las matematicas

9.7: Graficar funciones cuadráticas usando propiedades

9.7: Graficar funciones cuadráticas usando propiedades

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Reconoce la gráfica de una función cuadrática
    •      
  • Encuentra el eje de simetría y el vértice de una parábola
    •      
  • Encuentra las intersecciones de una parábola
    •      
  • Graficar funciones cuadráticas usando propiedades
    •      
  • Resolver aplicaciones máximas y mínimas
    •  
 
 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Representa gráficamente la función (f (x) = x ^ {2} ) al trazar puntos.
    Si se perdió este problema, revise el Ejemplo 3.54.
    2.      
  2. Resuelve: (2 x ^ {2} +3 x-2 = 0 ).
    Si se perdió este problema, revise el Ejemplo 6.45.
    3.      
  3. Evalúe (- frac {b} {2 a} ) cuando (a = 3 ) y (b = -6 ).
    Si se perdió este problema, revise el Ejemplo 1.21.
    4.  
 

Reconocer el gráfico de una función cuadrática

 

Anteriormente miramos muy brevemente la función (f (x) = x ^ {2} ), que llamamos la función cuadrada. Fue una de las primeras funciones no lineales que analizamos. Ahora graficaremos funciones de la forma (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) if (a neq 0 ). Llamamos a este tipo de función una función cuadrática.

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

A función cuadrática , donde (a, b ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ), es una función de la forma

 

(f (x) = a x ^ {2} + b x + c )

 
 

Graficamos la función cuadrática (f (x) = x ^ {2} ) trazando puntos.

 
This figure shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 4 to 4. The y-axis of the plane runs from negative 2 to 6. The parabola has a vertex at (0, 0) and also passes through the points (-2, 4), (-1, 1), (1, 1), and (2, 4). To the right of the graph is a table of values with 3 columns. The first row is a header row and labels each column, “xâ€, “f of x equals x squaredâ€, and “the order pair x, f of x.†In row 2, x equals negative 3, f of x equals x squared is 9 and the ordered pair x, f of x is the ordered pair negative 3, 9. In row 3, x equals negative 2, f of x equals x squared is 4 and the ordered pair x, f of x is the ordered pair negative 2, 4. In row 4, x equals negative 1, f of x equals x squared is 1 and the ordered pair x, f of x is the ordered pair negative 1, 1. In row 5, x equals 0, f of x equals x squared is 0 and the ordered pair x, f of x is the ordered pair 0, 0. In row 6, x equals 1, f of x equals x squared is 1 and the ordered pair x, f of x is the ordered pair 1, 1. In row 7, x equals 2, f of x equals x squared is 4 and the ordered pair x, f of x is the ordered pair 2, 4. In row 8, x equals 3, f of x equals x squared is 9 and the ordered pair x, f of x is the ordered pair 3, 9.  
Figura 9.6.1
 
 

Cada función cuadrática tiene un gráfico que se ve así. Llamamos a esta figura una parábola . Practiquemos graficando una parábola trazando algunos puntos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Gráfico: (f (x) = x ^ {2} -1 ).

 

Solución :

 

Graficaremos la función trazando puntos.

                                                                                                              
             

Elija valores enteros para (x ),
sustitúyalos en la ecuación
y simplifique para encontrar (f (x) ).
Registre los valores de los pares ordenados en el gráfico.

             		 .
Trace los puntos y luego conéctelos
con una curva suave. El resultado
será el gráfico de la función
(f (x) = x ^ {2} -1 ). 		.
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Gráfico (f (x) = – x ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows an downward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The parabola has a vertex at (0, 0).
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Gráfico (f (x) = x ^ {2} +1 ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The parabola has a vertex at (0, −1).
     
 
 
 

Todas las gráficas de funciones cuadráticas de la forma (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) son parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ver Figura 9.6.6

 
This image shows 2 graphs side-by-side. The graph on the left shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The parabola has a vertex at (negative 2, negative 1) and passes through the points (negative 4, 3) and (0, 3). The general form for the equation of this graph is f of x equals a x squared plus b x plus c. The equation of this parabola is x squared plus 4 x plus 3. The leading coefficient, a, is greater than 0, so this parabola opens upward.The graph on the right shows an downward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The parabola has a vertex at (2, 7) and passes through the points (0, 3) and (4, 3). The general form for the equation of this graph is f of x equals a x squared plus b x plus c. The equation of this parabola is negative x squared plus 4 x plus 3. The leading coefficient, a, is less than 0, so this parabola opens downward.
 

