9.E: Secuencias, series y el teorema binomial (ejercicios)

9.E: Secuencias, series y el teorema binomial (ejercicios)

                 

 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Encuentre los primeros términos (5 ) de la secuencia, así como el término (30 ^ {th} ).

 
         
  1. (a_ {n} = 5 n-3 )
  2.      
  3. (a_ {n} = – 4 n + 3 )
  4.      
  5. (a_ {n} = – 10 n )
  6.      
  7. (a_ {n} = 3 n )
  8.      
  9. (a_ {n} = (- 1) ^ {n} (n-2) ^ {2} )
  10.      
  11. (a_ {n} = frac {(- 1) ^ {n}} {2 n-1} )
  12.      
  13. (a_ {n} = frac {2 n + 1} {n} )
  14.      
  15. (a_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} (n-1) )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (2,7,12,17,22; a_ {30} = 147 )

     

3. (- 10, -20, -30, -40, -50; a_ {30} = – 300 )

     

5. (- 1,0, -1,4, -9; a_ {30} = 784 )

     

7. (3, frac {5} {2}, frac {7} {3}, frac {9} {4}, frac {11} {5}; a_ {30} = frac {61} {30} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentra los primeros (5 ) términos de la secuencia.

 
         
  1. (a_ {n} = frac {n x ^ {n}} {2 n + 1} )
  2.      
  3. (a_ {n} = frac {(- 1) ^ {n-1} x ^ {n + 2}} {n} )
  4.      
  5. (a_ {n} = 2 ^ {n} x ^ {2 n} )
  6.      
  7. (a_ {n} = (- 3 x) ^ {n-1} )
  8.      
  9. (a_ {n} = a_ {n-1} +5 ) donde (a_ {1} = 0 )
  10.      
  11. (a_ {n} = 4 a_ {n-1} +1 ) donde (a_ {1} = – 2 )
  12.      
  13. (a_ {n} = a_ {n-2} -3 a_ {n-1} ) donde (a_ {1} = 0 ) y (a_ {2} = – 3 ) [ 19459007]      
  14. (a_ {n} = 5 a_ {n-2} -a_ {n-1} ) donde (a_ {1} = – 1 ) y (a_ {2} = 0 ) [ 19459007]  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( frac {x} {3}, frac {2 x ^ {2}} {5}, frac {3 x ^ {3}} {7}, frac {4 x ^ {4}} {9}, frac {5 x ^ {5}} {11} )

     

3. (2 x ^ {2}, 4 x ^ {4}, 8 x ^ {6}, 16 x ^ {8}, 32 x ^ {10} )

     

5. (0, 5, 10, 15, 20 )

     

7. (0, −3, 9, −30, 99 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentra la suma parcial indicada.

 
         
  1. (1,4,7,10,13, puntos; S_ {5} )
  2.      
  3. (3,1, -1, -3, -5, puntos; S_ {5} )
  4.      
  5. (- 1,3, -5,7, -9, ldots; S_ {4} )
  6.      
  7. (a_ {n} = (- 1) ^ {n} n ^ {2}; S_ {4} )
  8.      
  9. (a_ {n} = – 3 (n-2) ^ {2}; S_ {4} )
  10.      
  11. (a_ {n} = left (- frac {1} {5} right) ^ {n-2}; S_ {4} )
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (35 )

     

3. (- 5 )

     

5. (- 18 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Evaluar.

 
         
  1. ( sum_ {k = 1} ^ {6} (1-2 k) )
  2.      
  3. ( sum_ {k = 1} ^ {4} (- 1) ^ {k} 3 k ^ {2} )
  4.      
  5. ( sum_ {n = 1} ^ {3} frac {n + 1} {n} )
  6.      
  7. ( sum_ {n = 1} ^ {7} 5 (-1) ^ {n-1} )
  8.      
  9. ( sum_ {k = 4} ^ {8} (1-k) ^ {2} )
  10.      
  11. ( sum_ {k = -2} ^ {2} left ( frac {2} {3} right) ^ {k} )
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- 36 )

     

3. ( frac {29} {6} )

     

5. (135 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Escribe los primeros términos (5 ) de la secuencia aritmética dado su primer término y diferencia común. Encuentra una fórmula para su término general.

 
         
  1. (a_ {1} = 6; d = 5 )
  2.      
  3. (a_ {1} = 5; d = 7 )
  4.      
  5. (a_ {1} = 5; d = -3 )
  6.      
  7. (a_ {1} = – frac {3} {2}; d = – frac {1} {2} )
  8.      
  9. (a_ {1} = – frac {3} {4}; d = – frac {3} {4} )
  10.      
  11. (a_ {1} = – 3.6; d = 1.2 )
  12.      
  13. (a_ {1} = 7; d = 0 )
  14.      
  15. (a_ {1} = 1; d = 1 )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (6,11,16,21,26; a_ {n} = 5 n + 1 )

     

3. (5,2, -1, -4, -7; a_ {n} = 8-3 n )

     

5. (- frac {3} {4}, – frac {3} {2}, – frac {9} {4}, – 3, – frac {15} {4}; a_ {n} = – frac {3} {4} n )

     

7. (7,7,7,7,7; a_ {n} = 7 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Dados los términos de una secuencia aritmética, encuentre una fórmula para el término general.

