las matematicas

9.9: Resolver aplicaciones de geometría: volumen y área de superficie (Parte 1)

9.9: Resolver aplicaciones de geometría: volumen y área de superficie (Parte 1)

En esta sección, terminaremos nuestro estudio de aplicaciones de geometría. Encontramos el volumen y el área de superficie de algunas figuras tridimensionales. Como resolveremos aplicaciones, una vez más mostraremos nuestra Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría.

Hallar el volumen y el área de superficie de los sólidos rectangulares

 

Un entrenador de porristas está haciendo que el escuadrón pinte cajas de madera con los colores de la escuela para pararse en los juegos. (Ver Figura ( PageIndex {1} )). La cantidad de pintura necesaria para cubrir el exterior de cada caja es el área de superficie , una medida cuadrada del área total de todos los lados. La cantidad de espacio dentro de la caja es el volumen, una medida cúbica.

 

This is an image of a wooden crate.

 

Figura ( PageIndex {1} ) – Esta caja de madera tiene la forma de un sólido rectangular.

 

Cada caja tiene la forma de un sólido rectangular . Sus dimensiones son la longitud, el ancho y la altura. El sólido rectangular que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) tiene 4 unidades de longitud, 2 unidades de ancho y 3 unidades de altura. ¿Puedes decir cuántas unidades cúbicas hay en total? Veamos capa por capa.

 

A rectangular solid is shown. Each layer is composed of 8 cubes, measuring 2 by 4. The top layer is pink. The middle layer is orange. The bottom layer is green. Beside this is an image of the top layer that says “The top layer has 8 cubic units.” The orange layer is shown and says “The middle layer has 8 cubic units.” The green layer is shown and says, “The bottom layer has 8 cubic units.”

 

Figura ( PageIndex {2} ): dividir un sólido rectangular en capas facilita la visualización de la cantidad de unidades cúbicas que contiene. Este sólido rectangular de 4 por 2 por 3 tiene 24 unidades cúbicas.

 

En total hay 24 unidades cúbicas. Observe que 24 es el largo × ancho × alto.

 

The top line says V equals L times W times H. Beneath the V is 24, beneath the equal sign is another equal sign, beneath the L is a 4, beneath the W is a 2, beneath the H is a 3.

 

El volumen, V, de cualquier sólido rectangular es el producto de la longitud, el ancho y la altura.

 

$$ V = LWH $$

 

También podríamos escribir la fórmula para el volumen de un sólido rectangular en términos del área de la base. El área de la base, B, es igual a la longitud × ancho.

 

$$ B = L cdot W $$

 

Podemos sustituir B por L • W en la fórmula del volumen para obtener otra forma de la fórmula del volumen.

 

$$ begin {split} V & = textcolor {red} {L cdot W} cdot H \ V & = textcolor {red} {(L cdot W)} cdot H \ V & = textcolor {rojo} {B} h end {split} $$

 

Ahora tenemos otra versión de la fórmula del volumen para sólidos rectangulares. Veamos cómo funciona esto con el sólido rectangular 4 × 2 × 3 con el que comenzamos. Ver Figura ( PageIndex {3} ).

 

An image of a rectangular solid is shown. It is made up of cubes. It is labeled as 2 by 4 by 3. Beside the solid is V equals Bh. Below this is V equals Base times height. Below Base is parentheses 4 times 2. The next line says V equals parentheses 4 times 2 times 3. Below that is V equals 8 times 3, then V equals 24 cubic units.

 

Figura ( PageIndex {3} )

 

Para encontrar el área de superficie de un sólido rectangular, piense en encontrar el área de cada una de sus caras. ¿Cuántas caras tiene el sólido rectangular de arriba? Puedes ver tres de ellos.

 

$$ begin {split} A_ {front} & = L times W qquad A_ {side} = L times W qquad A_ {top} = L times W \ A_ {front} & = 4 cdot 3 qquad quad ; A_ {lado} = 2 cdot 3 qquad quad ; A_ {top} = 4 cdot 2 \ A_ {front} & = 12 qquad qquad A_ {side} = 6 qquad qquad ; ; A_ {top} = 8 end {split} $$

 

Observe que para cada una de las tres caras que ve, hay una cara opuesta idéntica que no se muestra.

