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las matematicas

9.8: exponentes racionales

                 

 

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:  
         
  • Simplifique expresiones con (a ^ { frac {1} {n}} )
  •      
  • Simplifique expresiones con (a ^ { frac {m} {n}} )
  •      
  • Usa las leyes de los exponentes para expresiones simples con exponentes racionales
  •  
 
 
 

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Agregue: ( frac {7} {15} + frac {5} {12} ).
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  2.      
  3. Simplifique: ((4x ^ {2} y ^ {5}) ^ 3 ).
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  4.      
  5. Simplifica: (5 ^ {- 3} ).
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  6.  
 
 

Simplifique las expresiones con (a ^ { frac {1} {n}} )

 

Los exponentes racionales son otra forma de escribir expresiones con radicales. Cuando usamos exponentes racionales , podemos aplicar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones.

 

La propiedad de potencia para exponentes dice que ((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} ) cuando m y n son ​​números enteros. Supongamos que ahora no estamos limitados a números enteros.

 

Supongamos que queremos encontrar un número p tal que ((8 ^ p) ^ 3 = 8 ). Usaremos la propiedad de potencia de los exponentes para encontrar el valor de p .

 

[ begin {array} {cc} {} & {(8 ^ p) ^ 3 = 8} \ { text {Multiplica los exponentes de la izquierda.}} & {8 ^ {3p} = 8} \ { text {Escriba el exponente 1 a la derecha.}} & {8 ^ {3p} = 8 ^ 1} \ { text {Los exponentes deben ser iguales.}} & {3p = 1} \ { text {Resolver para p.}} & {p = frac {1} {3}} \ nonumber end {array} ]

 

Pero también sabemos (( sqrt [3] {8}) ^ 3 = 8 ). Entonces debe ser que (8 ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {8} )

 

Esta misma lógica se puede usar para cualquier exponente entero positivo n para mostrar que (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

 
 

Definición: EXPONENTE RACIONAL (a ^ { frac {1} {n}} )

 

Si ( sqrt [n] {a} ) es un número real y (n ge 2 ), (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {una}).

 
 

Habrá momentos en que trabajar con expresiones será más fácil si usa exponentes racionales y momentos en que será más fácil si usa radicales. En los primeros ejemplos, practicará la conversión de expresiones entre estas dos notaciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Escribe como una expresión radical:

 
         
  1. (x ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (y ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (z ^ { frac {1} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

Queremos escribir cada expresión en la forma ( sqrt [n] {a} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. (x ^ { frac {1} {2}} )
El denominador del exponente es 2, por lo que el índice del radical es 2. No mostramos el índice cuando es 2. ( sqrt {x} )
2. (y ^ { frac {1} {3}} )
El denominador del exponente es 3, por lo que el índice es 3. ( sqrt [3] {y} )
3. (z ^ frac {1} {4}} )
El denominador del exponente es 4, el índice es 4. ( sqrt [4] {z} )
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Escribe como una expresión radical:

 
         
  1. (t ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (m ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (r ^ { frac {1} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( sqrt {t} )
  2.          
  3. ( sqrt [3] {m} )
  4.          
  5. ( sqrt [4] {r} )
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Escribe como una expresión radical:

 
         
  1. (b ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (z ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (p ^ { frac {1} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( sqrt {b} )
  2.          
  3. ( sqrt [3] {z} )
  4.          
  5. ( sqrt [4] {p} )
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {x} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {y} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {z} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