Observe que la única diferencia en las dos funciones es el signo negativo antes del término cuadrático ( (x ^ {2} ) en la ecuación de la gráfica en Figura 9.6.6 ). Cuando el término cuadrático es positivo, la parábola se abre hacia arriba, y cuando el término cuadrático es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

 
 

Definición ( PageIndex {2} )

 

Orientación de la parábola

 

Para la gráfica de la función cuadrática (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ), si

 

This images shows a bulleted list. The first bullet notes that, if a is greater than 0, then the parabola opens upward and shows an image of an upward-opening parabola. The second bullet notes that, if a is less than 0, then the parabola opens downward and shows an image of a downward-opening parabola.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Determine si cada parábola se abre hacia arriba o hacia abajo:

 
         
  1. (f (x) = – 3 x ^ {2} +2 x-4 )
    2.      
  2. (f (x) = 6 x ^ {2} +7 x-9 )
    3.  
 

Solución :

 

a. Encuentre el valor de (a ).

 
.
 

Dado que (a ) es negativo, la parábola se abrirá hacia abajo.

 

b. Encuentre el valor de (a ).

 
.
 

Dado que (a ) es positivo, la parábola se abrirá hacia arriba.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Determine si la gráfica de cada función es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo:

 
         
  1. (f (x) = 2 x ^ {2} +5 x-2 )
    2.      
  2. (f (x) = – 3 x ^ {2} -4 x + 7 )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. arriba
    2.          
  2. abajo
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Determine si la gráfica de cada función es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo:

 
         
  1. (f (x) = – 2 x ^ {2} -2 x-3 )
    2.      
  2. (f (x) = 5 x ^ {2} -2 x-1 )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. abajo
    2.          
  2. arriba
    3.      
     
 
 
 

Encuentra el eje de simetría y vértice de una parábola

 

Mire nuevamente a Figura 9.6.10 . ¿Ves que podríamos doblar cada parábola por la mitad y luego un lado estaría sobre el otro? La “línea de plegado” es una línea de simetría. Lo llamamos el eje de simetría de la parábola.

 

Mostramos nuevamente los mismos dos gráficos con el eje de simetría.

 
This image shows 2 graphs side-by-side. The graph on the left shows an upward-opening parabola and a dashed vertical line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The parabola has a vertex at (negative 2, negative 1) and passes through the points (negative 4, 3) and (0, 3). The equation of this parabola is x squared plus 4 x plus 3. The vertical line passes through the point (negative 2, 0) and has the equation x equals negative 2. The graph on the right shows an downward-opening parabola and a dashed vertical line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The parabola has a vertex at (2, 7) and passes through the points (0, 3) and (4, 3). The equation of this parabola is negative x squared plus 4 x plus 3. The vertical line passes through the point (2, 0) and has the equation x equals 2.
 

La ecuación del eje de simetría se puede derivar mediante el uso de la fórmula cuadrática. Omitiremos la derivación aquí y procederemos directamente al uso del resultado. La ecuación del eje de simetría de la gráfica de (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) es (x = – frac {b} {2 a} ).

 

Entonces, para encontrar la ecuación de simetría de cada una de las parábolas que graficamos anteriormente, sustituiremos en la fórmula (x = – frac {b} {2 a} ).

 
Compare the function f of x equals x squared plus 4 x plus 3 to the standard form of a quadratic function, f of x equals a x squared plus b x plus c. The axis of symmetry is the line x equals negative b divided by the product 2 a. Substituting for b and a yields x equals negative 4 divided by the product 2 times 1. The axis of symmetry equals negative 2. Next, compare the function f of x equals negative x squared plus 4 x plus 3 to the standard form of a quadratic function, f of x equals a x squared plus b x plus c. The axis of symmetry is the line x equals negative b divided by the product 2 a. Substituting for b and a yields x equals negative 4 divided by the product 2 times negative 1. The axis of symmetry equals 2.
 

Observe que estas son las ecuaciones de las líneas azules discontinuas en los gráficos.

 

El punto en la parábola que es el más bajo (se abre la parábola), o el más alto (se abre la parábola), se encuentra en el eje de simetría. Este punto se llama el vértice de la parábola.

 

Podemos encontrar fácilmente las coordenadas del vértice, porque sabemos que está en el eje de simetría. Esto significa que su
(x ) – la coordenada es (- frac {b} {2 a} ). Para encontrar la coordenada (y ) del vértice, sustituimos el valor de la coordenada (x ) en la función cuadrática.

 
For the function f of x equals x squared plus 4 x plus 3, the axis of symmetry is x equals negative 2. The vertex is the point on the parabola with x-coordinate negative 2. Substitute x equals negative 2 into the function f of x equals x squared plus 4 x plus 3. F of x equals the square of negative 2 plus 4 times negative 2 plus 3, so f of x equals negative 1. The vertex is the point (negative 2, negative 1). For the function f of x equals negative x squared plus 4 x plus 3, the axis of symmetry is x equals 2. The vertex is the point on the parabola with x-coordinate 2. Substitute x equals 2 into the function f of x equals x squared plus 4 x plus 3. F of x equals 2 squared plus 4 times 2 plus 3, so f of x equals 7. The vertex is the point (2, 7).
 

