Una ecuación cuadrática está en forma estándar cuando se escribe como (ax ^ {2} + bx + c = 0 ). Si reemplazamos el signo igual con un signo de desigualdad, tenemos una desigualdad cuadrática en forma estándar.
La gráfica de una función cuadrática (f (x) = a x ^ {2} + b x + c = 0 ) es una parábola. Cuando preguntamos cuándo es (a x ^ {2} + b x + c <0 ), preguntamos cuándo es (f (x) <0 ). Queremos saber cuándo la parábola está debajo del eje (x ).
Cuando preguntamos cuándo es (a x ^ {2} + b x + c> 0 ), preguntamos cuándo es (f (x)> 0 ). Queremos saber cuándo la parábola está por encima del eje (y ).
Ejemplo ( PageIndex {1} ) Cómo resolver gráficamente una desigualdad cuadrática
Resuelve (x ^ {2} −6x + 8 <0 ) gráficamente. Escribe la solución en notación de intervalo.
Solución :
Paso 1 : Escribe la desigualdad cuadrática en forma estándar.
La desigualdad está en forma estándar.
(x ^ {2} -6 x + 8 <0 )
Paso 2 : Grafica la función (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) usando propiedades o transformaciones.
Graficaremos usando las propiedades.
(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )
Mira (a ) en la ecuación.
( color {rojo} {a = 1, b = -6, c = 8} )
(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )
Dado que (a ) es positivo, la parábola se abre hacia arriba.
La parábola se abre hacia arriba.
.png?revision=1)
(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )
El eje de simetría es la línea (x = – frac {b} {2 a} ).
Eje de simetría
(x = – frac {b} {2 a} )
( begin {array} {l} {x = – frac {(- 6)} {2 cdot 1}} \ {x = 3} end {array} )
El eje de simetría es la línea (x = 3 ).
El vértice está en el eje de simetría. Sustituya (x = 3 ) en la función.
Vértice
( begin {array} {l} {f (x) = x ^ {2} -6 x + 8} \ {f (3) = ( color {red} {3} color { negro} {)} ^ {2} -6 ( color {rojo} {3} color {negro} {)} + 8} \ {f (3) = – 1} end {array} ) [ 19459003]
El vértice es ((3, -1) ).
Encontramos (f (0) )
(y ) – intercepción
( begin {array} {l} {f (x) = x ^ {2} -6 x + 8} \ {f (0) = ( color {red} {0} color { negro} {)} ^ {2} -6 ( color {rojo} {0} color {negro} {)} + 8} \ {f (0) = 8} end {array} ) [19459003 ]
La intercepción (y ) – es ((0.8) ).
Utilizamos el eje de simetría para encontrar un punto simétrico a la intersección (y ). La intersección con (y ) está (3 ) unidades a la izquierda del eje de simetría, (x = 3 ). Un punto (3 ) unidades a la derecha del eje de simetría tiene (x = 6 ).
Punto simétrico a (y ) – intercepción
El punto es ((6,8) ).
Resolvemos (f (x) = 0 ).
(x ) – intercepta
Podemos resolver esta ecuación cuadrática factorizando.
( begin {alineado} f (x) & = x ^ {2} -6 x + 8 \ color {rojo} {0} y color {negro} {=} x ^ {2} -6 x + 8 \ color {rojo} {0} y color {negro} {=} (x-2) (x-4) \ x & = 2 text {o} x = 4 end {alineado} )
Las intersecciones (x ) – son ((2,0) ) y ((4,0) ).
Representamos gráficamente el vértice, las intersecciones y el punto simétrico a la intersección (y ). Conectamos estos puntos (5 ) para dibujar la parábola.
.png?revision=1)
Paso 3 : Determine la solución del gráfico.
(x ^ {2} -6 x + 8 <0 )
La desigualdad pide los valores de (x ) que hacen que la función sea menor que (0 ). Qué valores de (x ) forman la parábola debajo del eje (x ).
No incluimos los valores (2 ), (4 ) ya que la desigualdad es menor que solo.
La solución, en notación de intervalo, es ((2,4) ).
Enumeramos los pasos a seguir para resolver una desigualdad cuadrática gráficamente.
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