9.6: Usar propiedades de rectángulos, triángulos y trapecios (Parte 1)

En esta sección, continuaremos trabajando con aplicaciones de geometría. Agregaremos algunas propiedades más de triángulos y aprenderemos sobre las propiedades de rectángulos y trapecios.

Comprenda la medida lineal, cuadrada y cúbica

Cuando mide su altura o la longitud de una manguera de jardín, utiliza una regla o cinta métrica (Figura ( PageIndex {1} )). Una cinta métrica puede recordarle una línea; la usa para la medida lineal , que mide la longitud. Pulgada, pie, yarda, milla, centímetro y metro son unidades de medida lineal.

$A picture of a portion of a tape measure is shown. The top shows the numbers 1 through 5. The portion from the beginning to the 1 has a red circle and an arrow to a picture from 0 to 1 inch, with 1 sixteenth, 1 eighth, 3 eighths, 1 half, and 3 fourths labeled. Above this, it is labeled “Standard Measures.” The bottom of the tape measure shows the numbers 1 through 10, then 1 and 2. The region from the edge to about 3 and a half has a red circle with an arrow pointing to a picture from 0 to 3.5. It is labeled 0, 1 cm, 1.7 cm, 2.3 cm and 3.5 cm. Above this, it is labeled “Metric (S).”$

Figura ( PageIndex {1} ): esta cinta métrica mide pulgadas en la parte superior y centímetros en la parte inferior.

Cuando desea saber cuántos azulejos se necesitan para cubrir un piso, o el tamaño de una pared para pintar, necesita saber el área , una medida de la región necesaria para cubrir un superficie. El área medida es unidades cuadradas . A menudo usamos pulgadas cuadradas, pies cuadrados, centímetros cuadrados o millas cuadradas para medir el área. Un centímetro cuadrado es un cuadrado que es un centímetro (cm) en cada lado. Una pulgada cuadrada es un cuadrado que es una pulgada a cada lado (Figura ( PageIndex {2} )).

$Two squares are shown. The smaller one has sides labeled 1 cm and is 1 square centimeter. The larger one has sides labeled 1 inch and is 1 square inch.$

Figura ( PageIndex {2} ) – Las medidas cuadradas tienen lados que tienen 1 unidad de longitud.

La figura ( PageIndex {3} ) muestra una alfombra rectangular que mide 2 pies de largo por 3 pies de ancho. Cada cuadrado mide 1 pie de ancho por 1 pie de largo, o 1 pie cuadrado. La alfombra está hecha de 6 cuadrados. El área de la alfombra es de 6 pies cuadrados.

$A rectangle is shown. It has 3 squares across and 2 squares down, a total of 6 squares.$

Figura ( PageIndex {3} ): la alfombra contiene seis cuadrados de 1 pie cuadrado cada uno, por lo que el área total de la alfombra es de 6 pies cuadrados.

Cuando mide cuánto se tarda en llenar un recipiente, como la cantidad de gasolina que puede caber en un tanque o la cantidad de medicamento en una jeringa, está midiendo el volumen . El volumen se mide en unidades cúbicas , como pulgadas cúbicas o centímetros cúbicos. Al medir el volumen de un sólido rectangular, mide cuántos cubos llenan el contenedor. A menudo usamos centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas y pies cúbicos. Un centímetro cúbico es un cubo que mide un centímetro en cada lado, mientras que una pulgada cúbica es un cubo que mide una pulgada en cada lado (Figura ( PageIndex {4} )).

$Two cubes are shown. The smaller one has sides labeled 1 cm and is labeled as 1 cubic centimeter. The larger one has sides labeled 1 inch and is labeled as 1 cubic inch.$

Figura ( PageIndex {4} ) – Las medidas cúbicas tienen lados que tienen 1 unidad de longitud.

