9.8: Resolver aplicaciones de geometría: círculos y figuras irregulares

Habilidades para desarrollar

Usa las propiedades de los círculos
Encuentra el área de figuras irregulares

prepárate!

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Evalúe x ² cuando x = 5. Si omitió este problema, revise Ejemplo 2.3.3 .
Usando 3.14 para ( pi ), aproxima la (a) circunferencia y (b) el área de un círculo con radio de 8 pulgadas. Si perdió este problema, revise Ejemplo 5.6.12 .
Simplifica ( dfrac {22} {7} ) (0.25) ² y redondea a la milésima más cercana. Si se perdió este problema, revise Ejemplo 5.5.9 .

En esta sección, continuaremos trabajando con aplicaciones de geometría. Agregaremos varias fórmulas nuevas a nuestra colección de fórmulas. Para ayudarlo mientras hace los ejemplos y ejercicios en esta sección, mostraremos aquí la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría.

Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría

Paso 1. Lea el problema y asegúrese de comprender todas las palabras e ideas. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.

Paso 2. Identifica lo que estás buscando.

Paso 3. Nombre lo que está buscando. Elija una variable para representar esa cantidad

Paso 4. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.

Paso 5. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.

Paso 6. Verifique la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.

Paso 7. Responda la pregunta con una oración completa.

Usar las propiedades de los círculos

¿Recuerdas las propiedades de los círculos de Decimales y fracciones ? Los mostraremos aquí nuevamente para referirnos a cómo los usamos para resolver aplicaciones.

Definición: Propiedades de los círculos

$An image of a circle is shown. There is a line drawn through the widest part at the center of the circle with a red dot indicating the center of the circle. The line is labeled d. The two segments from the center of the circle to the outside of the circle are each labeled r.$

r es la longitud del radio
d es la longitud del diámetro
d = 2r
La circunferencia es el perímetro de un círculo. La fórmula para la circunferencia es C = 2 ( pi ) r
La fórmula para el área de un círculo es A = ( pi ) r ²

Recuerde que aproximamos ( pi ) con 3.14 o ( dfrac {22} {7} ) dependiendo de si el radio del círculo se da como decimal o como fracción. Si usa la tecla ( pi ) en su calculadora para hacer los cálculos en esta sección, sus respuestas serán ligeramente diferentes de las respuestas que se muestran. Esto se debe a que la tecla ( pi ) usa más de dos decimales.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Una caja de arena circular tiene un radio de 2.5 pies. Encuentre la (a) circunferencia y (b) el área del arenero.

Solución

(a)

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.	$CNX_BMath_Figure_09_05_029_img-01.png$
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	la circunferencia del círculo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea c = circunferencia del círculo
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir.	$$ begin {split} C & = 2 pi r \ C & = 2 pi (2.5) end {split} $$
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} C & aprox 2 (3.14) (2.5) \ C & aprox 15 ; ft end {split} $$
Paso 6. Verifique . ¿Tiene sentido esta respuesta?	Sí. Si dibujamos un cuadrado alrededor del círculo, sus lados serían 5 pies (dos veces el radio), por lo que su perímetro sería 20 pies. Esto es un poco más que la circunferencia del círculo, 15.7 pies $CNX_BMath_Figure_09_05_029_img-02.png$
Paso 7. Responda la pregunta.	La circunferencia del arenero es de 15.7 pies.

(b)

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.	$CNX_BMath_Figure_09_05_029_img-01.png$
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	el área del círculo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea A = el área del círculo
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir.	$$ begin {split} A & = pi r ^ {2} \ A & = pi (2.5) ^ {2} end {split} $$
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$ begin {split} A y aprox (3.14) (2.5) ^ {2} \ A y aprox 19.625 ; sq. ; ft end {split} $$
Paso 6. Verifique . ¿Tiene sentido esta respuesta?	Sí. Si dibujamos un cuadrado alrededor del círculo, sus lados serían 5 pies, como se muestra en la parte (a). Entonces, el área del cuadrado sería de 25 pies cuadrados. Esto es un poco más que el área del círculo, 19.625 pies cuadrados
Paso 7. Responda la pregunta.	El área del círculo es de 19.625 pies cuadrados.

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Un espejo circular tiene un radio de 5 pulgadas. Encuentre la (a) circunferencia y (b) el área del espejo.

Responda a: 31.4 pulg.

Respuesta b: 78.5 pulgadas cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

Un spa circular tiene un radio de 4.5 pies. Encuentre la (a) circunferencia y (b) el área del spa.

