resolver esta ecuación usando solo álgebra. Aísle la expresión ( tan x ) en el lado izquierdo del signo igual.
[ begin {align *} 2 ( tan x) +2 (3) & = 5+ tan x \ 2 tan x + 6 & = 5+ tan x \ 2 tan x- tan x & = 5-6 \ tan x & = -1 end {align *} ]
Hay dos ángulos en el círculo unitario que tienen un valor tangente de (- 1 ): ( theta = dfrac {3 pi} {4} ) y ( theta = dfrac { 7 pi} {4} ).
Resolver ecuaciones trigonométricas usando una calculadora
No todas las funciones pueden resolverse exactamente utilizando solo el círculo unitario. Cuando debemos resolver una ecuación que involucra un ángulo diferente a uno de los ángulos especiales, necesitaremos usar una calculadora. Asegúrese de que esté configurado en el modo adecuado, ya sea grados o radianes, según los criterios del problema dado.
Ejemplo ( PageIndex {5A} ): Uso de una calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que involucra seno
Usa una calculadora para resolver la ecuación ( sin theta = 0.8 ), donde ( theta ) está en radianes.
Solución
Asegúrese de que el modo esté configurado en radianes. Para encontrar ( theta ), use la función seno inversa. En la mayoría de las calculadoras, deberá presionar el botón 2 ND y luego el botón SIN para que aparezca la función ({ sin} ^ {- 1} ). Lo que se muestra en la pantalla es ({ sin} ^ {- 1} ). La calculadora está lista para la entrada entre paréntesis. Para este problema, ingresamos ({ sin} ^ {- 1} (0.8) ) y presionamos ENTER. Así, a cuatro decimales lugares,
({ sin} ^ {- 1} (0.8) ≈0.9273 )
La solución es
( theta≈0.9273 pm 2 pi k )
La medida del ángulo en grados es
[ begin {align *} theta & approx 53.1 ^ { circ} \ theta & approx 180 ^ { circ} -53.1 ^ { circ} \ & approx 126.9 ^ { circ } end {align *} ]
Análisis
Tenga en cuenta que una calculadora solo devolverá un ángulo en los cuadrantes I o IV para la función seno, ya que ese es el rango del seno inverso. El otro ángulo se obtiene usando ( pi− theta ).
Ejemplo ( PageIndex {5B} ): Uso de una calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que involucra un secante
Usa una calculadora para resolver la ecuación ( sec θ = −4, ) dando tu respuesta en radianes.
Solución
Podemos comenzar con algo de álgebra.
[ begin {align *} sec theta & = -4 \ dfrac {1} { cos theta} & = -4 \ cos theta & = – dfrac {1} {4 } end {align *} ]
Verifique que el MODO esté en radianes. Ahora use la función de coseno inverso
[ begin {align *} { cos} ^ {- 1} left (- dfrac {1} {4} right) & approx 1.8235 \ theta & approx 1.8235 + 2 pi k end {align *} ]
Dado que ( dfrac { pi} {2} ≈1.57 ) y ( pi≈3.14 ), (1.8235 ) está entre estos dos números, entonces ( theta≈1.8235 ) está en el cuadrante II. El coseno también es negativo en el cuadrante III. Tenga en cuenta que una calculadora solo devolverá un ángulo en los cuadrantes I o II para la función coseno, ya que ese es el rango del coseno inverso. Ver Figura ( PageIndex {2} ).
Entonces, también necesitamos encontrar la medida del ángulo en el cuadrante III. En el cuadrante III, el ángulo de referencia es ( theta ‘≈ pi − 1.8235≈1.3181 ). La otra solución en el cuadrante III es ( theta ‘≈ pi + 1.3181≈4.4597 ).
Las soluciones son ( theta≈1.8235 pm 2 pi k ) y ( theta≈4.4597 pm 2 pi k ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelve ( cos theta = −0.2 ).
