9.6: Usar propiedades de rectángulos, triángulos y trapecios (Parte 1)

Comprenda la medida lineal, cuadrada y cúbica

Cuando mide su altura o la longitud de una manguera de jardín, utiliza una regla o cinta métrica (Figura ( PageIndex {1} )). Una cinta métrica puede recordarle una línea; la usa para la medida lineal , que mide la longitud. Pulgada, pie, yarda, milla, centímetro y metro son unidades de medida lineal.

Figura ( PageIndex {1} ): esta cinta métrica mide pulgadas en la parte superior y centímetros en la parte inferior.

Cuando desea saber cuántos azulejos se necesitan para cubrir un piso, o el tamaño de una pared para pintar, necesita saber el área , una medida de la región necesaria para cubrir un superficie. El área medida es unidades cuadradas . A menudo usamos pulgadas cuadradas, pies cuadrados, centímetros cuadrados o millas cuadradas para medir el área. Un centímetro cuadrado es un cuadrado que es un centímetro (cm) en cada lado. Una pulgada cuadrada es un cuadrado que es una pulgada a cada lado (Figura ( PageIndex {2} )).

Figura ( PageIndex {2} ) – Las medidas cuadradas tienen lados que tienen 1 unidad de longitud.

La figura ( PageIndex {3} ) muestra una alfombra rectangular que mide 2 pies de largo por 3 pies de ancho. Cada cuadrado mide 1 pie de ancho por 1 pie de largo, o 1 pie cuadrado. La alfombra está hecha de 6 cuadrados. El área de la alfombra es de 6 pies cuadrados.

Figura ( PageIndex {3} ): la alfombra contiene seis cuadrados de 1 pie cuadrado cada uno, por lo que el área total de la alfombra es de 6 pies cuadrados.

Cuando mide cuánto se tarda en llenar un recipiente, como la cantidad de gasolina que puede caber en un tanque o la cantidad de medicamento en una jeringa, está midiendo el volumen . El volumen se mide en unidades cúbicas , como pulgadas cúbicas o centímetros cúbicos. Al medir el volumen de un sólido rectangular, mide cuántos cubos llenan el contenedor. A menudo usamos centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas y pies cúbicos. Un centímetro cúbico es un cubo que mide un centímetro en cada lado, mientras que una pulgada cúbica es un cubo que mide una pulgada en cada lado (Figura ( PageIndex {4} )).

Figura ( PageIndex {4} ) – Las medidas cúbicas tienen lados que tienen 1 unidad de longitud.

Suponga que el cubo en la Figura ( PageIndex {5} ) mide 3 pulgadas en cada lado y se corta en las líneas que se muestran. ¿Cuántos cubitos contiene? Si separáramos el cubo grande, encontraríamos 27 cubitos pequeños, cada uno de los cuales mide una pulgada en todos los lados. Entonces cada cubo pequeño tiene un volumen de 1 pulgada cúbica, y el volumen del cubo grande es de 27 pulgadas cúbicas.

Figura ( PageIndex {5} ) – Un cubo que mide 3 pulgadas en cada lado está formado por 27 cubos de una pulgada, o 27 pulgadas cúbicas.

La figura ( PageIndex {6} ) muestra un mosaico cuadrado de 1 pulgada en cada lado. Si una hormiga caminara alrededor del borde de la baldosa, caminaría 4 pulgadas. Esta distancia es el perímetro de la baldosa.

Dado que el mosaico es un cuadrado de 1 pulgada a cada lado, su área es de una pulgada cuadrada. El área de una forma se mide determinando cuántas unidades cuadradas cubren la forma.

Figura ( PageIndex {6} ) – Perímetro = 4 pulgadas, Área = 1 pulgada cuadrada. Cuando la hormiga camina completamente alrededor del azulejo en su borde, está trazando el perímetro del azulejo. El área del azulejo es de 1 pulgada cuadrada.

Usa las propiedades de los rectángulos

Un rectángulo tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos. Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud. Nos referimos a un lado del rectángulo como la longitud, L, y el lado adyacente como el ancho, W. Ver Figura ( PageIndex {7} ).

Figura ( PageIndex {7} ): un rectángulo tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos. Los lados están etiquetados L para el largo y W para el ancho.

El perímetro, P, del rectángulo es la distancia alrededor del rectángulo. Si comenzaras en una esquina y caminaras alrededor del rectángulo, caminarías unidades L + W + L + W, o dos longitudes y dos anchuras. El perímetro es entonces

$$ begin {split} P = L + & W + L + W \ & or \ P = 2L & + 2W end {split} $$

¿Qué pasa con el área de un rectángulo? Recuerde la alfombra rectangular del comienzo de esta sección. Tenía 2 pies de largo por 3 pies de ancho, y su área era de 6 pies cuadrados. Ver Figura ( PageIndex {8} ). Como A = 2 • 3, vemos que el área, A, es la longitud, L, multiplicada por el ancho, W, por lo que el área de un rectángulo es A = L • W.