 
         
  1. (10, 20, 30, 40, 50,… )
  2.      
  3. (- 7, −5, −3, −1, 1,… )
  4.      
  5. (- 2, −5, −8, −11, −14,… )
  6.      
  7. (- frac {1} {3}, 0, frac {1} {3}, frac {2} {3}, 1, ldots ) ​​
  8.      
  9. (a_ {4} = 11 ) y (a_ {9} = 26 )
  10.      
  11. (a_ {5} = – 5 ) y (a_ {10} = – 15 )
  12.      
  13. (a_ {6} = 6 ) y (a_ {24} = 15 )
  14.      
  15. (a_ {3} = – 1.4 ) y (a_ {7} = 1 )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (a_ {n} = 10 n )

     

3. (a_ {n} = 1-3 n )

     

5. (a_ {n} = 3 n-1 )

     

7. (a_ {n} = frac {1} {2} n + 3 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Calcule la suma indicada dada la fórmula para el término general de una secuencia aritmética.

 
         
  1. (a_ {n} = 4 n-3; S_ {60} )
  2.      
  3. (a_ {n} = – 2 n + 9; S_ {35} )
  4.      
  5. (a_ {n} = frac {1} {5} n- frac {1} {2}; S_ {15} )
  6.      
  7. (a_ {n} = – n + frac {1} {4}; S_ {20} )
  8.      
  9. (a_ {n} = 1.8 n-4.2; S_ {45} )
  10.      
  11. (a_ {n} = – 6.5 n + 3; S_ {35} )
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (7,140 )

     

3. ( frac {33} {2} )

     

5. (1,674 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Evaluar.

 
         
  1. ( sum_ {n = 1} ^ {22} (7 n-5) )
  2.      
  3. ( sum_ {n = 1} ^ {100} (1-4 n) )
  4.      
  5. ( sum_ {n = 1} ^ {35} left ( frac {2} {3} n right) )
  6.      
  7. ( sum_ {n = 1} ^ {30} left (- frac {1} {4} n + 1 right) )
  8.      
  9. ( sum_ {n = 1} ^ {40} (2.3 n-1.1) )
  10.      
  11. ( sum_ {n = 1} ^ {300} n )
  12.      
  13. Encuentre la suma de los primeros (175 ) enteros impares positivos.
  14.      
  15. Encuentre la suma de los primeros (175 ) enteros pares positivos.
  16.      
  17. Encuentre todas las medias aritméticas entre (a_ {1} = frac {2} {3} ) y (a_ {5} = – frac {2} {3} )
  18.      
  19. Encuentre todos los medios aritméticos entre (a_ {3} = −7 ) y (a_ {7} = 13 ).
  20.      
  21. Un contrato de salario de (5 ) años ofrece $ (58,200 ) para el primer año con un aumento de $ (4,200 ) cada año adicional. Determine la obligación salarial total durante el período de (5 ) años.
  22.      
  23. La primera fila de asientos en un teatro consta de (10 ​​) asientos. Cada fila sucesiva consta de cuatro asientos más que la fila anterior. Si hay (14 ) filas, ¿cuántos asientos totales hay en el teatro?
  24.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (1,661 )

     

3. (420 )

     

5. (1,842 )

     

7. (30,625 )

     

9. ( frac {1} {3}, 0, – frac {1} {3} )

     

11. $ (333,000 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Escribe los primeros (5 ) términos de la secuencia geométrica dado su primer término y relación común. Encuentra una fórmula para su término general.

 
         
  1. (a_ {1} = 5; r = 2 )
  2.      
  3. (a_ {1} = 3; r = -2 )
  4.      
  5. (a_ {1} = 1; r = – frac {3} {2} )
  6.      
  7. (a_ {1} = – 4; r = frac {1} {3} )
  8.      
  9. (a_ {1} = 1.2; r = 0.2 )
  10.      
  11. (a_ {1} = – 5.4; r = -0.1 )
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (5,10,20,40,80; a_ {n} = 5 (2) ^ {n-1} )

     

3. (1, – frac {3} {2}, frac {9} {4}, – frac {27} {8}, frac {81} {16}; a_ {n } = left (- frac {3} {2} right) ^ {n-1} )

     

5. (1.2,0.24,0.048,0.0096,0.00192; a_ {n} = 1.2 (0.2) ^ {n-1} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Dados los términos de una secuencia geométrica, encuentre una fórmula para el término general.

