9.8: Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones

9.8: Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Graficar funciones cuadráticas de la forma (f (x) = x ^ {2} + k )
  •      
  • Graficar funciones cuadráticas de la forma (f (x) = (x − h) ^ {2} )
  •      
  • Graficar funciones cuadráticas de la forma (f (x) = ax ^ {2} )
  •      
  • Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones
  •      
  • Encuentra una función cuadrática de su gráfico
  •  
 
 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Representa gráficamente la función (f (x) = x ^ {2} ) al trazar puntos.
    Si se perdió este problema, revise el Ejemplo 3.54.
  2.      
  3. Factoriza completamente: (y ^ {2} −14y + 49 ).
    Si se perdió este problema, revise el Ejemplo 6.24.
  4.      
  5. Factoriza completamente: (2x ^ {2} −16x + 32 ).
    Si se perdió este problema, revise el Ejemplo 6.26.
  6.  
 

Graficar funciones cuadráticas de la forma (f (x) = x ^ {2} + k )

 

En la última sección, aprendimos a graficar funciones cuadráticas usando sus propiedades. Otro método implica comenzar con el gráfico básico de (f (x) = x ^ {2} ) y «moverlo» según la información dada en la ecuación de la función. Llamamos a esto funciones cuadráticas gráficas usando transformaciones.

 

En el primer ejemplo, graficaremos la función cuadrática (f (x) = x ^ {2} ) al trazar puntos. Luego veremos qué efecto tendrá agregar una constante, (k ), a la ecuación en la gráfica de la nueva función (f (x) = x ^ {2} + k ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Gráfico (f (x) = x ^ {2} ), (g (x) = x ^ {2} +2 ) y (h (x) = x ^ {2} – 2 ) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Describa qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.

 

Solución :

 

Los puntos de trazado nos ayudarán a ver el efecto de las constantes en el gráfico básico (f (x) = x ^ {2} ). Completamos el cuadro para las tres funciones.

 
A table depicting the effect of constants on the basic function of x squared. The table has seven columns labeled x, f of x equals x squared, the ordered pair (x, f of x), g of x equals x squared plus 2, the ordered pair (x, g of x), h of x equals x squared minus 2, and the ordered pair (x, h of x). In the x column, the values given are negative 3, negative 2, negative 1, 0, 1, 2, and 3. In the f of x equals x squared column, the values are 9, 4, 1, 0, 1, 4, and 9. In the (x, f of x) column, the ordered pairs (negative 3, 9), (negative 2, 4), (negative 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), and (3, 9) are given. The g of x equals x squared plus 2 column contains the expressions 9 plus 2, 4 plus 2, 1 plus 2, 0 plus 2, 1 plus 2, 4 plus 2, and 9 plus 2. The (x, g of x) column has the ordered pairs of (negative 3, 11), (negative 2, 6), (negative 1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6), and (3, 11). In the h of x equals x squared minus 2 column, the expressions given are 9 minus 2, 4 minus 2, 1 minus 2, 0 minus 2, 1 minus 2, 4 minus 2, and 9 minus 2. In last column, (x, h of x), contains the ordered pairs (negative 3, 7), (negative 2, 2), (negative 1, negative 1), (0, negative 2), (1, negative 1), (2, 2), and (3, 7).  
Figura 9.7.1
 
 

Los valores (g (x) ) son dos más que los valores (f (x) ). Además, los valores de (h (x) ) son dos menos que los valores de (f (x) ). Ahora graficaremos las tres funciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

 
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The middle is the graph of f of x equals x squared has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The top parabola has been moved up 2 units, and the bottom has been moved down 2 units.  
Figura 9.7.2
 
 

La gráfica de (g (x) = x ^ {2} +2 ) es la misma que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) pero desplazada hacia arriba (2 ) unidades.

 

La gráfica de (h (x) = x ^ {2} −2 ) es la misma que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) pero desplazada hacia abajo (2 ) unidades.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 
         
  1. Gráfico (f (x) = x ^ {2}, g (x) = x ^ {2} +1, ) y (h (x) = x ^ {2} -1 ) en El mismo sistema de coordenadas rectangulares.
  2.      
  3. Describe qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

a.

     
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The middle graph is of f of x equals x squared has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The top curve has been moved up 1 unit, and the bottom has been moved down 1 unit.      
Figura 9.7.3
     
     

b. La gráfica de (g (x) = x ^ {2} +1 ) es la misma que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) pero desplazada hacia arriba (1 ) unidad. La gráfica de (h (x) = x ^ {2} −1 ) es la misma que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) pero desplazada hacia abajo (1 ) unidad.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 
         
  1. Gráfico (f (x) = x ^ {2}, g (x) = x ^ {2} +6, ) y (h (x) = x ^ {2} -6 ) en El mismo sistema de coordenadas rectangulares.
  2.      
  3. Describe qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

a.