Eje de simetría y vértice de una parábola

 

La gráfica de la función (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) es una parábola donde:

 
         
  • el eje de simetría es la línea vertical (x = – frac {b} {2 a} ).
    •      
  • el vértice es un punto en el eje de simetría, por lo que su coordenada (x ) es (- frac {b} {2 a} )
    •      
  • la coordenada (y ) del vértice se encuentra sustituyendo (x = – frac {b} {2 a} ) en la ecuación cuadrática.
    •  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Para la gráfica de (f (x) = 3 x ^ {2} -6 x + 2 ) encuentre:

 
         
  1. el eje de simetría
    2.      
  2. el vértice
    3.  
 

Solución :

 

a.

                                                                                                                                                                                                                                                              
.
El eje de simetría es la línea vertical (x = – frac {b} {2 a} ).
Sustituye los valores (a, b ) en la ecuación. (x = – frac {-6} {2 cdot 3} )
Simplificar. (x = 1 )
El eje de simetría es la línea (x = 1 ).
 

b.

                                                                                                                                                                                                                                                              
(f (x) = 3 x ^ {2} -6 x + 2 )
El vértice es un punto en la línea de simetría, por lo que su (x ) – coordenada será (x = 1 ). Encuentra (f (1) ). .
Simplificar. .
El resultado es la coordenada (y ). (f (1) = – 1 )
El vértice es ((1, -1) ).
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Para la gráfica de (f (x) = 2 x ^ {2} -8 x + 1 ) encuentre:

 
         
  1. el eje de simetría
    2.      
  2. el vértice
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x = 2 )
    2.          
  2. ((2, -7) )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Para la gráfica de (f (x) = 2 x ^ {2} -4 x-3 ) encuentre:

 
         
  1. el eje de simetría
    2.      
  2. el vértice
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x = 1 )
    2.          
  2. ((1, -5) )
    3.      
     
 
 
 

Encuentra las intersecciones de una parábola

 

Cuando graficamos ecuaciones lineales, a menudo usamos las intersecciones (x ) – y (y ) – para ayudarnos a graficar las líneas. Encontrar las coordenadas de las intersecciones también nos ayudará a graficar parábolas.

 

Recuerde, en el (y ) – intercepte el valor de (x ) es cero. Entonces, para encontrar la intercepción (y ), sustituimos (x = 0 ) en la función.

 

Vamos a encontrar las intersecciones (y ) de las dos parábolas que se muestran en Figura 9.6.20 .

 
This image shows 2 graphs side-by-side. The graph on the left shows an upward-opening parabola and a dashed vertical line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The parabola has a vertex at (negative 2, negative 1) and passes through the points (negative 4, 3) and (0, 3). The vertical line is an axis of symmetry for the parabola, and passes through the point (negative 2, 0). It has the equation x equals negative 2. The equation of this parabola is x squared plus 4 x plus 3. When x equals 0, f of 0 equals 0 squared plus 4 times 0 plus 3. F of 0 equals 3. The y-intercept of the graph is the point (0, 3). The graph on the right shows an downward-opening parabola and a dashed vertical line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The parabola has a vertex at (2, 7) and passes through the points (0, 3) and (4, 3). The vertical line is an axis of symmetry for the parabola and passes through the point (2, 0). It has the equation x equals 2. The equation of this parabola is negative x squared plus 4 x plus 3. When x equals 0, f of 0 equals negative 0 squared plus 4 times 0 plus 3. F of 0 equals 3. The y-intercept of the graph is the point (0, 3).
 

Una (x ) – intercepta resultados cuando el valor de (f (x) ) es cero. Para encontrar una (x ) – intercepción, dejamos (f (x) = 0 ). En otras palabras, tendremos que resolver la ecuación (0 = a x ^ {2} + b x + c ) para (x ).

 

( begin {alineado} f (x) & = ax ^ {2} + b x + c \ 0 & = ax ^ {2} + b x + c end {alineado} ) [19459003 ]  

¡Resolver ecuaciones cuadráticas como esta es exactamente lo que hemos hecho anteriormente en este capítulo!

 

Ahora podemos encontrar las intersecciones (x ) de las dos parábolas que observamos. Primero encontraremos los (x ) – intersecciones de la parábola cuya función es (f (x) = x ^ {2} +4 x + 3 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(f (x) = x ^ {2} +4 x + 3 )
Sea (f (x) = 0 ). ( color {rojo} 0 color {negro} = x ^ {2} +4 x + 3 )
Factor. (0 = (x + 1) (x + 3) )
Utilice la propiedad del producto cero. (x + 1 = 0 quad x + 3 = 0 )
Resolver. (x = -1 quad x = -3 )
Las intersecciones (x ) – son ((- 1,0) ) y ((- 3,0) ).
 