- Respuesta
-
( theta≈1.7722 pm 2 pi k ) y ( theta≈4.5110 pm 2 pi k )
Resolviendo ecuaciones trigonométricas en forma cuadrática
Resolver una ecuación cuadrática puede ser más complicado, pero una vez más, podemos usar el álgebra como lo haríamos para cualquier ecuación cuadrática. Mira el patrón de la ecuación. ¿Hay más de una función trigonométrica en la ecuación o solo hay una? ¿Qué función trigonométrica es al cuadrado? Si solo hay una función representada y uno de los términos es cuadrado, piense en la forma estándar de un cuadrático. Reemplace la función trigonométrica con una variable como (x ) o (u ). Si la sustitución hace que la ecuación parezca una ecuación cuadrática, entonces podemos usar los mismos métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas para resolver las ecuaciones trigonométricas.
Ejemplo ( PageIndex {6A} ): Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática
Resuelve la ecuación exactamente: ({ cos} ^ 2 theta + 3 cos theta − 1 = 0 ), (0≤ theta <2 pi ).
Solución
Comenzamos usando la sustitución y reemplazando ( cos theta ) con (x ). No es necesario usar la sustitución, pero puede hacer que el problema sea más fácil de resolver visualmente. Deje ( cos theta = x ). Tenemos
(x ^ 2 + 3x − 1 = 0 )
La ecuación no se puede factorizar, por lo que utilizaremos la fórmula cuadrática : (x = dfrac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ).
[ begin {align *} x & = dfrac {-3 pm sqrt {{(-3)} ^ 2-4 (1) (-1)}} {2} \ & = dfrac {-3 pm sqrt {13}} {2} end {align *} ]
Reemplace (x ) con ( cos theta ) y resuelva.
[ begin {align *} cos theta & = dfrac {-3 pm sqrt {13}} {2} \ theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) end {align *} ]
Tenga en cuenta que solo se usa el signo +. Esto se debe a que obtenemos un error cuando resolvemos ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {−3− sqrt {13}} {2} right) ) en una calculadora , ya que el dominio de la función coseno inversa es ([−1,1] ). Sin embargo, hay una segunda solución:
[ begin {align *} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) \ & aprox 1.26 end {align *} ]
Este lado terminal del ángulo se encuentra en el cuadrante I. Dado que el coseno también es positivo en el cuadrante IV, la segunda solución es
[ begin {align *} theta & = 2 pi – { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) \ & approx 5.02 end {align *} ]
Ejemplo ( PageIndex {6B} ): Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática por factorización
Resuelve la ecuación exactamente: (2 { sin} ^ 2 theta − 5 sin theta + 3 = 0 ), (0≤ theta≤2 pi ).
Solución
Utilizando la agrupación, esta cuadrática se puede factorizar. Realice la sustitución real, ( sin theta = u ), o imagínela, como factorizamos:
[ begin {align *} 2 { sin} ^ 2 theta-5 sin theta + 3 & = 0 \ (2 sin theta-3) ( sin theta-1) & = 0 qquad text {Ahora establezca que cada factor sea igual a cero.} \ 2 sin theta-3 & = 0 \ 2 sin theta & = 3 \ sin theta & = dfrac {3} {2 } \ sin theta-1 & = 0 \ sin theta & = 1 end {align *} ]
Luego, resuelve ( theta ): ( sin theta ≠ dfrac {3} {2} ), ya que el rango de la función seno es ([−1,1] ). Sin embargo, ( sin theta = 1 ), dando la solución ( theta = dfrac { pi} {2} ).
Análisis
Asegúrese de verificar todas las soluciones en el dominio dado ya que algunos factores no tienen solución.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resuelve ({ sin} ^ 2 theta = 2 cos theta + 2 ), (0≤ theta≤2 pi ). [Sugerencia: haga una sustitución para expresar la ecuación solo en términos de coseno.]