     
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The middle curve is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The top curve has been moved up 6 units, and the bottom has been moved down 6 units.      
Figura 9.7.4
     
     

b. La gráfica de (h (x) = x ^ {2} +6 ) es la misma que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) pero desplazada hacia arriba (6 ) unidades. La gráfica de (h (x) = x ^ {2} -6 ) es la misma que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) pero desplazada hacia abajo (6 ) unidades.

     
 
 
 

El último ejemplo nos muestra que para graficar una función cuadrática de la forma (f (x) = x ^ {2} + k ), tomamos la gráfica de parábola básica de (f (x) = x ^ {2} ) y verticalmente desplazarlo hacia arriba ((k> 0) ) o desplazarlo hacia abajo ((k <0) ).

 

Esta transformación se denomina desplazamiento vertical.

 

Representa gráficamente una función cuadrática de la forma (f (x) = x ^ {2} + k ) usando un desplazamiento vertical

 

La gráfica de (f (x) = x ^ {2} + k ) desplaza la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) verticalmente (k ) [ 19459044] unidades.

 
         
  • Si (k> 0 ), desplaza la parábola verticalmente hacia arriba (k ) unidades.
  •      
  • Si (k <0 ), desplaza la parábola verticalmente hacia abajo (| k | ) unidades.
  •  
 

Ahora que hemos visto el efecto de la constante, (k ), es fácil graficar funciones de la forma (f (x) = x ^ {2} + k ). Simplemente comenzamos con la parábola básica de (f (x) = x ^ {2} ) y luego la desplazamos hacia arriba o hacia abajo.

 

Puede ser útil practicar esbozar (f (x) = x ^ {2} ) rápidamente. Conocemos los valores y podemos dibujar el gráfico desde allí.

 
This figure shows an upward-opening parabola on the x y-coordinate plane, with vertex (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 4, 16), (negative 3, 9), (negative 2, 4), (negative 1, 1), (1, 1), (2, 4), (3, 9), and (4, 16).  
Figura 9.7.5
 
 

Una vez que conocemos esta parábola, será fácil aplicar las transformaciones. El siguiente ejemplo requerirá un desplazamiento vertical.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} −3 ) usando un desplazamiento vertical.

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                              
Primero dibujamos la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) en la cuadrícula. This figure shows an upward-opening parabola on the x y-coordinate plane with a vertex of (0, 0) with other points on the curve located at (negative 1, 1) and (1, 1). It is the graph of f of x equals x squared.
Determine (k ). .
.
Desplaza el gráfico (f (x) = x ^ {2} ) hacia abajo (3 ). This figure shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The top curve is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The bottom curve has been moved down 3 units.
 

Tabla 9.7.1

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} −5 ) usando un desplazamiento vertical.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The top curve is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The bottom curve has been moved down 5 units.      
Figura 9.7.10
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} +7 ) usando un desplazamiento vertical.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The bottom curve is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The top curve has been moved up 7 units.      
Figura 9.7.11
     
     
 
 
 

Graficar funciones cuadráticas de la forma (f (x) = (x-h) ^ {2} )

 

En el primer ejemplo, graficamos la función cuadrática (f (x) = x ^ {2} ) trazando puntos y luego vimos el efecto de agregar una constante (k ) a la función que tenía en el gráfico resultante de la nueva función (f (x) = x ^ {2} + k ).

 

Ahora exploraremos el efecto de restar una constante, (h ), de (x ) tiene en el gráfico resultante de la nueva función (f (x) = (x − h) ^ {2 } ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Gráfico (f (x) = x ^ {2}, g (x) = (x-1) ^ {2}, ) y (h (x) = (x + 1) ^ {2 } ) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Describa qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.

 

Solución :

 

Los puntos de trazado nos ayudarán a ver el efecto de las constantes en el gráfico básico (f (x) = x ^ {2} ). Completamos el cuadro para las tres funciones.

 
A table depicting the effect of constants on the basic function of x squared. The table has seven columns labeled x, f of x equals x squared, the ordered pair (x, f of x), g of x equals the quantity of x minus 1 squared, the ordered pair (x, g of x), h of x equals the quantity of x plus 1 squared, and the ordered pair (x, h of x). In the x column, the values given are negative 3, negative 2, negative 1, 0, 1, 2, and 3. In the f of x equals x squared column, the values are 9, 4, 1, 0, 1, 4, and 9. In the (x, f of x) column, the ordered pairs (negative 3, 9), (negative 2, 4), (negative 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), and (3, 9) are given. The g of x equals the quantity of x minus 1 squared column contains the values of 16, 9, 4, 1, 0, 1, and 4. The (x, g of x) column has the ordered pairs of (negative 3, 1), (negative 2, 9), (negative 1, 4), (0, 1), (1, 0), (2, 1), and (3, 4). In the h of x equals the quantity of x plus 1 squared, the values given are 4, 1, 0, 1, 4, 9, and 16. In last column, (x, h of x), contains the ordered pairs (negative 3, 4), (negative 2, 1), (negative 1, 0), (0, 4), (1, negative 1), (2, 9), and (3, 16).  
Figura 9.7.12
 
 

Los valores (g (x) ) y los valores (h (x) ) comparten los números comunes (0, 1, 4, 9 ) y (16 ), pero se desplazan .