Ahora encontraremos las intersecciones (x ) – de la parábola cuya función es (f (x) = – x ^ {2} +4 x + 3 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(f (x) = – x ^ {2} +4 x + 3 )
Sea (f (x) = 0 ). ( color {rojo} 0 color {negro} = – x ^ {2} +4 x + 3 )
Esta cuadrática no factoriza, por lo que utilizamos la fórmula cuadrática. (x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} )
(a = -1, b = 4, c = 3 ) (x = frac {-4 pm sqrt {4 ^ {2} -4 (-1) (3)}} {2 (-1)} )
Simplificar. (x = frac {-4 pm sqrt {28}} {- 2} )
(x = frac {-4 pm 2 sqrt {7}} {- 2} )
(x = frac {-2 (2 pm sqrt {7})} {- 2} )
(x = 2 pm sqrt {7} )
Las (x ) – intersecciones son ((2+ sqrt {7}, 0) ) y ((2- sqrt {7}, 0) ).
 

Utilizaremos las aproximaciones decimales de las intersecciones (x ), para poder ubicar estos puntos en el gráfico,

 

((2+ sqrt {7}, 0) aprox (4.6,0) quad (2- sqrt {7}, 0) aprox (-0.6,0) )

 

¿Concuerdan estos resultados con nuestros gráficos? Ver Figura 9.6.34

 
This image shows 2 graphs side-by-side. The graph on the left shows the upward-opening parabola defined by the function f of x equals x squared plus 4 x plus 3 and a dashed vertical line, x equals negative 2, graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The parabola has a vertex at (negative 2, negative 1). The y-intercept is (0, 3) and the x-intercepts are (negative 1, 0) and (negative 3, 0). The graph on the right shows the downward-opening parabola defined by the function f of x equals negative x squared plus 4 x plus 3 and a dashed vertical line, x equals 2, graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The parabola has a vertex at (2, 7). The y-intercept is (0, 3) and the x-intercepts are (2 plus square root 7, 0), approximately (4.6, 0) and (2 minus square root, 0), approximately (negative 0.6, 0).
 

Encuentra las intersecciones de una parábola

 

Para encontrar las intersecciones de una parábola cuya función es (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ):

 

(y ) – intercepción

 

Deje (x = 0 ) y resuelva para (f (x) ).

 

(x ) – intercepta

 

Deje (f (x) = 0 ) y resuelva (x )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola cuya función es (f (x) = x ^ {2} -2 x-8 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Para encontrar la intercepción (y ) -, deje (x = 0 ) y resuelva (f (x) ). (f (x) = x ^ {2} -2 x-8 )
(f (0) = color {rojo} 0 color {negro} ^ {2} -2 cdot color {rojo} 0 color {negro} -8 )
(f (0) = – 8 )
Cuando (x = 0 ), entonces (f (0) = – 8 ). La intercepción (y ) – es el punto ((0, -8) ).
Para encontrar la intersección con (x ), deje (f (x) = 0 ) y resuelva (x ). (f (x) = x ^ {2} -2 x-8 )
(0 = x ^ {2} -2 x-8 )
Resuelve factorizando. (0 = (x-4) (x + 2) )
(0 = x-4 quad 0 = x + 2 )
(4 = x quad-2 = x )
Cuando (f (x) = 0 ), entonces (x = 4 ) o (x = -2 ). Las intersecciones (x ) – son los puntos ((4,0) ) y ((- 2,0) ).
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola cuya función es (f (x) = x ^ {2} +2 x-8 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y ) -intercepción: ((0, -8) x ) -interceptos ((- 4,0), (2,0) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola cuya función es (f (x) = x ^ {2} -4 x-12 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y ) -intercepción: ((0, -12) x ) -interceptos ((- 2,0), (6,0) )

     
 
 
 

En este capítulo, hemos estado resolviendo ecuaciones cuadráticas de la forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ). Resolvimos (x ) y los resultados fueron las soluciones a la ecuación.

 

Ahora estamos viendo las funciones cuadráticas de la forma (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ). Los gráficos de estas funciones son parábolas. Las (x ) – las intersecciones de las parábolas ocurren donde (f (x) = 0 ).

 

Por ejemplo:

 

Ecuación cuadrática

 

( begin {alineado} x ^ {2} -2 x-15 & = 0 quad text {Let} : f (x) = 0 \ (x-5) (x + 3) & = 0 \ x-5 = 0 : : x + 3 & = 0 \ x = 5 : : : x & = – 3 end {alineado} )

 

Función cuadrática

 

( begin {alineado} f (x) & = x ^ {2} -2 x-15 \ 0 & = x ^ {2} -2 x-15 \ 0 & = (x-5 ) (x + 3) \ x-5 & = 0 quad x + 3 = 0 \ x & = 5 quad x = -3 \ (5,0) & text {y} (- 3, 0) \ & x text {-intercepts} end {alineado} )

 

Las soluciones de la función cuadrática son los valores (x ) de las intersecciones (x ) – .