- Respuesta
-
( cos theta = −1 ), ( theta = pi )
Ejemplo ( PageIndex {7A} ): Resolver una ecuación trigonométrica usando álgebra
Resuelve exactamente: (2 { sin} ^ 2 theta + sin theta = 0; space 0≤ theta <2 pi )
Solución
Este problema debería parecer familiar, ya que es similar a un cuadrático. Deje ( sin theta = x ). La ecuación se convierte en (2x ^ 2 + x = 0 ). Comenzamos factorizando:
[ begin {align *}
2x ^ 2 + x & = 0 \
x (2x + 1) & = 0 qquad text {Establezca cada factor igual a cero.} \
x & = 0 \
2x + 1 & = 0 \
x & = – dfrac {1} {2} end {align *} ]
Luego, sustituye nuevamente en la ecuación la expresión original ( sin theta ) para (x ). Por lo tanto,
[ begin {align *} sin theta & = 0 \
theta & = 0, pi \
sin theta & = – dfrac {1} {2} \
theta & = dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6}
end {align *} ]
Las soluciones dentro del dominio (0≤ theta <2 pi ) son ( theta = 0, pi, dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} { 6} ).
Si preferimos no sustituir, podemos resolver la ecuación siguiendo el mismo patrón de factorización y estableciendo que cada factor sea igual a cero.
[ begin {align *} { sin} ^ 2 theta + sin theta & = 0 \ sin theta (2 sin theta + 1) & = 0 \ sin theta & = 0 \ theta & = 0, pi \ 2 sin theta + 1 & = 0 \ 2 sin theta & = -1 \ sin theta & = – dfrac {1} {2} \ theta & = dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6} end {align *} ]
Análisis
Podemos ver las soluciones en el gráfico en la Figura ( PageIndex {3} ). En el intervalo (0≤ theta <2 pi ), el gráfico cruza el eje (x ) – cuatro veces, en las soluciones indicadas. Tenga en cuenta que las ecuaciones trigonométricas que están en forma cuadrática pueden producir hasta cuatro soluciones en lugar de las dos esperadas que se encuentran con ecuaciones cuadráticas. En este ejemplo, cada solución (ángulo) correspondiente a un valor seno positivo producirá dos ángulos que darían lugar a ese valor.
También podemos verificar las soluciones en el círculo unitario a través del resultado en la sección sobre Identidades de suma y diferencia .
Ejemplo ( PageIndex {7B} ): Resolviendo una ecuación trigonométrica cuadrática en forma
Resuelve la ecuación cuadrática en forma exactamente: (2 { sin} ^ 2 theta − 3 sin theta + 1 = 0 ), (0≤ theta <2 pi ).
Solución
Podemos factorizar usando la agrupación. Los valores de solución de ( theta ) se pueden encontrar en el círculo unitario.
[ begin {align *} (2 sin theta-1) ( sin theta-1) & = 0 \ 2 sin theta-1 & = 0 \ sin theta & = dfrac {1} {2} \ theta & = dfrac { pi} {6}, dfrac {5 pi} {6} \ sin theta & = 1 \ theta & = dfrac { pi } {2} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Resuelve la ecuación cuadrática (2 { cos} ^ 2 theta + cos theta = 0 ).
- Respuesta
-
( dfrac { pi} {2}, space dfrac {2 pi} {3}, space dfrac {4 pi} {3}, space dfrac {3 pi} {2} )
Resolviendo ecuaciones trigonométricas usando identidades fundamentales
Si bien el álgebra se puede usar para resolver una serie de ecuaciones trigonométricas, también podemos usar las identidades fundamentales porque simplifican la resolución de ecuaciones. Recuerde que las técnicas que usamos para resolver no son las mismas que para verificar identidades. Las reglas básicas de álgebra se aplican aquí, en lugar de reescribir un lado de la identidad para que coincida con el otro lado. En el siguiente ejemplo, usamos dos identidades para simplificar la ecuación.
Ejemplo ( PageIndex {8A} ): Usar identidades para resolver una ecuación
Usa identidades para resolver exactamente la ecuación trigonométrica durante el intervalo (0≤x <2 pi ).