Queremos escribir cada radical en la forma (a ^ { frac {1} {n}} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. ( sqrt {x} )
No se muestra ningún índice, por lo que es 2. El denominador del exponente será 2. (x ^ { frac {1} {2}} )
2. ( sqrt [3] {y} )
El índice es 3, por lo que el denominador del exponente es 3. (y ^ { frac {1} {3}} )
3. ( sqrt [4] {z} )
El índice es 4, por lo que el denominador del exponente es 4. (z ^ { frac {1} {4}} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {s} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {x} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {b} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (s ^ { frac {1} {2}} )
  2.          
  3. (x ^ { frac {1} {3}} )
  4.          
  5. (b ^ { frac {1} {4}}
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {v} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {p} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {p} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (v ^ { frac {1} {2}} )
  2.          
  3. (p ^ { frac {1} {3}} )
  4.          
  5. (p ^ { frac {1} {4}} )
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {5y} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {4x} )
  4.      
  5. (3 sqrt [4] {5z} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. ( sqrt {5y} )
No se muestra ningún índice, por lo que es 2. El denominador del exponente será 2. ((5 años) ^ { frac {1} {2}} )
2. ( sqrt [3] {4x} )
El índice es 3, por lo que el denominador del exponente es 3. ((4x) ^ { frac {1} {3}} )
3. (3 sqrt [4] {5z} )
El índice es 4, por lo que el denominador del exponente es 4. (3 (5z) ^ { frac {1} {4}} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {10m} )
  2.      
  3. ( sqrt [5] {3n} )
  4.      
  5. (3 sqrt [4] {6y} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ((10 ^ m) ^ { frac {1} {2}} )
  2.          
  3. ((3n) ^ { frac {1} {5}} )
  4.          
  5. ((486y) ^ { frac {1} {4}} )
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt [7] {3k} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {5j} )
  4.      
  5. ( sqrt [3] {82a} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ((3k) ^ { frac {1} {7}} )
  2.          
  3. ((5j) ^ { frac {1} {4}} )
  4.          
  5. ((1024a) ^ { frac {1} {3}} )
  6.      
     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, puede que le resulte más fácil simplificar las expresiones si las reescribe primero como radicales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (64 ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (256 ^ { frac {1} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
Reescribe como una raíz cuadrada. ( sqrt {25} )
Simplifica. 5
2. (64 ^ { frac {1} {3}} )
Reescribe como una raíz cúbica. ( sqrt [3] {64} )
Reconocer 64 es un cubo perfecto. ( sqrt [3] {4 ^ 3} )
Simplifica. 4
3. (256 ^ { frac {1} {4}} )
Reescribe como una cuarta raíz. ( sqrt [4] {256} )
Reconocer 256 es una cuarta potencia perfecta. ( sqrt [4] {4 ^ 4} )
Simplifica. 4
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (36 ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (8 ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (16 ^ { frac {1} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 6
  2.          
  3. 2
  4.          
  5. 2
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (100 ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (27 ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (81 ^ { frac {1} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 10
  2.          
  3. 3
  4.          
  5. 3
  6.      
     
 
 
 

Tenga cuidado con la colocación de los signos negativos en el siguiente ejemplo. Tendremos que usar la propiedad (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ) en un caso.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 64) ^ { frac {1} {3}} )
  2.      
  3. (- 64 ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. ((64) ^ {- frac {1} {3}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. ((- 64) ^ { frac {1} {3}} )
Reescribe como una raíz cúbica. ( sqrt [3] {- 64} )
Reescribe − 64 como un cubo perfecto. ( sqrt [3] {(- 4) ^ 3} )
Simplifica. −4
2. (- 64 ^ { frac {1} {3}} )
El exponente se aplica solo al 64. (- (64 ^ { frac {1} {3}}) )
Reescribe como una raíz cúbica. (- sqrt [3] {64} )
Reescribe 64 como (4 ^ 3 ). (- sqrt [3] {4 ^ 3} )
Simplifica. −4
3. ((64) ^ {- frac {1} {3}} )
                 

Reescribe como una fracción con un exponente positivo, usando la propiedad, (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ).

                 

Escribe como una raíz cúbica.

                 
( frac {1} { sqrt [3] {64}} )
Reescribe 64 como (4 ^ 3 ). ( frac {1} { sqrt [3] {4 ^ 3}} )
Simplifica. ( frac {1} {4} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 125) ^ { frac {1} {3}} )
  2.      
  3. (- 125 ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. ((125) ^ {- frac {1} {3}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. −5
  2.          
  3. −5
  4.          
  5. ( frac {1} {5} )
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 32) ^ { frac {1} {5}} )
  2.      
  3. (- 32 ^ { frac {1} {5}} )
  4.      
  5. ((32) ^ {- frac {1} {5}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. −2
  2.          
  3. −2
  4.          
  5. ( frac {1} {2} )
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
  2.      
  3. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
  4.      
  5. ((16) ^ {- frac {1} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
Reescribe como una cuarta raíz. ( sqrt [4] {- 16} )
No hay un número real cuya cuarta potencia sea −16.
2. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
El exponente se aplica solo a los 16. (- (16 ^ { frac {1} {4}}) )
Reescribe como una cuarta raíz. (- sqrt [4] {16} )
Reescribe 16 como (2 ^ 4 ) (- sqrt [4] {2 ^ 4} )
Simplifica. −2
3. ((16) ^ {- frac {1} {4}} )
                 

Reescribe como una fracción con un exponente positivo, usando la propiedad, (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ).