 

Anteriormente, vimos que las ecuaciones cuadráticas tienen soluciones (2, 1 ) o (0 ). Los gráficos a continuación muestran ejemplos de parábolas para estos tres casos. Como las soluciones de las funciones dan las intersecciones (x ) de las gráficas, el número de intersecciones (x ) es el mismo que el número de soluciones.

 

Anteriormente, utilizamos el discriminante para determinar el número de soluciones de una función cuadrática de la forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ). Ahora podemos usar el discriminante para decirnos cuántas (x ) – intercepta en el gráfico.

 
This image shows three graphs side-by-side. The graph on the left shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The vertex of the parabola lies below the x-axis and the parabola crosses the x-axis at two different points. If b squared minus 4 a c is greater than 0, then the quadratic equation a x squared plus b x plus c equals 0 has two solutions, and the graph of the parabola has 2 x-intercepts. The graph in the middle shows a downward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The vertex of the parabola lies on the x-axis, the only point of intersection between the parabola and the x-axis. If b squared minus 4 a c equals 0, then the quadratic equation a x squared plus b x plus c equals 0 has one solution, and the graph of the parabola has 1 x-intercept. The graph on the right shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The vertex of the parabola lies above the x-axis and the parabola does not cross the x-axis. If b squared minus 4 a c is less than 0, then the quadratic equation a x squared plus b x plus c equals 0 has no solutions, and the graph of the parabola has no x-intercepts.
 

Antes de encontrar los valores de las intersecciones (x ), es posible que desee evaluar el discriminante para saber cuántas soluciones esperar.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola para la función (f (x) = 5 x ^ {2} + x + 4 ).

 

Solución :

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola cuya función es (f (x) = 3 x ^ {2} +4 x + 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y ) – intercepción: ((0,4) ) no (x ) – intercepción

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola cuya función es (f (x) = x ^ {2} -4 x-5 )

 
     
Respuesta
     
     

(y ) – intercepción: ((0, -5) ) (x ) – intercepta ((- 1,0), (5,0) )

     
 
 
 

Graficar funciones cuadráticas usando propiedades

 

Ahora tenemos todas las piezas que necesitamos para graficar una función cuadrática. Solo necesitamos unirlos. En el siguiente ejemplo veremos cómo hacer esto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ) Cómo graficar una función cuadrática usando propiedades

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} -6x + 8 ) usando sus propiedades.

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
Paso 1 : Determine si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.              

Mira (a ) en la ecuación (f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

             

Dado que (a ) es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

             		              

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

             

( color {rojo} {a = 1, b = -6, c = 8} )

             

La parábola se abre hacia arriba.

             
Paso 2 : Encuentra el eje de simetría.              

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

             

El eje de simetría es la línea (x = – frac {b} {2 a} ).

             		              

Eje de simetría

             

(x = – frac {b} {2 a} )

             

(x = – frac {(- 6)} {2 cdot 1} )

             

(x = 3 )

             

El eje de simetría es la línea (x = 3 ).

             
Paso 3 : Encuentra el vértice. El vértice está en el eje de simetría. Sustituya (x = 3 ) en la función.              

Vértice

             

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

             

(f (3) = ( color {red} {3} color {black} {)} ^ {2} -6 ( color {red} {3} color {black} {)} +8 )

             

(f (3) = – 1 )

             

El vértice es ((3, -1) ).

             
Paso 4 : Encuentra la intercepción (y ). Encuentre el punto simétrico a (y ) – intercepte a través del eje de simetría.              

Encontramos (f (0) ).

             

Utilizamos el eje de simetría para encontrar un punto simétrico a la intersección (y ). La intersección con (y ) está (3 ) unidades a la izquierda del eje de simetría, (x = 3 ). Un punto (3 ) unidades a la derecha del eje de simetría tiene (x = 6 ).

             		              

(y ) – intercepción

             

(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )

             

(f (0) = ( color {red} {0} color {black} {)} ^ {2} -6 ( color {red} {0} color {black} {)} +8 )

             

(f (0) = 8 )

             

La intercepción (y ) – es ((0,8) ).

             

Punto simétrico a (y ) – intercepción:

             

El punto es ((6,8) ).

             
Paso 5 : Encuentra las intersecciones (x ). Encuentre puntos adicionales si es necesario.              

Resolvemos (f (x) = 0 ).

             

Podemos resolver esta ecuación cuadrática factorizando.

             		              

(x ) – intercepta

             

(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )

             

( color {rojo} {0} color {negro} {=} x ^ {2} -6x + 8 )

             

( color {rojo} {0} color {negro} {=} (x-2) (x-4) )

             

(x = 2 o x = 4 )

             

Las intersecciones (x ) – son ((2,0) ) y ((4,0) ).