Responda a: 28,26 pies
Respuesta b: 63.585 pies cuadrados

Usualmente vemos la fórmula para la circunferencia en términos del radio r del círculo:

$$ C = 2 pi r $$

Pero como el diámetro de un círculo es dos veces el radio, podríamos escribir la fórmula para la circunferencia en términos de d.

$$ begin {split} C & = 2 pi r \ Usando ; la; conmutativo ; propiedad,; nosotros; get qquad C & = pi cdot 2r \ Entonces ; sustituyendo ; d = 2r qquad C & = pi cdot d \ Entonces qquad C & = pi d end {split} $$

Usaremos esta forma de circunferencia cuando se nos dé la longitud del diámetro en lugar del radio.

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Una mesa circular tiene un diámetro de cuatro pies. ¿Cuál es la circunferencia de la mesa?

Solución

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.	$CNX_BMath_Figure_09_05_032_img-01.png$
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	la circunferencia de la mesa
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea c = la circunferencia de la mesa
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada para la situación. Sustituir.	$$ begin {split} C & = pi d \ C & = pi (4) end {split} $$
Paso 5. Resuelve la ecuación, usando 3.14 para ( pi ).	$$ begin {split} C & approx (3.14) (4) \ C & approx 12.56 ; ft end {split} $$
Paso 6. Verifique .	Si colocamos un cuadrado alrededor del círculo, su lado sería 4. El perímetro sería 16. Tiene sentido que la circunferencia del círculo, 12.56, sea un poco menor que 16. $CNX_BMath_Figure_09_05_032_img-02.png$
Paso 7. Responda la pregunta.	El diámetro de la mesa es de 12.56 pies cuadrados.

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

Encuentra la circunferencia de un pozo de fuego circular cuyo diámetro es de 5.5 pies.

Respuesta: 17.27 pies

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

Si el diámetro de un trampolín circular es de 12 pies, ¿cuál es su circunferencia?

Respuesta: 37,68 pies

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Halla el diámetro de un círculo con una circunferencia de 47,1 centímetros.

Solución

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.	$CNX_BMath_Figure_09_05_033_img-01.png$
Paso 2. Identifica lo que estás buscando.	el diámetro del círculo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo.	Sea d = el diámetro del círculo
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula. Sustituya, usando 3.14 para aproximar ( pi ).	$$ begin {split} C & = pi d \ 47.1 & approx 3.14d end {split} $$
Paso 5. Resolver .	$$ begin {split} dfrac {47.11} {3.14} & approx dfrac {3.14d} {3.14} \ 15 & approx d end {split} $$
Paso 6. Verifique .	$$ begin {split} 47.1 & stackrel {?} {=} (3.14) (15) \ 47.1 & = 47.1 ; marca de verificación end {split} $$
Paso 7. Responda la pregunta.	El diámetro del círculo es de aproximadamente 15 centímetros.

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

Halla el diámetro de un círculo con una circunferencia de 94,2 centímetros.

Respuesta: 30 cm

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

Halla el diámetro de un círculo con una circunferencia de 345.4 pies.

Respuesta: 110 pies

Encuentra el área de figuras irregulares

Hasta ahora, hemos encontrado área para rectángulos, triángulos, trapecios y círculos. Una figura irregular es una figura que no es una forma geométrica estándar. Su área no puede calcularse utilizando ninguna de las fórmulas de área estándar. Pero algunas figuras irregulares están formadas por dos o más formas geométricas estándar. Para encontrar el área de una de estas figuras irregulares, podemos dividirla en figuras cuyas fórmulas conocemos y luego agregar las áreas de las figuras.

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Encuentra el área de la región sombreada.

$An image of an attached horizontal rectangle and a vertical rectangle is shown. The top is labeled 12, the side of the horizontal rectangle is labeled 4. The side is labeled 10, the width of the vertical rectangle is labeled 2.$

Solución

La figura dada es irregular, pero podemos dividirla en dos rectángulos. El área de la región sombreada será la suma de las áreas de ambos rectángulos.

El rectángulo azul tiene un ancho de 12 y una longitud de 4. El rectángulo rojo tiene un ancho de 2, pero su longitud no está etiquetada. El lado derecho de la figura es la longitud del rectángulo rojo más la longitud del rectángulo azul. Como el lado derecho del rectángulo azul tiene 4 unidades de largo, la longitud del rectángulo rojo debe ser de 6 unidades.

$An image of a blue horizontal rectangle attached to a red vertical rectangle is shown. The top is labeled 12, the side of the blue rectangle is labeled 4. The whole side is labeled 10, the blue portion is labeled 4 and the red portion is labeled 6. The width of the red rectangle is labeled 2.$

$$ begin {split} A_ {figure} & = A _ { textcolor {blue} {rectangle}} + A _ { textcolor {red} {rectangle}} \ A_ {figure} & = textcolor { azul} {bh} + textcolor {red} {bh} \ A_ {figure} & = textcolor {blue} {12 cdot 4} + textcolor {red} {2 cdot 6} \ A_ {figure } & = textcolor {azul} {48} + textcolor {rojo} {12} \ A_ {figure} & = 60 end {split} $$

El área de la figura es de 60 unidades cuadradas.