                 
( frac {1} {(16) ^ { frac {1} {4}}} )
Reescribe como una cuarta raíz. ( frac {1} { sqrt [4] {16}} )
Reescribe 16 como (2 ^ 4 ). ( frac {1} { sqrt [4] {2 ^ 4}} )
Simplifica. ( frac {1} {2} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 64) ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (- 64 ^ { frac {1} {2}} )
  4.      
  5. ((64) ^ {- frac {1} {2}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. −8
  2.          
  3. −8
  4.          
  5. ( frac {1} {8} )
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 256) ^ { frac {1} {4}} )
  2.      
  3. (- 256 ^ { frac {1} {4}} )
  4.      
  5. ((256) ^ {- frac {1} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. −4
  2.          
  3. −4
  4.          
  5. ( frac {1} {4} )
  6.      
     
 
 
 
 
 

Simplifique las expresiones con (a ^ { frac {m} {n}} )

 

Trabajemos un poco más con la propiedad de potencia para exponentes.

 

Supongamos que elevamos (a ^ { frac {1} {n}} ) a la potencia m.

 

[ begin {array} {ll} {} & {(a ^ { frac {1} {n}}) ^ m} \ { text {Multiplica los exponentes.}} & {A ^ { frac {1} {n} · m}} \ { text {Simplify.}} & {a ^ { frac {m} {n}}} \ { text {So} a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m text {también.}} & {} \ nonumber end {array} ]

 

Ahora supongamos que tomamos (a ^ m ) a la potencia ( frac {1} {n} ).

 

[ begin {array} {ll} {} & {(a ^ m) ^ { frac {1} {n}}} \ { text {Multiplica los exponentes.}} & {A ^ {m · frac {1} {n}}} \ { text {Simplify.}} & {a ^ { frac {m} {n}}} \ { text {So} a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} text {también.}} & {} \ nonumber end {array} ]

 

¿Qué forma utilizamos para simplificar una expresión? Por lo general, tomamos la raíz primero, de esa manera mantenemos los números en el radio y más pequeños.

 
 

Definición: EXPONENTE RACIONAL (a ^ { frac {m} {n}} )

 

Para cualquier número entero positivo m y n ,

 

(a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m )

 

(a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {y ^ 3} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {x ^ 2} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {z ^ 3} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

Queremos usar (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} ) para escribir cada radical en la forma (a ^ { frac {m }{norte}}).

     
             
  1. This figure says, “The numerator of the exponent is the exponent of y, 3.” It then shows the square root of y cubed. The figure then says, “The denominator of the exponent is the index of the radical, 2.” It then shows y to the 3/2 power.
  2.          
  3. This figure says, “The numerator of the exponent is the exponent of x, 2.” It then shows the cubed root of x squared. The figure then reads, “The denominator of the exponent is the index of the radical, 3.” It then shows y to the 2/3 power.
  4.          
  5. This figure reads, “The numerator of the exponent is the exponent of z, 3.” It then shows the fourth root of z cubed. The figure then reads, “The denominator of the exponent is the index of the radical, 4.” It then shows z to the 3/4 power.
  6.      
     