( cos x cos (2x) + sin x sin (2x) = dfrac { sqrt {3}} {2} )
Solución
Observe que el lado izquierdo de la ecuación es la fórmula de diferencia para el coseno.
[ begin {align *} cos x cos (2x) + sin x sin (2x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} \ cos (x-2x ) & = dfrac { sqrt {3}} {2} qquad text {Fórmula de diferencia para coseno} \ cos (-x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} qquad texto {Use la identidad de ángulo negativo.} \ cos x & = dfrac { sqrt {3}} {2} end {align *} ]
Desde el círculo unitario en la sección sobre Identidades de suma y diferencia , vemos que ( cos x = dfrac { sqrt {3}} {2} ) cuando (x = dfrac { pi} {6}, space dfrac {11 pi} {6} ).
Ejemplo ( PageIndex {8B} ): Resolviendo la ecuación usando una fórmula de doble ángulo
Resuelve la ecuación exactamente usando una fórmula de doble ángulo: ( cos (2 theta) = cos theta ).
Solución
Tenemos tres opciones de expresiones para sustituir el doble ángulo del coseno. Como es más simple resolver una función trigonométrica a la vez, elegiremos la identidad de doble ángulo que involucra solo coseno:
[ begin {align *} cos (2 theta) & = cos theta \ 2 { cos} ^ 2 theta-1 & = cos theta \ 2 { cos} ^ 2 theta- cos theta-1 & = 0 \ (2 cos theta + 1) ( cos theta-1) & = 0 \ 2 cos theta + 1 & = 0 \ cos theta & = – dfrac {1} {2} \ cos theta-1 & = 0 \ cos theta & = 1 end {align *} ]
Entonces, si ( cos theta = – dfrac {1} {2} ), entonces ( theta = dfrac {2 pi} {3} pm 2 pi k ) y ( theta = dfrac {4 pi} {3} pm 2 pi k ); if ( cos theta = 1 ), entonces ( theta = 0 pm 2 pi k ).
Ejemplo ( PageIndex {8C} ): Resolviendo una ecuación usando una identidad
Resuelve la ecuación exactamente usando una identidad: (3 cos theta + 3 = 2 { sin} ^ 2 theta ), (0≤ theta <2 pi ).
Solución
Si reescribimos el lado derecho, podemos escribir la ecuación en términos de coseno:
[ begin {align *}
3 cos theta + 3 & = 2 { sin} ^ 2 theta \
3 cos theta + 3 & = 2 (1 – { cos} ^ 2 theta) \
3 cos theta + 3 & = 2-2 { cos} ^ 2 theta \
2 { cos} ^ 2 theta + 3 cos theta + 1 & = 0 \
(2 cos theta + 1) ( cos theta + 1) & = 0 \
2 cos theta + 1 & = 0 \
cos theta & = – dfrac {1} {2} \
theta & = dfrac {2 pi} {3}, space dfrac {4 pi} {3} \
cos theta + 1 & = 0 \
cos theta & = -1 \
theta & = pi \
end {align *} ]
Nuestras soluciones son ( theta = dfrac {2 pi} {3}, space dfrac {4 pi} {3}, space pi ).
Resolviendo ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos
A veces no es posible resolver una ecuación trigonométrica con identidades que tienen un ángulo múltiple, como ( sin (2x) ) o ( cos (3x) ). Cuando se enfrente con estas ecuaciones, recuerde que (y = sin (2x) ) es una compresión horizontal por un factor de 2 de la función (y = sin x ). En un intervalo de (2 pi ), podemos graficar dos períodos de (y = sin (2x) ), en oposición a un ciclo de (y = sin x ). Esta compresión del gráfico nos lleva a creer que puede haber el doble de x -interceptos o soluciones a ( sin (2x) = 0 ) en comparación con ( sin x = 0 ). Esta información nos ayudará a resolver la ecuación.
Ejemplo ( PageIndex {9} ): Resolver una ecuación trigonométrica de ángulo múltiple
Resuelva exactamente: ( cos (2x) = dfrac {1} {2} ) en ([0,2 pi) ).