 
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The middle curve is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The left curve has been moved to the left 1 unit, and the right curve has been moved to the right 1 unit.  
Figura 9.7.13
 
 
The figure says on the first line that the graph of g of x equals the quantity x minus 1 square is the same as the graph of f of x equals x squared but shifted right 1 unit. The second line states that the graph of h of x equals the quantity x plus 1 squared is the same as the graph of f of x equals x squared but shifted left 1 unit. The third line of the figure says g of x equals the quantity x minus 1 squared with an arrow underneath it pointing to the right with 1 unit written beside it. Finally, it gives h of x equals the quantity of x plus 1 squared with an arrow underneath it pointing to the left with 1 unit written beside it.  
Figura 9.7.14
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 
         
  1. Gráfico (f (x) = x ^ {2}, g (x) = (x + 2) ^ {2}, ) y (h (x) = (x-2) ^ {2 } ) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
  2.      
  3. Describe qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

a.

     
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The middle curve is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The left curve has been moved to the left 2 units, and the right curve has been moved to the right 2 units.      
Figura 9.7.15
     
     

b. La gráfica de (g (x) = (x + 2) ^ {2} ) es la misma que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) pero desplazada a la izquierda (2 ) unidades. La gráfica de (h (x) = (x − 2) ^ {2} ) es la misma que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) pero desplaza a la derecha (2 ) unidades.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 
         
  1. Gráfico (f (x) = x ^ {2}, g (x) = x ^ {2} +5, ) y (h (x) = x ^ {2} -5 ) en El mismo sistema de coordenadas rectangulares.
  2.      
  3. Describe qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

a.

     
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The middle curve is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The left curve has been moved to the left 5 units, and the right curve has been moved to the right 5 units.      
Figura 9.7.16
     
     

b. La gráfica de (g (x) = (x + 5) ^ {2} ) es la misma que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) pero desplazada a la izquierda (5 ) unidades. La gráfica de (h (x) = (x-5) ^ {2} ) es la misma que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) pero desplazada a la derecha (5 ) unidades.

     
 
 
 

El último ejemplo nos muestra que para graficar una función cuadrática de la forma (f (x) = (x − h) ^ {2} ), tomamos la gráfica de parábola básica de (f (x) = x ^ {2} ) y desplace hacia la izquierda ((h> 0) ) o desplace hacia la derecha ((h <0) ).

 

Esta transformación se llama desplazamiento horizontal .

 

Representa gráficamente una función cuadrática de la forma (f (x) = (x-h) ^ {2} ) usando un desplazamiento horizontal

 

La gráfica de (f (x) = (x-h) ^ {2} ) desplaza la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) horizontalmente (h ) unidades.

 
         
  • Si (h> 0 ), desplaza la parábola horizontalmente hacia la izquierda (h ) unidades.
  •      
  • Si (h <0 ), desplaza la parábola horizontalmente a la derecha (| h | ) unidades.
  •  
 

Ahora que hemos visto el efecto de la constante, (h ), es fácil graficar funciones de la forma (f (x) = (x − h) ^ {2} ). Simplemente comenzamos con la parábola básica de (f (x) = x ^ {2} ) y luego la desplazamos hacia la izquierda o hacia la derecha.

 

El siguiente ejemplo requerirá un desplazamiento horizontal.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Representa gráficamente (f (x) = (x − 6) ^ {2} ) usando un desplazamiento horizontal.

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                              
Primero dibujamos la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) en la cuadrícula. .
Determine (h ). .
.
Desplaza el gráfico (f (x) = x ^ {2} ) a la derecha (6 ) unidades. .
 

Tabla 9.7.2

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Representa gráficamente (f (x) = (x − 4) ^ {2} ) usando un desplazamiento horizontal.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The left curve is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The right curve has been moved right 4 units.      
Figura 9.7.21
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Representa gráficamente (f (x) = (x + 6) ^ {2} ) usando un desplazamiento horizontal.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The right curve is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The left curve has been moved to the left 6 units.      
Figura 9.7.22
     
     
 
 
 

Ahora que conocemos el efecto de las constantes (h ) y (k ), graficaremos una función cuadrática de la forma (f (x) = (xh) ^ {2} + k ) dibujando primero la parábola básica y luego haciendo un desplazamiento horizontal seguido de un desplazamiento vertical. Podríamos hacer el desplazamiento vertical seguido del desplazamiento horizontal, pero la mayoría de los estudiantes prefieren el desplazamiento horizontal seguido del vertical.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Graficar (f (x) = (x + 1) ^ {2} -2 ) usando transformaciones.