     
     
     
     
     
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {x ^ 5} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {z ^ 3} )
  4.      
  5. ( sqrt [5] {y ^ 2} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x ^ { frac {5} {2}} )
  2.          
  3. (z ^ { frac {3} {4}} )
  4.          
  5. (y ^ { frac {2} {5}} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt [5] {a ^ 2} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {b ^ 7} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {m ^ 5} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (a ^ { frac {2} {5}} )
  2.          
  3. (b ^ { frac {7} {3}} )
  4.          
  5. (m ^ { frac {5} {4}} )
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (9 ^ { frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (125 ^ { frac {2} {3}} )
  4.      
  5. (81 ^ { frac {3} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

Reescribiremos cada expresión como un radical usando primero la propiedad, (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m ). Esta forma nos permite tomar la raíz primero y así mantenemos los números en el radio y más pequeños que si usáramos la otra forma.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. (9 ^ { frac {3} {2}} )
El poder del radical es el numerador del exponente, 3. Como el denominador del exponente es 2, esta es una raíz cuadrada. (( sqrt {9}) ^ 3 )
Simplifica. (3 ^ 3 )
27
2. (125 ^ { frac {2} {3}} )
La potencia del radical es el numerador del exponente, 2. Dado que el denominador del exponente es 3, esta es una raíz cuadrada. (( sqrt [3] {125}) ^ 2 )
Simplifica. (5 ^ 2 )
25
3. (81 ^ { frac {3} {4}} )
La potencia del radical es el numerador del exponente, 2. Dado que el denominador del exponente es 3, esta es una raíz cuadrada. (( sqrt [4] {81}) ^ 3 )
Simplifica. (3 ^ 3 )
27
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (4 ^ { frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (27 ^ { frac {2} {3}} )
  4.      
  5. (625 ^ { frac {3} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 8
  2.          
  3. 9
  4.          
  5. 125
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (8 ^ { frac {5} {3}} )
  2.      
  3. (81 ^ { frac {3} {2}} )
  4.      
  5. (16 ^ { frac {3} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 32
  2.          
  3. 729
  4.          
  5. 8
  6.      
     
 
 
 

Recuerde que (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ) . El signo negativo en el exponente no cambia el signo de la expresión.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (32 ^ {- frac {2} {5}} )
  4.      
  5. (4 ^ {- frac {5} {2}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

Reescribiremos cada expresión primero usando (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ) y luego cambiaremos a forma radical.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
Reescribe usando (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {16 ^ { frac {3} {2}}} )
Cambiar a forma radical. La potencia del radical es el numerador del exponente, 3. El índice es el denominador del exponente, 2. ( frac {1} {( sqrt {16}) ^ 3} )
Simplifica. ( frac {1} {4 ^ 3} )
( frac {1} {64} )
2. (32 ^ {- frac {2} {5}} )
Reescribe usando (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {32 ^ { frac {2} {5}}} )
Cambiar a forma radical. ( frac {1} {( sqrt [5] {32}) ^ 2} )
Reescribe el radicando como una potencia. ( frac {1} {( sqrt [5] {2 ^ 5}) ^ 2} )
Simplifica. ( frac {1} {2 ^ 2} )
( frac {1} {4} )
3. (4 ^ {- frac {5} {2}} )
Reescribe usando (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {4 ^ { frac {5} {2}}} )
Cambiar a forma radical. ( frac {1} {( sqrt {4}) ^ 5} )
Simplifica. ( frac {1} {2 ^ 5} )
( frac {1} {32} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (8 ^ {- frac {5} {3}} ) 8
  2.      
  3. (81 ^ {- frac {3} {2}} )
  4.      
  5. (16 ^ {- frac {3} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( frac {1} {32} )
  2.          
  3. ( frac {1} {729} )
  4.          
  5. ( frac {1} {8} )
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (4 ^ {- frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (27 ^ {- frac {2} {3}} )
  4.      
  5. (625 ^ {- frac {3} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( frac {1} {8} )
  2.          
  3. ( frac {1} {9} )
  4.          
  5. ( frac {1} {125} )
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
  4.      
  5. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
Reescribe en forma radical. (- ( sqrt {25}) ^ 3 )
Simplifica el radical (- 5 ^ 3 )
Simplifica. −125
2. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
Reescribe usando (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). (- ( frac {1} {25 ^ { frac {3} {2}}}) )
Reescribe en forma radical. (- ( frac {1} {( sqrt {25}) ^ 3}) )
Simplifica el radical. (- ( frac {1} {5 ^ 3}) )
Simplifica. (- frac {1} {125} )
3. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} ).
Reescribe en forma radical. (( sqrt {−25}) ^ 3 )
No hay un número real cuya raíz cuadrada sea − 25. No es un número real.
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 16 ^ { frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (- 16 ^ {- frac {3} {2}} )
  4.      
  5. ((- 16) ^ {- frac {3} {2}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. −64
  2.          
  3. (- frac {1} {64} )
  4.          
  5. no es un número real
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 81 ^ { frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (- 81 ^ {- frac {3} {2}} )
  4.      
  5. ((- 81) ^ {- frac {3} {2}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. −729
  2.          
  3. (- frac {1} {729} )
  4.          
  5. no es un número real
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
   