Suponga que el cubo en la Figura ( PageIndex {5} ) mide 3 pulgadas en cada lado y se corta en las líneas que se muestran. ¿Cuántos cubitos contiene? Si separáramos el cubo grande, encontraríamos 27 cubitos pequeños, cada uno de los cuales mide una pulgada en todos los lados. Entonces cada cubo pequeño tiene un volumen de 1 pulgada cúbica, y el volumen del cubo grande es de 27 pulgadas cúbicas.

$A cube is shown, comprised of smaller cubes. Each side of the cube has 3 smaller cubes across, for a total of 27 smaller cubes.$

Figura ( PageIndex {5} ) – Un cubo que mide 3 pulgadas en cada lado está formado por 27 cubos de una pulgada, o 27 pulgadas cúbicas.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Para cada artículo, indique si usaría medidas lineales, cuadradas o cúbicas: (a) cantidad de alfombras necesarias en una habitación (b) longitud del cable de extensión (c) cantidad de arena en una caja de arena (d) longitud de una barra de cortina (e) cantidad de harina en un recipiente (f) del tamaño del techo de una caseta de perro.

Solución

(a) Usted está midiendo cuánta superficie cubre la alfombra, que es el área.	medida cuadrada
(b) Usted mide cuánto mide el cable de extensión, cuál es la longitud.	medida lineal
(c) Estás midiendo el volumen de la arena.	medida cúbica
(d) Usted está midiendo la longitud de la barra de la cortina.	medida lineal
(e) Estás midiendo el volumen de la harina.	medida cúbica
(f) Estás midiendo el área del techo.	medida cuadrada

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Determine si usaría una medida lineal, cuadrada o cúbica para cada elemento. (a) cantidad de pintura en una lata (b) altura de un árbol (c) piso de su habitación (d) diámetro de la rueda de la bicicleta (e) tamaño de un pedazo de césped (f) cantidad de agua en una piscina [ 19459001]

Responda a: cúbico

Respuesta b: lineal

Respuesta c: cuadrado

Respuesta d: lineal

Respuesta e: cuadrado

Respuesta f: cúbico

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

Determine si usaría una medida lineal, cuadrada o cúbica para cada elemento. (a) volumen de una caja de embalaje (b) tamaño del patio (c) cantidad de medicamento en una jeringa (d) longitud de un hilo (e) tamaño del lote de la vivienda (f) altura de un asta de bandera

Responda a: cúbico

Respuesta b: cuadrado

Respuesta c: cúbico

Respuesta d: lineal

Respuesta e: cuadrado

Respuesta f: lineal

Muchas aplicaciones de geometría implicarán encontrar el perímetro o el área de una figura. También hay muchas aplicaciones de perímetro y área en la vida cotidiana, por lo que es importante asegurarse de comprender lo que significan.

Imagine una habitación que necesita baldosas nuevas. Los azulejos vienen en cuadrados que son un pie en cada lado, un pie cuadrado. ¿Cuántos de esos cuadrados se necesitan para cubrir el piso? Esta es el área del piso.

Luego, piense en colocar un nuevo zócalo alrededor de la habitación, una vez que se hayan colocado los azulejos. Para saber cuántas tiras se necesitan, debes saber la distancia alrededor de la habitación. Usaría una cinta métrica para medir la cantidad de pies alrededor de la habitación. Esta distancia es el perímetro.

Definición: perímetro y área

El perímetro es una medida de la distancia alrededor de una figura.

El área es una medida de la superficie cubierta por una figura.

La figura ( PageIndex {6} ) muestra un mosaico cuadrado de 1 pulgada en cada lado. Si una hormiga caminara alrededor del borde de la baldosa, caminaría 4 pulgadas. Esta distancia es el perímetro de la baldosa.

Dado que el mosaico es un cuadrado de 1 pulgada a cada lado, su área es de una pulgada cuadrada. El área de una forma se mide determinando cuántas unidades cuadradas cubren la forma.