 

Solución :

 

Esta función implicará dos transformaciones y necesitamos un plan.

 

Primero identifiquemos las constantes (h, k ).

 
F of x equals the quantity x plush 1 squared minus 2 is given on the top line with f of x equals the quanitity x minus h squared minis k on the second line. The given equation was changed to f of x equals the quantity of x minus negative 1 squared plush negative 2 on the third line. The final line says h equals negative 1 and k equals negative 2.  
Figura 9.7.23
 
 

La constante (h ) nos da un desplazamiento horizontal y la (k ) nos da un desplazamiento vertical.

 
F of x equals x squared is given with an arrow coming from it pointing to f of x equals the quantity x plus 1 squared with an arrow coming from it pointing to f of x equals the quantity x plus 1 squared minus 2. The next lines say h equals negative 1 which means shift left 1 unit and k equals negative 2 which means shift down 2 units.  
Figura 9.7.24
 
 

Primero dibujamos la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) en la cuadrícula.

 
The figure says on the first line that the graph of f of x equals the quantity x plus 1 squared is the same as the graph of f of x equals x squared but shifted left 1 unit. The second line states that the graph of f of x equals the quantity x plus 1 squared minus 2 is the same as the graph of f of x equals the quantity x plus 1 squared but shifted down 2 units.  
Figura 9.7.25
 
 
The first graph shows 1 upward-opening parabola on the x y-coordinate plane. It is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). By shifting that graph of f of x equals x squared left 1, we move to the next graph, which shows the original f of x equals x squared and then another curve moved left one unit to produce f of x equals the quantity of x plus 1 squared. By moving f of x equals the quantity of x plus 1 squared down 1, we move to the final graph, which shows the original f of x equals x squared and the f of x equals the quantity of x plus 1, then another curve moved down 1 to produce f of x equals the quantity of x plus 1 squared minus 2.  
Figura 9.7.26
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Representa gráficamente (f (x) = (x + 2) ^ {2} -3 ) usando transformaciones.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. One is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). Then, the original function is moved 2 units to the left to produce f of x equals the quantity of x plus 2 squared. The final curve is produced by moving down 3 units to produce f of x equals the quantity of x plus 2 squared minus 3.      
Figura 9.7.27
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Grafica (f (x) = (x-3) ^ {2} +1 ) usando transformaciones.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. One is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). Then, the original function is moved 3 units to the right to produce f of x equals the quantity of x minus 3 squared. The final curve is produced by moving up 1 unit to produce f of x equals the quantity of x minus 3squared plus 1.      
Figura 9.7.28
     
     
 
 
 

Graficar funciones cuadráticas de la forma (f (x) = ax ^ {2} )

 

Hasta ahora graficamos la función cuadrática (f (x) = x ^ {2} ) y luego vimos el efecto de incluir una constante (h ) o (k ) en la ecuación que tenía gráfico resultante de la nueva función. Ahora exploraremos el efecto del coeficiente (a ) en la gráfica resultante de la nueva función (f (x) = ax ^ {2} ).

 
A table depicting the effect of constants on the basic function of x squared. The table has seven columns labeled x, f of x equals x squared, the ordered pair (x, f of x), g of x equals 2 times x squared, the ordered pair (x, g of x), h of x equals one-half times x squared, and the ordered pair (x, h of x). In the x column, the values given are negative 2, negative 1, 0, 1, and 2. In the f of x equals x squared column, the values are 4, 1, 0, 1, and 4. In the (x, f of x) column, the ordered pairs (negative 2, 4), (negative 1, 1), (0, 0), (1, 1), and (2, 4) are given. The g of x equals 2 times x squared column contains the expressions 2 times 4, 2 times 1, 2 times 0, 2 times 1, and 2 times 4. The (x, g of x) column has the ordered pairs of (negative 2, 8), (negative 1, 2), (0, 0), (1, 2), and (2,8). In the h of x equals one-half times x squared, the expressions given are one-half times 4, one-half times 1, one-half times 0, one-half times 1, and one-half times 4. In last column, (x, h of x), contains the ordered pairs (negative 2, 2), (negative 1, one-half), (0, 0), (1, one-half), and (2, 2).  
Figura 9.7.29
 
 

Si graficamos estas funciones, podemos ver el efecto de la constante (a ), suponiendo (a> 0 ).

 
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. One is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The slimmer curve of g of x equals 2 times x square has a vertex at (0,0) and other points of (negative 1, one-half) and (1, one-half). The wider curve, h of x equals one-half x squared, has a vertex at (0,0) and other points of (negative 2, 2) and (2,2).  
Figura 9.7.30
 
 

Para graficar una función con constante (a ) es más fácil elegir algunos puntos en (f (x) = x ^ {2} ) y multiplicar los valores de (y ) por ( una).