             
Paso 6 : Representa gráficamente la parábola. Representamos gráficamente el vértice, las intersecciones y el punto simétrico a la intersección (y ). Conectamos estos puntos (5 ) para dibujar la parábola. Screenshot (1).png
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} + 2x-8 ) usando sus propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The axis of symmetry, x equals negative 1, is graphed as a dashed line. The parabola has a vertex at (negative 1, negative 9). The y-intercept of the parabola is the point (0, negative 8). The x-intercepts of the parabola are the points (negative 4, 0) and (4, 0).
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} -8x + 12 ) usando sus propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 15. The axis of symmetry, x equals 4, is graphed as a dashed line. The parabola has a vertex at (4, negative 4). The y-intercept of the parabola is the point (0, 12). The x-intercepts of the parabola are the points (2, 0) and (6, 0).
     
 
 
 

Enumeramos los pasos a seguir para graficar una función cuadrática aquí.

 

Para graficar una función cuadrática usando propiedades

 
         
  1. Determine si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
    2.      
  2. Encuentra la ecuación del eje de simetría.
    3.      
  3. Encuentra el vértice.
    4.      
  4. Encuentra la intercepción (y ). Encuentre el punto simétrico a (y ) – intercepte a través del eje de simetría.
    5.      
  5. Encuentra las intersecciones (x ). Encuentre puntos adicionales si es necesario.
    6.      
  6. Representa gráficamente la parábola.
    7.  
 

Pudimos encontrar las intersecciones (x ) en el último ejemplo factorizando. Encontramos las intersecciones con (x ) en el siguiente ejemplo factorizando también.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} +6 x-9 ) usando sus propiedades.

 

Solución :

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Grafica (f (x) = 3 x ^ {2} +12 x-12 ) usando sus propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a downward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 15 to 10. The parabola has a vertex at (2, 0). The y-intercept (0, negative 12) is plotted as well as the axis of symmetry, x equals 2.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Grafica (f (x) = 4 x ^ {2} +24 x + 36 ) usando sus propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 30 to 20. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 40. The parabola has a vertex at (negative 3, 0). The y-intercept (0, 36) is plotted as well as the axis of symmetry, x equals negative 3.
     
 
 
 

Para la gráfica de (f (x) = – x ^ {2} +6 x-9 ), el vértice y la intersección (x ) eran el mismo punto. ¿Recuerdas cómo el discriminante determina el número de soluciones de una ecuación cuadrática? El discriminante de la ecuación (0 = -x ^ {2} + 6x-9 ) es (0 ), por lo que solo hay una solución. Eso significa que solo hay una (x ) – intercepción, y es el vértice de la parábola.

 

¿Cuántas (x ) – intersecciones esperaría ver en la gráfica de (f (x) = x ^ {2} +4 x + 5 )?

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Graficar (f (x) = x ^ {2} +4 x + 5 ) usando sus propiedades.

 

Solución :

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} -2 x + 3 ) usando sus propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 2 to 4. The y-axis of the plane runs from negative 1 to 5. The parabola has a vertex at (1, 2). The y-intercept (0, 3) is plotted as is the line of symmetry, x equals 1.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Grafica (f (x) = – 3x ^ {2} -6 x-4 ) usando sus propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a downward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 4 to 2. The y-axis of the plane runs from negative 5 to 1. The parabola has a vertex at (negative 1, negative 2). The y-intercept (0, negative 4) is plotted as is the line of symmetry, x equals negative 1.
     
 
 
 

Encontrar (y ) – interceptar encontrando (f (0) ) es fácil, ¿no? A veces necesitamos usar la Fórmula Cuadrática para encontrar las intersecciones (x ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Grafica (f (x) = 2 x ^ {2} -4 x-3 ) usando sus propiedades.

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
             

Dado que (a ) es (2 ), la parábola se abre hacia arriba.