Solución
Podemos ver que esta ecuación es la ecuación estándar con un múltiplo de un ángulo. Si ( cos ( alpha) = dfrac {1} {2} ), sabemos que ( alpha ) está en los cuadrantes I y IV. Mientras que ( theta = { cos} ^ {- 1} dfrac {1} {2} ) solo dará soluciones en los cuadrantes I y II, reconocemos que las soluciones a la ecuación ( cos theta = dfrac {1} {2} ) estará en los cuadrantes I y IV.
Por lo tanto, los ángulos posibles son ( theta = dfrac { pi} {3} ) y ( theta = dfrac {5 pi} {3} ). Entonces, (2x = dfrac { pi} {3} ) o (2x = dfrac {5 pi} {3} ), lo que significa que (x = dfrac { pi} {6 } ) o (x = dfrac {5 pi} {6} ). ¿Esto tiene sentido? Sí, porque ( cos left (2 left ( dfrac { pi} {6} right) right) = cos left ( dfrac { pi} {3} right) = dfrac {1} {2} ).
¿Hay alguna otra respuesta posible? Volvamos a nuestro primer paso.
En el cuadrante I, (2x = dfrac { pi} {3} ), entonces (x = dfrac { pi} {6} ) como se indica. Déjenos girar nuevamente alrededor del círculo:
[ begin {align *}
2x & = dfrac { pi} {3} +2 pi \
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {6 pi} {3} \
& = dfrac {7 pi} {3} \
x & = dfrac {7 pi} {6} \
text {Uno más rendimientos de rotación} \
2x & = dfrac { pi} {3} +4 pi \
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {12 pi} {3} \
& = dfrac {13 pi} {3} \
end {align *} ]
(x = dfrac {13 pi} {6}> 2 pi ), por lo que este valor para (x ) es mayor que (2 pi ), por lo que no es una solución en ([0,2 pi) ).
En el cuadrante IV, (2x = dfrac {5 pi} {3} ), entonces (x = dfrac {5 pi} {6} ) como se indica. Déjenos girar nuevamente alrededor del círculo:
[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +2 pi \ & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {6 pi} { 3} \ & = dfrac {11 pi} {3} end {align *} ]
entonces (x = dfrac {11 pi} {6} ).
Una rotación más rinde
[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +4 pi \ & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {12 pi} { 3} \ & = dfrac {17 pi} {3} end {align *} ]
(x = dfrac {17 pi} {6}> 2 pi ), por lo que este valor para (x ) es mayor que (2 pi ), por lo que no es una solución en ([0,2 pi) ) .
Nuestras soluciones son (x = dfrac { pi} {6}, space dfrac {5 pi} {6}, space dfrac {7 pi} {6} ) y ( dfrac {11 pi} {6} ). Tenga en cuenta que siempre que resolvamos un problema en forma de (sin (nx) = c ), debemos rodear el círculo unitario (n ) veces.
Solución de problemas del triángulo rectángulo
Ahora podemos usar todos los métodos que hemos aprendido para resolver problemas que implican la aplicación de las propiedades de los triángulos rectángulos y el Teorema de Pitágoras. Comenzamos con el conocido Teorema de Pitágoras,
[a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 label {pitagórico} ]
y modelar una ecuación para ajustarse a una situación.
Ejemplo ( PageIndex {10A} ): Uso del teorema de Pitágoras para modelar una ecuación
Se debe reemplazar uno de los cables que ancla el centro de la noria London Eye al suelo. El centro de la rueda de la fortuna está (69.5 ) metros sobre el suelo, y el segundo ancla en el suelo está (23 ) metros de la base de la rueda de la fortuna. Aproximadamente, ¿cuánto mide el cable y cuál es el ángulo de elevación (desde el suelo hasta el centro de la rueda de la fortuna)? Ver Figura ( PageIndex {4} ).