 

Gráfico de una función cuadrática de la forma (f (x) = ax ^ {2} )

 

El coeficiente (a ) en la función (f (x) = ax ^ {2} ) afecta la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) al estirarlo o comprimirlo .

 
         
  • Si (0 <| a | <1 ), la gráfica de (f (x) = ax ^ {2} ) será "más ancha" que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ).
  •      
  • Si (| a |> 1 ), la gráfica de (f (x) = ax ^ {2} ) será «más delgada» que la gráfica de (f (x) = x ^ { 2} ).
  •  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Gráfico (f (x) = 3x ^ {2} ).

 

Solución :

   

Representaremos gráficamente las funciones (f (x) = x ^ {2} ) y (g (x) = 3x ^ {2} ) en la misma cuadrícula. Elegiremos algunos puntos en (f (x) = x ^ {2} ) y luego multiplicaremos los valores de (y ) por (3 ) para obtener los puntos para (g (x) = 3x ^ {2} ).

 
The table depicts the effect of constants on the basic function of x squared. The table has 3 columns labeled x, f of x equals x squared with the ordered pair (x, f of x), and g of x equals 3 times x squared with the ordered pair (x, g of x). In the x column, the values given are negative 2, negative 1, 0, 1, and 2. In the f of x equals x squared with the ordered pair (x, f of x), the ordered pairs (negative 2, 4), (negative 1, 1), (0, 0), (1, 1), and (2, 4) are given. The g of x equals 3 times x squared with the ordered pair (x, g of x) column has the ordered pairs of (negative 2, 12) because 3 times 4 equals 12, (negative 1, 3) because 3 times 1 equals 3, (0, 0) because 3 times 0 equals 0, (1, 3) because 3 times 1 equals 3, and (2,12) because 3 times 4 equals 12. The graph beside the table shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. One is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points given on the curve are located at (negative 2, 4) (negative 1, 1), (1, 1), and (2,4). The slimmer curve of g of x equals 3 times x squared has a vertex at (0,0) and other points given of (negative 2, 12), (negative 1, 3), (1, 3), and (2,12).  
Figura 9.7.31
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Gráfico (f (x) = – 3x ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     
The graph shows the upward-opening parabola on the x y-coordinate plane of f of x equals x squared that has a vertex of (0, 0). Other points given on the curve are located at (negative 2, 4) (negative 1, 1), (1, 1), and (2,4). Also shown is a downward-opening parabola of f of x equals negative 3 times x squared. It has a vertex of (0,0) with other points at (negative 1, negative 3) and (1, negative 3)      
Figura 9.7.32
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Gráfico (f (x) = 2x ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. One is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The slimmer curve of f of x equals 2 times x square has a vertex at (0,0) and other points of (negative 1, one-half) and (1, one-half).      
Figura 9.7.33
     
     
 
 
 

Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones

 

Hemos aprendido cómo las constantes (a, h ) y (k ) en las funciones, (f (x) = x ^ {2} + k, f (x) = (x− h) ^ {2} ), y (f (x) = ax ^ {2} ) afectan sus gráficos. Ahora podemos juntar esto y graficar funciones cuadráticas (f (x) = ax ^ {2} + bx + c ) poniéndolas primero en la forma (f (x) = a (x − h) ^ { 2} + k ) completando el cuadrado. Esta forma a veces se conoce como forma de vértice o forma estándar.

 

Debemos tener cuidado de sumar y restar el número al MISMO lado de la función para completar el cuadrado. No podemos sumar el número a ambos lados como lo hicimos cuando completamos el cuadrado con ecuaciones cuadráticas.

 
This figure shows the difference when completing the square with a quadratic equation and a quadratic function. For the quadratic equation, start with x squared plus 8 times x plus 6 equals zero. Subtract 6 from both sides to get x squared plus 8 times x equals negative 6 while leaving space to complete the square. Then, complete the square by adding 16 to both sides to get x squared plush 8 times x plush 16 equals negative 6 plush 16. Factor to get the quantity x plus 4 squared equals 10. For the quadratic function, start with f of x equals x squared plus 8 times x plus 6. The second line shows to leave space between the 8 times x and the 6 in order to complete the square. Complete the square by adding 16 and subtracting 16 on the same side to get f of x equals x squared plus 8 times x plush 16 plus 6 minus 16. Factor to get f of x equals the quantity of x plush 4 squared minus 10.  
Figura 9.7.34
 
 

Cuando completamos el cuadrado en una función con un coeficiente de (x ^ {2} ) que no es uno, tenemos que factorizar ese coeficiente solo de los términos (x ). No lo factorizamos a partir del término constante. A menudo es útil mover el término constante un poco hacia la derecha para que sea más fácil enfocarse solo en los términos (x ).

 

Una vez que obtenemos la constante que queremos completar el cuadrado, debemos recordar multiplicarlo por ese coeficiente antes de restarlo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Reescribe (f (x) = – 3x ^ {2} −6x − 1 ) en la forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) completando el cuadrado.