$A 5 square by 5 square checkerboard is shown with each side labeled 1 inch. An image of an ant is shown on the top left square.$

Figura ( PageIndex {6} ) – Perímetro = 4 pulgadas, Área = 1 pulgada cuadrada. Cuando la hormiga camina completamente alrededor del azulejo en su borde, está trazando el perímetro del azulejo. El área del azulejo es de 1 pulgada cuadrada.

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Cada una de las dos fichas cuadradas es de 1 pulgada cuadrada. Se muestran dos fichas juntas. (a) ¿Cuál es el perímetro de la figura? (b) ¿Cuál es el área?

$A checkerboard is shown. It has 10 squares across the top and 5 down the side.$

Solución

(a) El perímetro es la distancia alrededor de la figura. El perímetro es de 6 pulgadas.

(b) El área es la superficie cubierta por la figura. Hay azulejos de 2 pulgadas cuadradas, por lo que el área es de 2 pulgadas cuadradas.

$A checkerboard is shown. It has 10 squares across the top and 5 down the side. The top and bottom each have two adjacent 1 inch labels across, the sides have 1 inch labels.$

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

Encuentre el (a) perímetro y (b) área de la figura:

$A rectangle is shown comprised of 3 squares.$

Responda a: 8 pulgadas

Respuesta b: 3 pulgadas cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

Encuentre el (a) perímetro y (b) área de la figura:

$A square is shown comprised of 4 smaller squares.$

Responda a: 8 centímetros

Respuesta b: 4 centímetros cuadrados

Usa las propiedades de los rectángulos

Un rectángulo tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos. Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud. Nos referimos a un lado del rectángulo como la longitud, L, y el lado adyacente como el ancho, W. Ver Figura ( PageIndex {7} ).

$A rectangle is shown. Each angle is marked with a square. The top and bottom are labeled L, the sides are labeled W.$

Figura ( PageIndex {7} ): un rectángulo tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos. Los lados están etiquetados L para el largo y W para el ancho.

El perímetro, P, del rectángulo es la distancia alrededor del rectángulo. Si comenzaras en una esquina y caminaras alrededor del rectángulo, caminarías unidades L + W + L + W, o dos longitudes y dos anchuras. El perímetro es entonces

$$ begin {split} P = L + & W + L + W \ & or \ P = 2L & + 2W end {split} $$

¿Qué pasa con el área de un rectángulo? Recuerde la alfombra rectangular del comienzo de esta sección. Tenía 2 pies de largo por 3 pies de ancho, y su área era de 6 pies cuadrados. Ver Figura ( PageIndex {8} ). Como A = 2 • 3, vemos que el área, A, es la longitud, L, multiplicada por el ancho, W, por lo que el área de un rectángulo es A = L • W.

$A rectangle is shown. It is made up of 6 squares. The bottom is 2 squares across and marked as 2, the side is 3 squares long and marked as 3.$

Figura ( PageIndex {8} ) – El área de esta alfombra rectangular es de 6 pies cuadrados, su longitud multiplicada por su ancho.

Definición: Propiedades de los rectángulos

Los rectángulos tienen cuatro lados y cuatro ángulos rectos (90 °).
Las longitudes de los lados opuestos son iguales.
El perímetro, P, de un rectángulo es la suma del doble de la longitud y el doble del ancho. Ver Figura 9.19. $$ P = 2L + 2W $$
El área, A, de un rectángulo es la longitud por el ancho. $$ A = L cdot W $$

Para facilitar la referencia a medida que trabajamos los ejemplos en esta sección, volveremos a exponer aquí la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría.

CÓMO: USAR UNA ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARA APLICACIONES DE GEOMETRÍA

Paso 1. Lea el problema y asegúrese de comprender todas las palabras e ideas. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.

Paso 2. Identifica lo que estás buscando.

Paso 3. Nombre lo que está buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.

Paso 4. Traducir a una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.

Paso 5. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.

Paso 6. Verifique la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.

Paso 7. Responda la pregunta con una oración completa.