 

$$ begin {split} S & = (front + back) + (left ; side + right ; side) + (top + bottom) \ S & = (2 cdot front) + (2 cdot left ; side) + (2 cdot top) \ S & = 2 cdot 12 + 2 cdot 6 + 2 cdot 8 \ S & = 24 + 12 + 16 \ S & = 52 ; sq. ; unidades fin {división} $$

 

El área de superficie S del sólido rectangular que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) es de 52 unidades cuadradas.

 

En general, para encontrar el área de superficie de un sólido rectangular, recuerde que cada cara es un rectángulo, por lo que su área es el producto de su longitud y su ancho (ver Figura ( PageIndex {4} )). Encuentra el área de cada cara que ves y luego multiplica cada área por dos para tener en cuenta la cara en el lado opuesto.

 

$$ S = 2LH + 2LW + 2WH $$

 

A rectangular solid is shown. The sides are labeled L, W, and H. One face is labeled LW and another is labeled WH.

 

Figura ( PageIndex {4} ) – Para cada cara del sólido rectangular que está frente a usted, hay otra cara en el lado opuesto. Hay 6 caras en total.

 
 

Definición: Volumen y área de superficie de un sólido rectangular

 

Para un sólido rectangular con longitud L, ancho W y altura H:

 

A rectangular solid is shown. The sides are labeled L, W, and H. Beside it is Volume: V equals LWH equals BH. Below that is Surface Area: S equals 2LH plus 2LW plus 2WH.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Para un sólido rectangular con una longitud de 14 cm, una altura de 17 cm y un ancho de 9 cm, encuentre el (a) volumen y (b) el área de superficie.

 

Solución

 

El paso 1 es el mismo para ambos (a) y (b), por lo que lo mostraremos solo una vez.

                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_06_038_img-01.png
 

(a)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el volumen del sólido rectangular
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. Sea V = volumen
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir. $$ begin {split} V & = LWH \ V & = 14 cdot 9 cdot 9 cdot 17 end {split} $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ V = 2,142 $$
Paso 6. Verificar. Te dejamos que verifiques tus cálculos.
Paso 7. Responda la pregunta. El volumen es de 2.142 centímetros cúbicos.
 

(b)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. la superficie del sólido
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. Sea S = área de superficie
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir. $$ begin {split} S & = 2LH + 2LW + 2WH \ S & = 2 (14 cdot 17) + 2 (14 cdot 9) + 2 (9 cdot 17) end {split } $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ S = 1,034 $$
Paso 6. Verificar. Verifique dos veces con una calculadora.
Paso 7. Responda la pregunta. La ​​superficie es de 1.034 centímetros cuadrados.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Encuentre el (a) volumen y (b) área de superficie del sólido rectangular con: longitud 8 pies, ancho 9 pies y altura 11 pies.

 
     
Responde a
     
     

792 pies cúbicos pies

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

518 pies cuadrados

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Encuentre el (a) volumen y (b) área de superficie del sólido rectangular con: longitud 15 pies, ancho 12 pies y altura 8 pies.

 
     
Responde a
     
     

1,440 cu. pies

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

792 pies cuadrados

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Una caja rectangular tiene una longitud de 30 pulgadas, un ancho de 25 pulgadas y una altura de 20 pulgadas. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

 

Solución

 

El paso 1 es el mismo para ambos (a) y (b), por lo que lo mostraremos solo una vez.

                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_06_039_img-01.png
 

(a)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el volumen de la caja
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea V = volumen
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir. $$ begin {split} V & = LWH \ V & = 30 cdot 25 cdot 20 end {split} $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ V = 15,000 $$
Paso 6. Verificar. Verifica tus matemáticas.
Paso 7. Responda la pregunta. El volumen es de 15,000 pulgadas cúbicas.
 