 

Solución :

 

Tabla 9.7.3

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Reescribe (f (x) = – 4x ^ {2} −8x + 1 ) en la forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = – 4 (x + 1) ^ {2} +5 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Reescribe (f (x) = 2x ^ {2} −8x + 3 ) en la forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) completando el cuadrado .

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = 2 (x-2) ^ {2} -5 )

     
 
 
 

Una vez que colocamos la función en la forma (f (x) = (x − h) ^ {2} + k ), podemos usar las transformaciones como lo hicimos en los últimos problemas. El siguiente ejemplo nos mostrará cómo hacer esto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} + 6x + 5 ) usando transformaciones.

 

Solución :

 

Paso 1 : Reescribe la función en forma de vértice (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k ) completando el cuadrado.

 

Tabla 9.7.4

 

Paso 2 : Grafica la función usando transformaciones.

 

Al observar los valores de (h, k ), vemos que el gráfico tomará el gráfico de (f (x) = x ^ {2} ) y lo desplazará a la izquierda (3 ) unidades y abajo (4 ) unidades.

 
F of x equals x squared is given with an arrow coming from it pointing to f of x equals the quantity x plus 3 squared with an arrow coming from it pointing to f of x equals the quantity x plus 3 squared minus 4. The next lines say h equals negative 3 which means shift left 3 unit and k equals negative 4 which means shift down 4 units  
Figura 9.7.47
 
 

Primero dibujamos la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) en la cuadrícula.

 
To graph f of x equals the quantity x plus 3 squared, shift the graph of f of x equals x squares to the left 3 units. To graph f of x equals the quantity x plus 3 squared minus 4, shift the graph the quantity x plus 3 squared down 4 units.  
Figura 9.7.48
 
 
The first graph shows 1 upward-opening parabola on the x y-coordinate plane. It is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). By shifting that graph of f of x equals x squared left 3, we move to the next graph, which shows the original f of x equals x squared and then another curve moved left 3 units to produce f of x equals the quantity of x plus 3 squared. By moving f of x equals the quantity of x plus 3 squared down 2, we move to the final graph, which shows the original f of x equals x squared and the f of x equals the quantity of x plus 3 squared, then another curve moved down 4 to produce f of x equals the quantity of x plus 1 squared minus 4.  
Figura 9.7.49
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} + 2x-3 ) usando transformaciones.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. One is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The curve to the left has been moved 1 unit to the left to produce f of x equals the quantity of x plus 1 squared. The third graph has been moved down 4 units to produce f of x equals the quantity of x plus 1 squared minus 4.      
Figura 9.7.50
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Grafica (f (x) = x ^ {2} -8x + 12 ) usando transformaciones.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows 3 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. One is the graph of f of x equals x squared and has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The curve to the right has been moved 4 units to the right to produce f of x equals the quantity of x minus 4 squared. The third graph has been moved down 4 units to produce f of x equals the quantity of x minus 4 squared minus 4.      
Figura 9.7.51
     
     
 
 
 

Aquí enumeramos los pasos para tomar una gráfica de una función cuadrática usando transformaciones.

 

Graficar una función cuadrática usando transformaciones

 
         
  1. Reescribe la función en forma (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k ) completando el cuadrado.
  2.      
  3. Representa gráficamente la función usando transformaciones.
  4.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Graficar (f (x) = – 2x ^ {2} -4x + 2 ) usando transformaciones.

 

Solución :

 

Paso 1 : Reescribe la función en forma de vértice (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k ) completando el cuadrado.

 

Tabla 9.7.5

 

Paso 2 : Grafica la función usando transformaciones.

 
F of x equals x squared is given with an arrow coming from it pointing to f of x equals negative 2 times x squared with an arrow coming from it pointing to f of x equals negative 2 times the quantity x plus 1 squared. An arrow come from it to point to f of x equals negative 2 times the quantity x plus 1 squared plus 4. The next line says a equals negative 2 which means multiply the y-values by negative 2, then h equals negative 1 which means shift left 1 unit and k equals 4 which means shift up 4 units  
Figura 9.7.58
 
 

Primero dibujamos la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) en la cuadrícula.