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

La longitud de un rectángulo es de 32 metros y el ancho es de 20 metros. Encuentre (a) el perímetro y (b) el área.

Solución

(a)

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.	$CNX_BMath_Figure_09_04_067_img_MW-01.png$
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	el perímetro de un rectángulo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea P = el perímetro
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir.	$CNX_BMath_Figure_09_04_067_img_MW-02.png$
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} P & = 64 + 40 \ P & = 104 end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} P & stackrel {?} {=} 104 \ 20 + 32 + 20 + 32 & stackrel {?} {=} 104 \ 104 & = 104 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	El perímetro del rectángulo es de 104 metros.

(b)

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.	$CNX_BMath_Figure_09_04_068_img_MW-01.png$
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	el área de un rectángulo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea A = el área
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir.	$CNX_BMath_Figure_09_04_068_img_MW-02.png$
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ A = 640 $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} A & stackrel {?} {=} 640 \ 32 cdot 20 & stackrel {?} {=} 640 \ 640 & = 640 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	El área del rectángulo es de 60 metros cuadrados.

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

La longitud de un rectángulo es de 120 yardas y el ancho es de 50 yardas. Encuentre (a) el perímetro y (b) el área.

Responda a: 340 yardas

Respuesta b: 6000 yd2

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

La longitud de un rectángulo es de 62 pies y el ancho es de 48 pies. Encuentre (a) el perímetro y (b) el área.

Responda a: 220 pies

Respuesta b: 2976 pies cuadrados

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Halla la longitud de un rectángulo con un perímetro de 50 pulgadas y un ancho de 10 pulgadas.

Solución

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.	$CNX_BMath_Figure_09_04_069_img-01.png$
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	la longitud del rectángulo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea L = la longitud
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir.	$CNX_BMath_Figure_09_04_069_img-02.png$
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} 50 textcolor {red} {- 20} & = 2L + 20 textcolor {red} {- 20} \ 30 & = 2L \ dfrac {30} { textcolor {rojo} {2}} & = dfrac {2L} { textcolor {rojo} {2}} \ 15 & = L end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} P & stackrel {?} {=} 50 \ 15 + 10 + 15 + 10 & stackrel {?} {=} 50 \ 50 & = 50 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	La longitud es de 15 pulgadas.

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

Halla la longitud de un rectángulo con un perímetro de 80 pulgadas y un ancho de 25 pulgadas.

Respuesta: 15 pulgadas

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

Halla la longitud de un rectángulo con un perímetro de 30 yardas y un ancho de 6 yardas.

Respuesta: 9 yd

En el siguiente ejemplo, el ancho se define en términos de la longitud. Esperaremos a dibujar la figura hasta que escribamos una expresión para el ancho para poder etiquetar un lado con esa expresión.

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

El ancho de un rectángulo es dos pulgadas menos que la longitud. El perímetro es de 52 pulgadas. Encuentra el largo y el ancho.

Solución

Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	la longitud y el ancho del rectángulo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. Ahora podemos dibujar una figura usando estas expresiones para la longitud y el ancho.	Dado que el ancho se define en términos de la longitud, dejamos que L = longitud. El ancho es dos pies menos que el largo, por lo que dejamos L – 2 = ancho. $CNX_BMath_Figure_09_04_070_img-01.png$
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. La fórmula para el perímetro de un rectángulo relaciona toda la información. Sustituir en la información dada.	$CNX_BMath_Figure_09_04_070_img-02.png$
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ 52 = 2L + 2L – 4 $$
Combina términos similares.	$$ 52 = 4L – 4 $$
Agrega 4 a cada lado.	$$ 56 = 4L $$
Dividir entre 4.	$$ begin {split} dfrac {56} {4} & = dfrac {4L} {4} \ 14 & = L \ 14 & = L end {split} $$ La longitud es 14 pulgadas
Ahora necesitamos encontrar el ancho. El ancho es L – 2.	$$ begin {split} & L – 2 \ & textcolor {red} {14} – 2 \ & 12 end {split} $$ El ancho es de 12 pulgadas.
Paso 6. Verifique .	¡Dado que 14 + 12 + 14 + 12 = 52, esto funciona!
Paso 7. Responda la pregunta.	La longitud es de 14 pies y el ancho es de 12 pies.