(b)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el área de superficie de la caja
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. el área de superficie de la caja
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir. $$ begin {split} S & = 2LH + 2LW + 2WH \ S & = 2 (30 cdot 20) + 2 (30 cdot 25) + 2 (25 cdot 20) end {split } $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ S = 3,700 $$
Paso 6. Verificar. ¡Compruébalo tú mismo!
Paso 7. Responda la pregunta. La ​​superficie es de 3.700 pulgadas cuadradas.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Una caja rectangular tiene una longitud de 9 pies, un ancho de 4 pies y una altura de 6 pies. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

 
     
Responde a
     
     

216 pies cúbicos pies

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

228 pies cuadrados

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Una maleta rectangular tiene una longitud de 22 pulgadas, un ancho de 14 pulgadas y una altura de 9 pulgadas. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

 
     
Responde a
     
     

2,772 cu. en

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

1,264 pulgadas cuadradas

     
 
 
 
 

Volumen y área de superficie de un cubo

 

Un cubo es un sólido rectangular cuya longitud, ancho y altura son iguales. Ver Volumen y área de superficie de un cubo, a continuación. Al sustituir, s por la longitud, el ancho y la altura en las fórmulas para el volumen y el área de superficie de un sólido rectangular, obtenemos:

 

$$ begin {split} V & = LWH quad ; S = 2LH + 2LW + 2WH \ V & = s cdot s cdot s quad S = 2s cdot s + 2s cdot s + 2s cdot s \ V & = s ^ {3} qquad quad S = 2s ^ {2} + 2s ^ {2} + 2s ^ {2} \ & qquad qquad quad ; S = 6s ^ {2} end {split} $$

 

Entonces, para un cubo, las fórmulas para volumen y área de superficie son V = s 3 y S = 6s 2 .

 
 

Definición: Volumen y área de superficie de un cubo

 

Para cualquier cubo con lados de longitud s,

 

An image of a cube is shown. Each side is labeled s. Beside this is Volume: V equals s cubed. Below that is Surface Area: S equals 6 times s squared.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Un cubo mide 2.5 pulgadas a cada lado. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

 

Solución

 

El paso 1 es el mismo para ambos (a) y (b), por lo que lo mostraremos solo una vez.

                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_06_040_img-01.png
 

(a)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el volumen de la caja
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea V = volumen
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. $$ V = s ^ {3} $$
Paso 5. Resolver. Sustituir y resolver. $$ begin {split} V & = (2.5) ^ {3} \ V & = 15.625 end {split} $$
Paso 6. Verificar. Comprueba tu trabajo.
Paso 7. Responda la pregunta. El volumen es de 15.625 pulgadas cúbicas.
 

(b)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el área de superficie de la caja
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. el área de superficie de la caja
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. $$ S = 6s ^ {2} $$
Paso 5. Resolver. Sustituir y resolver. $$ begin {split} S & = 6 cdot (2.5) ^ {2} \ S & = 37.5 end {split} $$
Paso 6. Verificar. Te queda el cheque.
Paso 7. Responda la pregunta. El área de superficie es de 37.5 pulgadas cuadradas.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Para un cubo con 4,5 metros de lado, encuentre el (a) volumen y (b) el área de superficie del cubo.

 
     
Responde a
     
     

91.125 cu. m

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

121,5 metros cuadrados

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Para un cubo con un lado de 7.3 yardas, encuentre el (a) volumen y (b) el área de superficie del cubo.

 
     
Responde a
     
     

389.017 cu. yarda

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

319.74 sq. Yd.

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Un cubo de bloc de notas mide 2 pulgadas en cada lado. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

 

Solución

                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_06_041_img-01.png
 

(a)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el volumen de la caja
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea V = volumen
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. $$ V = s ^ {3} $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ begin {split} V & = 2 ^ {3} \ V & = 8 end {split} $$
Paso 6. Verificar. Comprueba que hiciste los cálculos correctamente.
Paso 7. Responda la pregunta. El volumen es de 8 pulgadas cúbicas
 

(b)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el área de superficie de la caja
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. el área de superficie de la caja
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. $$ S = 6s ^ {2} $$
Paso 5. Resuelve la ecuación. $$ begin {split} S & = 6 cdot 2 ^ {2} \ S & = 24 end {split} $$
Paso 6. Verificar. Te queda el cheque.
Paso 7. Responda la pregunta. La ​​superficie es de 24 pulgadas cuadradas.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Una caja de embalaje es un cubo que mide 4 pies a cada lado. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

 
     
Responde a
     
     

64 pies cúbicos pies

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

96 pies cuadrados

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Una pared está hecha de ladrillos en forma de cubo. Cada cubo mide 16 pulgadas en cada lado. Encuentre el (a) volumen y (b) el área de superficie de cada cubo.

 
     
Responde a
     
     

4,096 cu. pulg.

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

1,536

     
 
 
 
 
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antonio1095

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