Usa las leyes de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales

 

Las mismas leyes de exponentes que ya utilizamos también se aplican a exponentes racionales. Enumeraremos las Propiedades del exponente aquí para tenerlas como referencia a medida que simplificamos las expresiones.

 
 
 

RESUMEN DE LAS PROPIEDADES EXPONENTES

 

Si a, b son números reales ym, n son números racionales, entonces

 

[ begin {array} {ll} { textbf {Propiedad del producto}} & {a ^ m · a ^ n = a ^ {m + n}} \ { textbf {Power Property}} & {(a ^ m) ^ n = a ^ {m · n}} \ { textbf {Producto a potencia}} & {(ab) ^ m = a ^ {m} b ^ {m}} \ { textbf {Propiedad del cociente}} & { frac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n}, a ne 0, m> n} \ {} & { frac {a ^ m} {a ^ n} = frac {1} {a ^ {n − m}}, a ne 0, n> m} \ { textbf {Definición de exponente cero}} & {a ^ 0 = 1, a ne 0} \ { textbf {Cociente de una propiedad de potencia}} & {( frac {a} {b}) ^ m = frac {a ^ m} {b ^ m}, b ne 0} \ nonumber end {array} ]

 
 
 

Cuando multiplicamos la misma base, sumamos los exponentes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {31} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (2 ^ { frac {1} {2}} · 2 ^ { frac {5} {2}} )
  2.      
  3. (x ^ { frac {2} {3}} · x ^ { frac {4} {3}} )
  4.      
  5. (z ^ { frac {3} {4}} · z ^ { frac {5} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. (2 ^ { frac {1} {2}} · 2 ^ { frac {5} {2}} )
Las bases son las mismas, por lo que sumamos los exponentes. (2 ^ { frac {1} {2} + frac {5} {2}} )
Agrega las fracciones. (2 ^ { frac {6} {2}} )
Simplifica el exponente. (2 ^ 3 )
Simplifica. 8
2. (x ^ { frac {2} {3}} · x ^ { frac {4} {3}} )
Las bases son las mismas, por lo que sumamos los exponentes. (x ^ { frac {2} {3} + frac {4} {3}} )
Agrega las fracciones. (x ^ { frac {6} {3}} )
Simplifica. (x ^ 2 )
3. (z ^ { frac {3} {4}} · z ^ { frac {5} {4}} )
Las bases son las mismas, por lo que sumamos los exponentes. (z ^ { frac {3} {4} + frac {5} {4}} )
Agrega las fracciones. (z ^ { frac {8} {4}} )
Simplifica. (z ^ 2 )
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (3 ^ { frac {2} {3}} · 3 ^ { frac {4} {3}} )
  2.      
  3. (y ^ { frac {1} {3}} · y ^ { frac {8} {3}} )
  4.      
  5. (m ^ { frac {1} {4}} · m ^ { frac {3} {4}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 9
  2.          
  3. (y ^ 3 )
  4.          
  5. m
  6.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (5 ^ { frac {3} {5}} · 5 ^ { frac {7} {5}} )
  2.      
  3. (z ^ { frac {1} {8}} · z ^ { frac {7} {8}} )
  4.      
  5. (n ^ { frac {2} {7}} · n ^ { frac {5} {7}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 25
  2.          
  3. z
  4.          
  5. n
  6.      
     