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

El ancho de un rectángulo es siete metros menos que la longitud. El perímetro es de 58 metros. Encuentra el largo y el ancho.

Respuesta: 18 m, 11 m

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

La longitud de un rectángulo es ocho pies más que el ancho. El perímetro es de 60 pies. Encuentra el largo y el ancho.

Respuesta: 11 pies, 19 pies

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

La longitud de un rectángulo es cuatro centímetros más que el doble del ancho. El perímetro es de 32 centímetros. Encuentra el largo y el ancho.

Solución

Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	la longitud y el ancho
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	sea W = ancho La longitud es cuatro más que el doble del ancho. 2w + 4 = longitud $CNX_BMath_Figure_09_04_071_img-01.png$
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala en la información dada.	$CNX_BMath_Figure_09_04_071_img-02.png$
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} 32 & = 4w + 8 + 2w \ 32 & = 6w + 8 \ 24 & = 6w \ 4 & = w quad width \ 2w & + 4 quad length \ 2 ( textcolor {red} {4}) & + 4 \ 12 & quad The ; longitud; es; 12 ; cm ldotp end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} p & = 2L + 2W \ 32 & stackrel {?} {=} 2 cdot 12 + 2 cdot 4 \ 32 & = 32 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	La longitud es de 12 cm y el ancho es de 4 cm.

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

La longitud de un rectángulo es ocho más que el doble del ancho. El perímetro es de 64 pies. Encuentra el largo y el ancho.

Respuesta: 8 pies, 24 pies

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

El ancho de un rectángulo es seis menos del doble de la longitud. El perímetro es de 18 centímetros. Encuentra el largo y el ancho.

Respuesta: 5 cm, 4 cm

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

El área de una habitación rectangular es de 168 pies cuadrados. La longitud es de 14 pies. ¿Cuál es el ancho?

Solución

Paso 1. Lea el problema.	$CNX_BMath_Figure_09_04_083_img-01.png$
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	el ancho de una habitación rectangular
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea W = ancho
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala en la información dada.	$$ begin {split} A & = LW \ 168 & = 14W end {split} $$
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} dfrac {168} {14} & = dfrac {14W} {14} \ 12 & = W end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} A & = LW \ 168 & stackrel {?} {=} 14 cdot 12 \ 168 & = 168 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	El ancho de la habitación es de 12 pies.

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

El área de un rectángulo es 598 pies cuadrados. La longitud es de 23 pies. ¿Cuál es el ancho?

Respuesta: 26 pies

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

El ancho de un rectángulo es de 21 metros. El área es de 609 metros cuadrados. ¿Cuál es la longitud?

Respuesta: 29 m

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

El perímetro de una piscina rectangular es de 150 pies. El largo es 15 pies más que el ancho. Encuentra el largo y el ancho.

Solución

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.	$CNX_BMath_Figure_09_04_072.img-01.png$
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	la longitud y el ancho de la piscina
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. El largo es 15 pies más que el ancho.	Sea W = ancho W + 15 = longitud
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala.	$CNX_BMath_Figure_09_04_072_img-02.png$
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} 150 & = 2w + 30 + 2w \ 150 & = 4w + 30 \ 120 & = 4w \ 30 & = w quad the ; anchura; de; la; pool \ w & + 15 quad the ; longitud; de; la; pool \ textcolor {red} {30} & + 15 \ 45 & end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} p & = 2L + 2W \ 150 & stackrel {?} {=} 2 (45) + 2 (30) \ 150 & = 150 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	La longitud de la piscina es de 45 pies y el ancho es de 30 pies.