Solución
Usa el Teorema de Pitágoras (Ecuación ref {Pitágoras}) y las propiedades de los triángulos rectángulos para modelar una ecuación que se ajuste al problema. Usando la información dada, podemos dibujar un triángulo rectángulo. Podemos encontrar la longitud del cable con el Teorema de Pitágoras.
[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = c ^ 2 \ {(23)} ^ 2 + {(69.5)} ^ 2 & approx 5359 \ sqrt {5359} & aprox 73.2 space m end {align *} ]
El ángulo de elevación es ( theta ), formado por el segundo anclaje en el suelo y el cable que llega al centro de la rueda. Podemos usar la función tangente para encontrar su medida. Redondea a dos decimales.
[ begin {align *} tan theta & = 69.523 \ { tan} ^ {- 1} (69.523) & approx 1.2522 \ & approx 71.69 ^ { circ} end {align *} ]
El ángulo de elevación es aproximadamente (71.7 ° ), y la longitud del cable es (73.2 ) metros.
Ejemplo ( PageIndex {10B} ): Uso del teorema de Pitágoras para modelar un problema abstracto
Las normas de seguridad de OSHA requieren que la base de una escalera se coloque (1 ) pie de la pared por cada (4 ) pies de longitud de escalera. Encuentre el ángulo que forma una escalera de cualquier longitud con el suelo y la altura a la que la escalera toca la pared.
Solución
Para cualquier longitud de escalera, la base debe estar a una distancia de la pared igual a un cuarto de la longitud de la escalera. De manera equivalente, si la base de la escalera está a “ a” pies de la pared, la longitud de la escalera será (4a ) pies. Ver Figura ( PageIndex {5} ).
El lado adyacente a ( theta ) es (a ) y la hipotenusa es (4a ). Por lo tanto,
[ begin {align *} cos theta & = dfrac {a} {4a} \ & = dfrac {1} {4} \ { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {4} right) y aprox 75.5 ^ { circ} end {align *} ]
La elevación de la escalera forma un ángulo de (75.5 ° ) con el suelo. La altura a la que la escalera toca la pared se puede encontrar usando el Teorema de Pitágoras:
[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = {(4a)} ^ 2 \ b ^ 2 & = {(4a)} ^ 2-a ^ 2 \ b ^ 2 & = 16a ^ 2-a ^ 2 \ b ^ 2 & = 15a ^ 2 \ b & = a sqrt {15} end {align *} ]
Por lo tanto, la escalera toca la pared a (a sqrt {15} ) pies del suelo.
Medios
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica para resolver ecuaciones trigonométricas.
Conceptos clave
- Al resolver ecuaciones trigonométricas lineales, podemos usar técnicas algebraicas tal como lo hacemos resolviendo ecuaciones algebraicas. Look for patterns, like the difference of squares, quadratic form, or an expression that lends itself well to substitution. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {1} ), el Ejemplo ( PageIndex {2} ) y el Ejemplo ( PageIndex {3} ).
- Equations involving a single trigonometric function can be solved or verified using the unit circle. See Example (PageIndex{4}), Example (PageIndex{5}), and Example (PageIndex{6}), and Example (PageIndex{7}).
- We can also solve trigonometric equations using a graphing calculator. See Example (PageIndex{8}) and Example (PageIndex{9}).
- Many equations appear quadratic in form. We can use substitution to make the equation appear simpler, and then use the same techniques we use solving an algebraic quadratic: factoring, the quadratic formula, etc. See Example (PageIndex{10}), Example (PageIndex{11}), Example (PageIndex{12}), and Example (PageIndex{13}).
- We can also use the identities to solve trigonometric equation. See Example (PageIndex{14}), Example (PageIndex{15}), and Example (PageIndex{16}).
- We can use substitution to solve a multiple-angle trigonometric equation, which is a compression of a standard trigonometric function. We will need to take the compression into account and verify that we have found all solutions on the given interval. See Example (PageIndex{17}).
- Real-world scenarios can be modeled and solved using the Pythagorean Theorem and trigonometric functions. See Example (PageIndex{18}).