 
 
 

Usaremos la propiedad de energía en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {34} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((x ^ 4) ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. ((y ^ 6) ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. ((z ^ 9) ^ { frac {2} {3}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. ((x ^ 4) ^ { frac {1} {2}} )
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. (x ^ {4 · frac {1} {2}} )
Simplifica. (x ^ 2 )
2. ((y ^ 6) ^ { frac {1} {3}} )
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. (y ^ {6 · frac {1} {3}} )
Simplifica. (y ^ 2 )
3. ((z ^ 9) ^ { frac {2} {3}} )
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. (z ^ {9 · frac {2} {3}} )
Simplifica. (z ^ 6 )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {35} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((p ^ {10}) ^ { frac {1} {5}} )
  2.      
  3. ((q ^ 8) ^ { frac {3} {4}} )
  4.      
  5. ((x ^ 6) ^ { frac {4} {3}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (p ^ )
  2.          
  3. (q ^ 6 )
  4.          
  5. (x ^ 8 )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {36} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((r ^ 6) ^ { frac {5} {3}} )
  2.      
  3. ((s ^ {12}) ^ { frac {3} {4}} )
  4.      
  5. ((m ^ 9) ^ { frac {2} {9}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (r ^ {10} )
  2.          
  3. (s ^ 9 )
  4.          
  5. (m ^ 2 )
  6.      
     
 
 
 

La propiedad del cociente nos dice que cuando dividimos con la misma base, restamos los exponentes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {37} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( frac {x ^ { frac {4} {3}}} {x ^ { frac {1} {3}}} )
  2.      
  3. ( frac {y ^ { frac {3} {4}}} {y ^ { frac {1} {4}}} )
  4.      
  5. ( frac {z ^ { frac {2} {3}}} {z ^ { frac {5} {3}}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. ( frac {x ^ { frac {4} {3}}} {x ^ { frac {1} {3}}} )
Para dividir con la misma base, restamos los exponentes. (x ^ { frac {4} {3} – frac {1} {3}} )
Simplifica. x
2. ( frac {y ^ { frac {3} {4}}} {y ^ { frac {1} {4}}} )
Para dividir con la misma base, restamos los exponentes. (y ^ { frac {3} {4} – frac {1} {4}} )
Simplifica. (y ^ { frac {1} {2}} )
3. ( frac {z ^ { frac {2} {3}}} {z ^ { frac {5} {3}}} )
Para dividir con la misma base, restamos los exponentes. (z ^ { frac {2} {3} – frac {5} {3}} )
Reescribe sin un exponente negativo. ( frac {1} {z} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {38} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( frac {u ^ { frac {5} {4}}} {u ^ { frac {1} {4}}} )
  2.      
  3. ( frac {v ^ { frac {3} {5}}} {v ^ { frac {2} {5}}} )
  4.      
  5. ( frac {x ^ { frac {2} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. u
  2.          
  3. (v ^ { frac {1} {5}} )
  4.          
  5. ( frac {1} {x} )
  6.      
     
 
 
   
 

Ejemplo ( PageIndex {39} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( frac {c ^ { frac {12} {5}}} {c ^ { frac {2} {5}}} )
  2.      
  3. ( frac {m ^ { frac {5} {4}}} {m ^ { frac {9} {4}}} )
  4.      
  5. ( frac {d ^ { frac {1} {5}}} {d ^ { frac {6} {5}}} ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (c ^ 2 )
  2.          
  3. ( frac {1} {m} )
  4.          
  5. ( frac {1} {d} )
  6.      
     
 
 
 

A veces necesitamos usar más de una propiedad. En los siguientes dos ejemplos, utilizaremos tanto el Producto como una Propiedad de energía y luego la Propiedad de energía.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {40} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((27u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
  2.      
  3. ((8v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} ).
  4.  
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
1. ((27u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
Primero usamos el Producto para una Propiedad de Energía. ((27) ^ { frac {2} {3}} (u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
Reescribe 27 como una potencia de 3. ((3 ^ 3) ^ { frac {2} {3}} (u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} ) [19459043 ]              
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. ((3 ^ 2) (u ^ { frac {1} {3}}) )
Simplifica. (9u ^ { frac {1} {3}} )
2. ((8v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} ).
Primero usamos el Producto para una Propiedad de Energía. ((8) ^ { frac {2} {3}} (v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} )
Reescribe 8 como una potencia de 2. ((2 ^ 3) ^ { frac {2} {3}} (v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} ) [19459043 ]              
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. ((2 ^ 2) (v ^ { frac {1} {6}}) )
Simplifica. (4v ^ { frac {1} {6}} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {41} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (32x ^ { frac {1} {3}}) ^ { frac {3} {5}} )
  2.      
  3. ((64y^{frac{2}{3}})^{frac{1}{3}}).
  4.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (8x^{frac{1}{5}})
  2.          
  3. (4y^{frac{2}{9}})
  4.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Example (PageIndex{42})