             		 .
Para encontrar la ecuación del eje de simetría, use (x = – frac {b} {2 a} ). (x = – frac {b} {2 a} )
(x = – frac {-4} {2 cdot 2} )
(x = 1 )
La ecuación del eje de simetría es (x = 1 ).
El vértice está en la línea (x = 1 ). (f (x) = 2 x ^ {2} -4 x-3 )
Encuentra (f (1) ). .
(f (1) = 2-4-3 )
( f (1) = – 5)
El vértice es ((1, -5) ).
La (y ) – intercepción ocurre cuando (x = 0 ). (f (x) = 2 x ^ {2} -4 x-3 )
Encuentra (f (0) ). .
Simplificar. (f (0) = – 3 )
La (y ) – intercepción es ((0, -3) ).
El punto ((0, -3) ) es una unidad a la izquierda de la línea de simetría. Punto simétrico a (y ) – la intersección es ((2, -3) )
El punto una unidad a la derecha de la línea de simetría es ((2,3) ).
La (x ) – intercepción ocurre cuando (y = 0 ). (f (x) = 2 x ^ {2} -4 x-3 )
Encuentra (f (x) = 0 ). .
Usa la fórmula cuadrática. (x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} )
Sustituir en los valores de (a, b ) y (c ). (x = frac {- (- 4) pm sqrt {(- 4) ^ {2} -4 (2) (3)}} {2 (2)} )
Simplificar. (x = frac {-4 pm sqrt {16 + 24}} {4} )
Simplifica dentro del radical. (x = frac {4 pm sqrt {40}} {4} )
Simplifica el radical. (x = frac {4 pm 2 sqrt {10}} {4} )
Factorizar el MCD. (x = frac {2 (2 pm sqrt {10})} {4} )
Eliminar los factores comunes. (x = frac {2 pm sqrt {10}} {2} )
Escribe como dos ecuaciones. (x = frac {2+ sqrt {10}} {2}, quad x = frac {2- sqrt {10}} {2} )
Aproximar los valores. (x aprox 2.5, quad x approx-0.6 )
Los valores aproximados de las intersecciones (x ) – son ((2.5,0) ) y ((- 0.6,0) ).
Representa gráficamente la parábola usando los puntos encontrados. .
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Grafica (f (x) = 5 x ^ {2} +10 x + 3 ) usando sus propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 4 to 4. The y-axis of the plane runs from negative 4 to 4. The axis of symmetry, x equals negative 1, is graphed as a dashed line. The parabola has a vertex at (negative 1, negative 2). The y-intercept of the parabola is the point (0, 3). The x-intercepts of the parabola are approximately (negative 1.6, 0) and (negative 0.4, 0).
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Grafica (f (x) = – 3 x ^ {2} -6 x + 5 ) usando sus propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a downward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The axis of symmetry, x equals negative 1, is graphed as a dashed line. The parabola has a vertex at (negative 1, 8). The y-intercept of the parabola is the point (0, 5). The x-intercepts of the parabola are approximately (negative 2.6, 0) and (0.6, 0).
     
 
 
 

Resolver aplicaciones máximas y mínimas

 

Saber que el vértice de una parábola es el punto más bajo o más alto de la parábola nos da una manera fácil de determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática. El y -coordinado del vértice es el valor mínimo de una parábola que se abre hacia arriba. Es el valor máximo de una parábola que se abre hacia abajo. Ver Figura 9.6.124 .

 
This figure shows 2 graphs side-by-side. The left graph shows a downward opening parabola plotted in the x y-plane. An arrow points to the vertex with the label maximum. The right graph shows an upward opening parabola plotted in the x y-plane. An arrow points to the vertex with the label minimum.  
Figura 9.6.124
 
 

Valores mínimos o máximos de una función cuadrática

 

La y -coordinada del vértice de la gráfica de una función cuadrática es la

 
         
  • valor mínimo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia arriba .
    •      
  • valor máximo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia abajo .
    •  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Encuentre el valor mínimo o máximo de la función cuadrática (f (x) = x ^ {2} +2 x-8 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(f (x) = x ^ {2} +2 x-8 )
Dado que (a ) es positivo, la parábola se abre hacia arriba. La ecuación cuadrática tiene un mínimo.
Encuentra la ecuación del eje de simetría. (x = – frac {b} {2 a} )
(x = – frac {2} {2 times 1} )
(x = -1 )
La ecuación del eje de simetría es (x = -1 ).
El vértice está en la línea (x = -1 ). (f (x) = x ^ {2} +2 x-8 )
Encuentra (f (-1) ). .
(f (-1) = 1-2-8 )
(f (-1) = – 9 )
El vértice es ((- 1, -9) ).
Dado que la parábola tiene un mínimo, la coordenada (y ) del vértice es el valor mínimo (y ) de la ecuación cuadrática. El valor mínimo de la cuadrática es (- 9 ) y ocurre cuando (x = -1 ).
.
 

Muestra el gráfico para verificar el resultado.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Encuentre el valor máximo o mínimo de la función cuadrática (f (x) = x ^ {2} -8 x + 12 ).

 
     
Respuesta
     
     

El valor mínimo de la función cuadrática es (- 4 ) y ocurre cuando (x = 4 ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Encuentre el valor máximo o mínimo de la función cuadrática (f (x) = – 4 x ^ {2} +16 x-11 ).

 
     
Respuesta
     
     

El valor máximo de la función cuadrática es (5 ) y ocurre cuando (x = 2 ).

     
 
 
 

Hemos utilizado la fórmula

 

(h (t) = – 16 t ^ {2} + v_ {0} t + h_ {0} )

 

para calcular la altura en pies, (h ), de un objeto disparado hacia arriba en el aire con velocidad inicial, (v_ {0} ), después de (t ) segundos.