¿Hay otra forma de dividir esta figura en dos rectángulos? Pruébelo y asegúrese de obtener la misma área.

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

Encuentre el área de cada región sombreada:

$A blue geometric shape is shown. It looks like a horizontal rectangle attached to a vertical rectangle. The top is labeled as 8, the width of the horizontal rectangle is labeled as 2. The side is labeled as 6, the width of the vertical rectangle is labeled as 3.$

Respuesta: 28 unidades cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

Encuentre el área de cada región sombreada:

$A blue geometric shape is shown. It looks like a horizontal rectangle attached to a vertical rectangle. The top is labeled as 14, the width of the horizontal rectangle is labeled as 5. The side is labeled as 10, the width of the missing space is labeled as 6.$

Respuesta: 110 unidades cuadradas

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

Encuentra el área de la región sombreada.

$A blue geometric shape is shown. It looks like a rectangle with a triangle attached to the top on the right side. The left side is labeled 4, the top 5, the bottom 8, the right side 7.$

Solución

Podemos dividir esta figura irregular en un triángulo y un rectángulo. El área de la figura será la suma de las áreas de triángulo y rectángulo.

El rectángulo tiene una longitud de 8 unidades y un ancho de 4 unidades.

Necesitamos encontrar la base y la altura del triángulo.

Dado que ambos lados del rectángulo son 4, el lado vertical del triángulo es 3, que es 7 – 4. La longitud del rectángulo es 8, por lo que la base del triángulo será 3, que es 8 – 4

$A geometric shape is shown. It is a blue rectangle with a red triangle attached to the top on the right side. The left side is labeled 4, the top 5, the bottom 8, the right side 7. The right side of the rectangle is labeled 4. The right side and bottom of the triangle are labeled 3.$

Ahora podemos agregar las áreas para encontrar el área de la figura irregular.

$$ begin {split} A_ {figure} & = A _ { textcolor {blue} {rectangle}} + A _ { textcolor {red} {triangle}} \ A_ {figure} & = textcolor { azul} {lw} + dfrac {1} {2} textcolor {red} {bh} \ A_ {figure} & = textcolor {blue} {8 cdot 4} + dfrac {1} {2} cdot textcolor {red} {3 cdot 3} \ A_ {figure} & = textcolor {blue} {32} + textcolor {red} {4.5} \ A_ {figure} & = 3.65 ; sq. ; unidades fin {división} $$

El área de la figura es 36.5 unidades cuadradas.

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

Encuentra el área de cada región sombreada.

$A blue geometric shape is shown. It looks like a rectangle with a triangle attached to the lower right side. The base of the rectangle is labeled 8, the height of the rectangle is labeled 4. The distance from the top of the rectangle to where the triangle begins is labeled 3, the top of the triangle is labeled 3.$

Respuesta: 36,5 unidades cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

Encuentra el área de cada región sombreada.

$A blue geometric shape is shown. It looks like a rectangle with an equilateral triangle attached to the top. The base of the rectangle is labeled 12, each side is labeled 5. The base of the triangle is split into two pieces, each labeled 2.5.$

Respuesta: 70 unidades cuadradas

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Una pista de la escuela secundaria tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo (medio círculo) en cada extremo. El rectángulo tiene una longitud de 105 metros y un ancho de 68 metros. Encuentra el área encerrada por la pista. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

$A track is shown, shaped like a rectangle with a semi-circle attached to each side.$

Solución

Dividiremos la figura en un rectángulo y dos semicírculos. El área de la figura será la suma de las áreas del rectángulo y los semicírculos.

$A blue geometric shape is shown. It looks like a rectangle with a semi-circle attached to each side. The base of the rectangle is labeled 105 m. The height of the rectangle and diameter of the circle on the left is labeled 68 m.$

El rectángulo tiene una longitud de 105 my un ancho de 68 m. Los semicírculos tienen un diámetro de 68 m, por lo que cada uno tiene un radio de 34 m.

$$ begin {split} A_ {figure} & = A _ { textcolor {blue} {rectangle}} + A _ { textcolor {red} {semicircles}} \ A_ {figure} & = textcolor { azul} {bh} + textcolor {rojo} {2 left ( dfrac {1} {2} pi cdot r ^ {2} right)} \ A_ {figure} & approx textcolor {blue } {105 cdot 68} + textcolor {rojo} {2 left ( dfrac {1} {2} cdot 3.14 cdot 34 ^ {2} right)} \ A_ {figure} & approx textcolor {azul} {7140} + textcolor {rojo} {3629.84} \ A_ {figura} & aprox. 10,769.84 ; cuadrado; metros fin {división} $$

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

Encuentra el área:

$A shape is shown. It is a blue rectangle with a portion of the rectangle missing. There is a red circle the same height as the rectangle attached to the missing side of the rectangle. The top of the rectangle is labeled 15, the height is labeled 9.$

Respuesta: 103,2 unidades cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

Encuentra el área:

$A blue geometric shape is shown. It appears to be two trapezoids with a semicircle at the top. The base of the semicircle is labeled 5.2. The height of the trapezoids is labeled 6.5. The combined base of the trapezoids is labeled 3.3.$

Respuesta: 38,24 unidades cuadradas

La práctica hace la perfección

Usar las propiedades de los círculos

En los siguientes ejercicios, resuelve usando las propiedades de los círculos.