 

Simplify:

 
         
  1. ((16m^{frac{1}{3}})^{frac{3}{2}})
  2.      
  3. ((81n^{frac{2}{5}})^{frac{3}{2}}).
  4.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (64m^{frac{1}{2}})
  2.          
  3. (729n^{frac{3}{5}})
  4.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Example (PageIndex{43})

 

Simplify:

 
         
  1. ((m^{3}n^{9})^{frac{1}{3}})
  2.      
  3. ((p^{4}q^{8})^{frac{1}{4}}).
  4.  
 
     
Answer
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. ((m^{3}n^{9})^{frac{1}{3}})
First we use the Product to a Power Property. ((m^{3})^{frac{1}{3}}(n^{9})^{frac{1}{3}})
To raise a power to a power, we multiply the exponents. (mn^3)
2. ((p^{4}q^{8})^{frac{1}{4}})
First we use the Product to a Power Property. ((p^{4})^{frac{1}{4}}(q^{8})^{frac{1}{4}})
To raise a power to a power, we multiply the exponents. (pq^2)
     
 
 
 

We will use both the Product and Quotient Properties in the next example.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {44} )

 

Simplify:

 
         
  1. (frac{x^{frac{3}{4}}·x^{−frac{1}{4}}}{x^{−frac{6}{4}}})
  2.      
  3. (frac{y^{frac{4}{3}}·y}{y^{−frac{2}{3}}}).
  4.  
 
     
Answer
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
1. (frac{x^{frac{3}{4}}·x^{−frac{1}{4}}}{x^{−frac{6}{4}}})
Use the Product Property in the numerator, add the exponents. (frac{x^{frac{2}{4}}}{x^{−frac{6}{4}}})
Use the Quotient Property, subtract the exponents. (x^{frac{8}{4}})
Simplifica. (x^2)
2. (frac{y^{frac{4}{3}}·y}{y^{−frac{2}{3}}})
Use the Product Property in the numerator, add the exponents. (frac{y^{frac{7}{3}}}{y^{−frac{2}{3}}})
Use the Quotient Property, subtract the exponents. (y^{frac{9}{3}})
Simplifica. (y^3)
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Example (PageIndex{45})

 

Simplify:

 
         
  1. (frac{m^{frac{2}{3}}·m^{−frac{1}{3}}}{m^{−frac{5}{3}}})
  2.      
  3. (frac{n^{frac{1}{6}}·n}{n^{−frac{11}{6}}}).
  4.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (m^2)
  2.          
  3. (n^3)
  4.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Example (PageIndex{46})

 

Simplify:

 
         
  1. (frac{u^{frac{4}{5}}·u^{−frac{2}{5}}}{u^{−frac{13}{5}}})
  2.      
  3. (frac{v^{frac{1}{2}}·v}{v^{−frac{7}{2}}}).
  4.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (u^3)
  2.          
  3. (v^5)
  4.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Key Concepts

 
         
  • Summary of Exponent Properties
  •      
  • If a,b are real numbers and m,n are rational numbers, then      
               
    • Product Property (a^m·a^n=a^{m+n})
    •          
    • Power Property ((a^m)^n=a^{m·n})
    •          
    • Product to a Power ((ab)^m=a^{m}b^{m})
    •          
    • Quotient Property :          

      (frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a ne 0, m>n)

               

      (frac{a^m}{a^n}=frac{1}{a^{n−m}}, a ne 0, n>m)

               
    •          
    • Zero Exponent Definition (a^0=1, a ne 0)
    •          
    • Quotient to a Power Property ((frac{a}{b})^m=frac{a^m}{b^m}, b ne 0)
    •      
         
  •  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
rational exponents
     
     
             
  • If (sqrt[n]{a}) is a real number and (n ge 2), (a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a})
  •          
  • For any positive integers m and n , (a^{frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^m) and (a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m})
  •      
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                  
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