 
To graph f of x equals negative 2 times x squared, multiply the y-values in parabola of f of x equals x squared by negative 2. To graph f of x equals negative 2 times the quantity x plus 1 squared, shift the graph of f of x equals negative 2 times x squared to the left 1 unit. To graph f of x equals negative 2 times the quantity x plus 1 squared plus 4, shift the graph of f of x equals negative 2 times the quantity x plus 1 squared up 4 units.  
Figura 9.7.59
 
 
The first graph shows 1 upward-opening parabola on the x y-coordinate plane. It is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). By multiplying by negative 2, move to the next graph showing the original f of x equals x squared and the new slimmer and flipped graph of f of x equals negative 2 x squared. By shifting that graph of f of x equals negative 2 times x squared left 1, we move to the next graph, which shows the original f of x equals x squared, f of x equals negative 2 x squared, and then another curve moved left 1 unit to produce f of x equals negative 2 times the quantity of x plus 1 squared. By moving f of x equals negative 2 times the quantity of x plus 1 squared up 4, we move to the final graph, which shows the original f of x equals x squared, f of x equals negative 2 x squared, and the f of x equals negative 2 times the quantity of x plus 1 squared, then another curve moved up 4 to produce f of x equals negative 2 times the quantity of x plus 1 squared plus 4.  
Figura 9.7.60
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Grafica (f (x) = – 3x ^ {2} + 12x-4 ) usando transformaciones.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a downward-opening parabola on the x y-coordinate plane with a vertex of (2,8) and other points of (1,5) and (3,5).      
Figura 9.7.61
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Grafica (f (x) = – 2x ^ {2} + 12x − 9 ) usando transformaciones.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a downward-opening parabola on the x y-coordinate plane with a vertex of (3, 9) and other points of (1, 1) and (5, 1).      
Figura 9.7.62
     
     
 
 
 

Ahora que hemos completado el cuadrado para poner una función cuadrática en forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ), también podemos usar esta técnica para graficar la función usando sus propiedades como en la sección anterior.

 

Si miramos hacia atrás en los últimos ejemplos, vemos que el vértice está relacionado con las constantes (h ) y (k ).

 
The first graph shows an upward-opening parabola on the x y-coordinate plane with a vertex of (negative 3, negative 4) with other points of (0, negative 5) and (0, negative 1). Underneath the graph, it shows the standard form of a parabola, f of x equals the quantity x minus h squared plus k, with the equation of the parabola f of x equals the quantity of x plus 3 squared minus 4 where h equals negative 3 and k equals negative 4. The second graph shows a downward-opening parabola on the x y-coordinate plane with a vertex of (negative 1, 4) and other points of (0,2) and (negative 2,2). Underneath the graph, it shows the standard form of a parabola, f of x equals a times the quantity x minus h squared plus k, with the equation of the parabola f of x equals negative 2 times the quantity of x plus 1 squared plus 4 where h equals negative 1 and k equals 4.  
Figura 9.7.63
 
 

En cada caso, el vértice es ((h, k) ). También el eje de simetría es la línea (x = h ).

 

Reescribimos nuestros pasos para graficar una función cuadrática usando propiedades para cuando la función está en forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ).

 

Graficar una función cuadrática en la forma (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k ) Usar propiedades

 
         
  1. Reescribe la función (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k ).
  2.      
  3. Determine si la parábola se abre hacia arriba, (a> 0 ) o hacia abajo, (a <0 ).
  4.      
  5. Encuentra el eje de simetría, (x = h ).
  6.      
  7. Encuentra el vértice, ((h, k ).
  8.      
  9. Encuentra la intercepción (y ). Encuentre el punto simétrico a (y ) – intercepte a través del eje de simetría.
  10.      
  11. Encuentra las intersecciones (x ).
  12.      
  13. Representa gráficamente la parábola.
  14.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 
         
  1. Reescribe (f (x) = 2 x ^ {2} +4 x + 5 ) en forma (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k )
  2.      
  3. Graficar la función usando propiedades
  4.  
 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Reescribe la función en forma (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k ) completando el cuadrado. (f (x) = 2 x ^ {2} +4 x + 5 )
(f (x) = 2 left (x ^ {2} +2 x right) +5 )
(f (x) = 2 left (x ^ {2} +2 x + 1 right) + 5-2 )
(f (x) = 2 (x + 1) ^ {2} +3 )
Identifica las constantes (a, h, k ). (a = 2 h = -1 k = 3 )
Desde (a = 2 ), la parábola se abre hacia arriba. .
El eje de simetría es (x = h ). El eje de simetría es (x = -1 ).
El vértice es ((h, k) ). El vértice es ((- 1,3) ).
Encuentra la (y ) – intercepta encontrando (f (0) ). (f (0) = 2 cdot 0 ^ {2} +4 cdot 0 + 5 )
(f (0) = 5 )
(y ) – intercepción ((0,5) )
Encuentre el punto simétrico a ((0,5) ) a través del eje de simetría. ((- 2,5) )
Encuentra las intersecciones (x ). El discriminante es negativo, por lo que no hay intersecciones (x ). Grafica la parábola.
.
 