La tapa de un cubo de pintura es un círculo con radio de 7 pulgadas. Encuentre la (a) circunferencia y (b) el área de la tapa.
Una pizza extra grande es un círculo con radio de 8 pulgadas. Encuentre la (a) circunferencia y (b) el área de la pizza.
Un aspersor de granja extiende agua en un círculo con radio de 8.5 pies. Encuentre la (a) circunferencia y (b) el área del círculo regado.
Una alfombra circular tiene un radio de 3.5 pies. Encuentre la (a) circunferencia y (b) el área de la alfombra.
Una piscina reflectante tiene la forma de un círculo con un diámetro de 20 pies. ¿Cuál es la circunferencia de la piscina?
Un plato giratorio es un círculo con un diámetro de 10 pulgadas. ¿Cuál es la circunferencia del plato giratorio?
Una sierra circular tiene un diámetro de 12 pulgadas. ¿Cuál es la circunferencia de la sierra?
Una moneda redonda tiene un diámetro de 3 centímetros. ¿Cuál es la circunferencia de la moneda?
Una parrilla de barbacoa es un círculo con un diámetro de 2.2 pies. ¿Cuál es la circunferencia de la parrilla?
La parte superior de una lata de pastel es un círculo con un diámetro de 9,5 pulgadas. ¿Cuál es la circunferencia de la parte superior?
Un círculo tiene una circunferencia de 163,28 pulgadas. Encuentra el diámetro.
Un círculo tiene una circunferencia de 59.66 pies. Encuentra el diámetro.
Un círculo tiene una circunferencia de 17.27 metros. Encuentra el diámetro.
Un círculo tiene una circunferencia de 80.07 centímetros. Encuentra el diámetro.

En los siguientes ejercicios, encuentre el radio del círculo con la circunferencia dada.

Un círculo tiene una circunferencia de 150.72 pies.
Un círculo tiene una circunferencia de 251,2 centímetros.
Un círculo tiene una circunferencia de 40.82 millas.
Un círculo tiene una circunferencia de 78.5 pulgadas.

Matemáticas cotidianas

Área de una mesa Yuki compró una mesa de cocina abatible. La parte rectangular de la mesa es un rectángulo de 1 pie por 3 pies con un semicírculo en cada extremo, como se muestra. (A) Encuentre el área de la mesa con una hoja hacia arriba. (b) Encuentre el área de la mesa con ambas hojas hacia arriba.

$An image of a table is shown. There is a rectangular portion attached to a semi-circular portion. There is another semi-circular leaf folded down on the other side of the rectangle.$

Pintura Leora quiere pintar la guardería de su casa. La guardería es un rectángulo de 8 pies por 10 pies, y el techo tiene 8 pies de altura. Hay una puerta de 3 pies por 6.5 pies en una pared, una puerta de armario de 3 pies por 6.5 pies en otra pared y una ventana de 4 pies por 3.5 pies en la tercera pared. La cuarta pared no tiene puertas ni ventanas. Si solo pinta las cuatro paredes, y no el techo o las puertas, ¿cuántos pies cuadrados necesitará pintar?

Ejercicios de escritura

Describe dos formas diferentes de encontrar el área de esta figura y luego muestra tu trabajo para asegurarte de que ambas formas den la misma área.

$A geometric shape is shown. It is a vertical rectangle attached to a horizontal rectangle. The width of the vertical rectangle is 3, the left side is labeled 6, the bottom is labeled 9, and the width of the horizontal rectangle is labeled 3. The top of the horizontal rectangle is labeled 6, and the distance from the top of that rectangle to the top of the other rectangle is labeled 3.$

Un círculo tiene un diámetro de 14 pies. Encuentre el área del círculo (a) usando 3.14 para ( pi ) (b) usando ( dfrac {22} {7} ) para ( pi ). (c) ¿Qué cálculo hacer prefiere? ¿Por qué?

Autocomprobación

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

$CNX_BMath_Figure_AppB_055.jpg$

(b) Después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para la siguiente sección? ¿Por qué o por qué no?

las matematicas

9.8: Resolver aplicaciones de geometría: círculos y figuras irregulares

Usar las propiedades de los círculos

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La práctica hace la perfección

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Ejercicios de escritura

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