 

Esta fórmula es una función cuadrática, por lo que su gráfica es una parábola. Al resolver las coordenadas del vértice ((t, h) ), podemos encontrar cuánto tiempo le tomará al objeto alcanzar su altura máxima. Entonces podemos calcular la altura máxima.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

La ecuación cuadrática (h (t) = – 16 t ^ {2} +176 t + 4 ) modela la altura de un golpe de voleibol hacia arriba con velocidad (176 ) pies por segundo desde una altura de (4 pies.

 
         
  1. ¿Cuántos segundos le tomará al voleibol alcanzar su altura máxima?
    2.      
  2. Encuentra la altura máxima del voleibol.
    3.  
 

Solución :

 

(h (t) = – 16 t ^ {2} +176 t + 4 )

 

Dado que (a ) es negativo, la parábola se abre hacia abajo. La función cuadrática tiene un máximo.

 

a. Encuentra la ecuación del eje de simetría.

 

( begin {array} {l} {t = – frac {b} {2 a}} \ {t = – frac {176} {2 (-16)}} \ {t = 5.5} end {array} )

 

La ecuación del eje de simetría es (t = 5.5 ).

 

El vértice está en la línea (t = 5.5 ).

 

El máximo ocurre cuando (t = 5.5 ) segundos.

 

b. Encuentra (h (5.5) ).

 

( begin {array} {l} {h (t) = – 16 t ^ {2} +176 t + 4} \ {h (t) = – 16 (5.5) ^ {2} + 176 (5.5) +4} end {array} )

 

Usa una calculadora para simplificar.

 

(h (t) = 488 )

 

El vértice es ((5.5,488) ).

 

Dado que la parábola tiene un máximo, la coordenada (h ) del vértice es el valor máximo de la función cuadrática.

 

El valor máximo de la cuadrática es (488 ) pies y ocurre cuando (t = 5.5 ) segundos.

 

Después de (5.5 ) segundos, el voleibol alcanzará su altura máxima de (488 ) pies.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Resuelve, redondeando las respuestas a la décima más cercana.

 

La función cuadrática (h (t) = – 16 t ^ {2} +128 t + 32 ) se usa para encontrar la altura de una piedra lanzada hacia arriba desde una altura de (32 ) pies a tasa de (128 ) pies / seg. ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en alcanzar su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima?

 
     
Respuesta
     
     

La piedra tardará (4 ) segundos en alcanzar su altura máxima de (288 ) pies.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

La trayectoria de un cohete de juguete lanzado hacia arriba desde el suelo a una velocidad de (208 ) pies / s está modelada por la función cuadrática de (h (t) = – 16 t ^ {2} +208 t ). ¿Cuándo alcanzará el cohete su altura máxima? ¿Cuál será la altura máxima?

 
     
Respuesta
     
     

El cohete tardará (6,5 ) segundos en alcanzar su altura máxima de (676 ) pies.

     
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Orientación de la parábola      
               
    • Para el gráfico de la función cuadrática (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ), si          
                     
      • (a> 0 ), la parábola se abre hacia arriba.
        •              
      • (a <0 ), la parábola se abre hacia abajo.
        •          
               
      •      
         
    •      
  • Eje de simetría y vértice de una parábola La gráfica de la función (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) es una parábola donde:      
               
    • el eje de simetría es la línea vertical (x = – frac {b} {2 a} ).
      •          
    • el vértice es un punto en el eje de simetría, por lo que su coordenada (x ) es (- frac {b} {2 a} ).
      •          
    • la coordenada (y ) del vértice se encuentra sustituyendo (x = – frac {b} {2 a} ) en la ecuación cuadrática.
      •      
         
    •      
  • Encuentra las intersecciones de una parábola      
               
    • Para encontrar las intersecciones de una parábola cuya función es (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ):          
                     
      • (y ) – intercepción              
                           
        • Deje (x = 0 ) y resuelva (f (x) ).
          •              
                     
        •              
      • (x ) – intercepta              
                           
        • Sea (f (x) = 0 ) y resuelva para (x ).
          •              
                     
        •          
               
      •      
         
    •      
  • How to graph a quadratic function using properties.      
               
    1. Determine whether the parabola opens upward or downward.
      2.          
    2. Find the equation of the axis of symmetry.
      3.          
    3. Find the vertex.
      4.          
    4. Find the (y)-intercept. Find the point symmetric to the y -intercept across the axis of symmetry.
      5.          
    5. Find the (x)-intercepts. Find additional points if needed.
      6.          
    6. Graph the parabola.
      7.      
         
    •      
  • Minimum or Maximum Values of a Quadratic Equation      
               
    • The (y)-coordinate of the vertex of the graph of a quadratic equation is the
      •          
    • minimum value of the quadratic equation if the parabola opens upward .
      •          
    • maximum value of the quadratic equation if the parabola opens downward .
      •      
         
    •  
 

Glossary

 
     
quadratic function
     
A quadratic function, where (a, b), and (c) are real numbers and (a≠0), is a function of the form (f(x)=ax^{2}+bx+c).
 
 
 
 
                                  
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antonio1095

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