Tabla 9.7.6

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 
         
  1. Reescribe (f (x) = 3 x ^ {2} -6 x + 5 ) en forma (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k )
  2.      
  3. Graficar la función usando propiedades
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (f (x) = 3 (x-1) ^ {2} +2 )
  2.          
  3. The graph shown is an upward facing parabola with vertex (1, 2) and y-intercept (0, 5). The axis of symmetry is shown, x equals 1.
    Figura 9.7.66
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 
         
  1. Reescribe (f (x) = – 2 x ^ {2} +8 x-7 ) en forma (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k )
  2.      
  3. Graficar la función usando propiedades
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (f (x) = – 2 (x-2) ^ {2} +1 )
  2.          
  3. The graph shown is a downward facing parabola with vertex (2, 1) and x-intercepts (1, 0) and (3, 0). The axis of symmetry is shown, x equals 2.
    Figura 9.7.67
  4.      
     
 
 
 

Encuentre una función cuadrática en su gráfico

 

Hasta ahora hemos comenzado con una función y luego encontramos su gráfica.

 

Ahora vamos a revertir el proceso. Comenzando con el gráfico, encontraremos la función.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Determine la función cuadrática cuyo gráfico se muestra.

 
The graph shown is an upward facing parabola with vertex (negative 2, negative 1) and y-intercept (0, 7).  
Figura 9.7.68
 
 

Solución :

 

Como es cuadrático, comenzamos con la forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ).

 

El vértice, ((h, k) ), es ((- 2, −1) ) so (h = −2 ) y (k = −1 ).

 

(f (x) = a (x – (- 2)) ^ {2} -1 )

 

Para encontrar (a ), usamos (y ) – intercepción, ((0,7) ).

 

Entonces (f (0) = 7 ).

 

(7 = a (0 + 2) ^ {2} -1 )

 

Resuelve para (a ).

 

( begin {array} {l} {7 = 4 a-1} \ {8 = 4 a} \ {2 = a} end {array} )

 

Escribe la función.

 

(f (x) = a (x-h) ^ {2} + k )

 

Sustituye en (h = -2, k = -1 ) y (a = 2 ).

 

(f (x) = 2 (x + 2) ^ {2} -1 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Escribe la función cuadrática en forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) cuya gráfica se muestra.

 
The graph shown is an upward facing parabola with vertex (3, negative 4) and y-intercept (0, 5).  
Figura 9.7.69
 
 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = (x-3) ^ {2} -4 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Determine la función cuadrática cuyo gráfico se muestra.

 
The graph shown is an upward facing parabola with vertex (negative 3, negative 1) and y-intercept (0, 8).  
Figura 9.7.70
 
 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = (x + 3) ^ {2} -1 )

     
 
 
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar graficando funciones cuadráticas utilizando transformaciones.

 
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Representa gráficamente una función cuadrática de la forma (f (x) = x ^ {2} + k ) usando un desplazamiento vertical      
               
    • La gráfica de (f (x) = x ^ {2} + k ) desplaza la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) verticalmente (k ) unidades.          
                     
      • Si (k> 0 ), desplaza la parábola verticalmente hacia arriba (k ) unidades.
      •              
      • Si (k <0 ), desplaza la parábola verticalmente hacia abajo (| k | ) unidades.
      •          
               
    •      
         
  •      
  • Representa gráficamente una función cuadrática de la forma (f (x) = (x − h) ^ {2} ) usando un desplazamiento horizontal      
               
    • La gráfica de (f (x) = (x − h) ^ {2} ) desplaza la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) horizontalmente (h ) unidades.          
                     
      • Si (h> 0 ), desplaza la parábola horizontalmente hacia la izquierda (h ) unidades.
      •              
      • Si (h <0 ), desplaza la parábola horizontalmente a la derecha (| h | ) unidades.
      •          
               
    •      
         
  •      
  • Gráfico de una función cuadrática de la forma (f (x) = ax ^ {2} )      
               
    • El coeficiente (a ) en la función (f (x) = ax ^ {2} ) afecta la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ) al estirarlo o comprimirlo .
      Si (0 <| a | <1 ), entonces la gráfica de (f (x) = ax ^ {2} ) será "más ancha" que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ).
      Si (| a |> 1 ), entonces la gráfica de (f (x) = ax ^ {2} ) será «más delgada» que la gráfica de (f (x) = x ^ {2} ).
    •      
         
  •      
  • Cómo graficar una función cuadrática usando transformaciones      
               
    1. Reescribe la función en forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) completando el cuadrado.
    2.          
    3. Representa gráficamente la función usando transformaciones.
    4.      
         
  •      
  • Grafica una función cuadrática en la forma de vértice (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) usando propiedades      
               
    1. Reescribe la función en forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ).
    2.          
    3. Determine si la parábola se abre hacia arriba, (a> 0 ) o hacia abajo, (a <0 ).
    4.          
    5. Encuentra el eje de simetría, (x = h ).
    6.          
    7. Encuentra el vértice, ((h, k) ).
    8.          
    9. Encuentra la intercepción (y ). Encuentre el punto simétrico a (y ) – intercepte a través del eje de simetría.
    10.          
    11. Encuentra las intersecciones con (x ), si es posible.
    12.          
    13. Representa gráficamente la parábola.
    14.      
         
  •  
 
 
                                  
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