Figura ( PageIndex {8} ) – El área de esta alfombra rectangular es de 6 pies cuadrados, su longitud multiplicada por su ancho.

Para facilitar la referencia a medida que trabajamos los ejemplos en esta sección, volveremos a exponer aquí la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

La longitud de un rectángulo es de 32 metros y el ancho es de 20 metros. Encuentre (a) el perímetro y (b) el área.

 

Solución

 

(a)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	el perímetro de un rectángulo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea P = el perímetro
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} P & = 64 + 40 \ P & = 104 end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} P & stackrel {?} {=} 104 \ 20 + 32 + 20 + 32 & stackrel {?} {=} 104 \ 104 & = 104 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	El perímetro del rectángulo es de 104 metros.

 

(b)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	el área de un rectángulo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea A = el área
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ A = 640 $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} A & stackrel {?} {=} 640 \ 32 cdot 20 & stackrel {?} {=} 640 \ 640 & = 640 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	El área del rectángulo es de 60 metros cuadrados.

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Halla la longitud de un rectángulo con un perímetro de 50 pulgadas y un ancho de 10 pulgadas.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	la longitud del rectángulo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea L = la longitud
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} 50 textcolor {red} {- 20} & = 2L + 20 textcolor {red} {- 20} \ 30 & = 2L \ dfrac {30} { textcolor {rojo} {2}} & = dfrac {2L} { textcolor {rojo} {2}} \ 15 & = L end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} P & stackrel {?} {=} 50 \ 15 + 10 + 15 + 10 & stackrel {?} {=} 50 \ 50 & = 50 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	La longitud es de 15 pulgadas.

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

El ancho de un rectángulo es dos pulgadas menos que la longitud. El perímetro es de 52 pulgadas. Encuentra el largo y el ancho.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	la longitud y el ancho del rectángulo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. Ahora podemos dibujar una figura usando estas expresiones para la longitud y el ancho.	Dado que el ancho se define en términos de la longitud, dejamos que L = longitud. El ancho es dos pies menos que el largo, por lo que dejamos L – 2 = ancho.
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. La fórmula para el perímetro de un rectángulo relaciona toda la información. Sustituir en la información dada.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ 52 = 2L + 2L – 4 $$
Combina términos similares.	$$ 52 = 4L – 4 $$
Agrega 4 a cada lado.	$$ 56 = 4L $$
Dividir entre 4.	$$ begin {split} dfrac {56} {4} & = dfrac {4L} {4} \ 14 & = L \ 14 & = L end {split} $$ La longitud es 14 pulgadas
Ahora necesitamos encontrar el ancho. El ancho es L – 2.	$$ begin {split} & L – 2 \ & textcolor {red} {14} – 2 \ & 12 end {split} $$ El ancho es de 12 pulgadas.
Paso 6. Verifique .	¡Dado que 14 + 12 + 14 + 12 = 52, esto funciona!
Paso 7. Responda la pregunta.	La longitud es de 14 pies y el ancho es de 12 pies.

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

La longitud de un rectángulo es cuatro centímetros más que el doble del ancho. El perímetro es de 32 centímetros. Encuentra el largo y el ancho.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	la longitud y el ancho
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	sea W = ancho               La longitud es cuatro más que el doble del ancho.               2w + 4 = longitud
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala en la información dada.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} 32 & = 4w + 8 + 2w \ 32 & = 6w + 8 \ 24 & = 6w \ 4 & = w quad width \ 2w & + 4 quad length \ 2 ( textcolor {red} {4}) & + 4 \ 12 & quad The ; longitud; es; 12 ; cm ldotp end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} p & = 2L + 2W \ 32 & stackrel {?} {=} 2 cdot 12 + 2 cdot 4 \ 32 & = 32 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	La longitud es de 12 cm y el ancho es de 4 cm.

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

El área de una habitación rectangular es de 168 pies cuadrados. La longitud es de 14 pies. ¿Cuál es el ancho?

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	el ancho de una habitación rectangular
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea W = ancho
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala en la información dada.	$$ begin {split} A & = LW \ 168 & = 14W end {split} $$
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} dfrac {168} {14} & = dfrac {14W} {14} \ 12 & = W end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} A & = LW \ 168 & stackrel {?} {=} 14 cdot 12 \ 168 & = 168 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	El ancho de la habitación es de 12 pies.

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

El perímetro de una piscina rectangular es de 150 pies. El largo es 15 pies más que el ancho. Encuentra el largo y el ancho.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	la longitud y el ancho de la piscina
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. El largo es 15 pies más que el ancho.	Sea W = ancho               W + 15 = longitud
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} 150 & = 2w + 30 + 2w \ 150 & = 4w + 30 \ 120 & = 4w \ 30 & = w quad the ; anchura; de; la; pool \ w & + 15 quad the ; longitud; de; la; pool \ textcolor {red} {30} & + 15 \ 45 & end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} p & = 2L + 2W \ 150 & stackrel {?} {=} 2 (45) + 2 (30) \ 150 & = 150 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	La longitud de la piscina es de 45 pies y el ancho es de 30 pies.