 
         
  1. (4, 40, 400,… )
  2.      
  3. (- 6, −30, −150,… )
  4.      
  5. (6, frac {9} {2}, frac {27} {8}, dots ) ​​
  6.      
  7. (1, frac {3} {5}, frac {9} {25}, dots ) ​​
  8.      
  9. (a_ {4} = – 4 ) y (a_ {9} = 128 )
  10.      
  11. (a_ {2} = – 1 ) y (a_ {5} = – 64 )
  12.      
  13. (a_ {2} = – frac {5} {2} ) y (a_ {5} = – frac {625} {16} )
  14.      
  15. (a_ {3} = 50 ) y (a_ {6} = – 6,250 )
  16.      
  17. Encuentra todas las medias geométricas entre (a_ {1} = −1 ) y (a_ {4} = 64 ).
  18.      
  19. Encuentra todas las medias geométricas entre (a_ {3} = 6 ) y (a_ {6} = 162 ).
  20.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (a_ {n} = 4 (10) ^ {n-1} )

     

3. (a_ {n} = 6 left ( frac {3} {4} right) ^ {n-1} )

     

5. (a_ {1} = frac {1} {2} (- 2) ^ {n-1} )

     

7. (a_ {n} = – left ( frac {5} {2} right) ^ {n-1} )

     

9. (4, 16 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Calcule la suma indicada dada la fórmula para el término general de una secuencia geométrica.

 
         
  1. (a_ {n} = 3 (4) ^ {n-1}; S_ {6} )
  2.      
  3. (a_ {n} = – 5 (3) ^ {n-1}; S_ {10} )
  4.      
  5. (a_ {n} = frac {3} {2} (- 2) ^ {n}; S_ {14} )
  6.      
  7. (a_ {n} = frac {1} {5} (- 3) ^ {n + 1}; S_ {12} )
  8.      
  9. (a_ {n} = 8 left ( frac {1} {2} right) ^ {n + 2}; S_ {8} )
  10.      
  11. (a_ {n} = frac {1} {8} (- 2) ^ {n + 2}; S_ {10} )
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (4,095 )

     

3. (16,383 )

     

5. ( frac {255} {128} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Evaluar.

 
         
  1. ( sum_ {n = 1} ^ {10} 3 (-4) ^ {n} )
  2.      
  3. ( sum_ {n = 1} ^ {9} – frac {3} {5} (- 2) ^ {n-1} )
  4.      
  5. ( sum_ {n = 1} ^ { infty} -3 left ( frac {2} {3} right) ^ {n} )
  6.      
  7. ( sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {2} left ( frac {4} {5} right) ^ {n + 1} )
  8.      
  9. ( sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {2} left (- frac {3} {2} right) ^ {n} )
  10.      
  11. ( sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {3} {2} left (- frac {1} {2} right) ^ {n} )
  12.      
  13. Después del primer año de operación, se informó que el valor de una camioneta de la compañía era $ (40,000 ). Debido a la depreciación, después del segundo año de operación, se informó que la camioneta tenía un valor de $ (32,000 ) y luego $ (25,600 ) después del tercer año de operación. Escriba una fórmula que dé el valor de la camioneta después del (n ) th año de operación. Úselo para determinar el valor de la camioneta después de (10 ​​) años de operación.
  14.      
  15. El número de células en un cultivo de bacterias se duplica cada (6 ) horas. Si las celdas (250 ) están inicialmente presentes, escriba una secuencia que muestre el número de celdas presentes después de cada período de (6 ) horas por un día. Escriba una fórmula que proporcione el número de celdas después del período de (n ) th (6 ) horas.
  16.      
  17. Una pelota rebota a la mitad de la altura desde la que cayó. Si se cae desde (32 ) pies, aproxima la distancia total que recorre la pelota.
  18.      
  19. Un acuerdo estructurado produce una cantidad en dólares cada año (n ) de acuerdo con la fórmula (p_ {n} = 12,500 (0.75) ^ {n-1} ). ¿Cuál es el valor total de un acuerdo de (10 ​​) años?
  20.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (2,516,580 )

     

3. (- 6 )

     

5. Sin suma

     

7. (v_ {n} = 40,000 (0.8) ^ {n-1}; v_ {10} = $ 5,368.71 )

     

9. (96 ) pies

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Clasifique la secuencia como aritmética, geométrica o ninguna.

 
         
  1. (4, 9, 14,… )
  2.      
  3. (6, 18, 54,… )
  4.      
  5. (- 1, – frac {1} {2}, 0, puntos )
  6.      
  7. (10,30,60, puntos )
  8.      
  9. (0,1,8, puntos )
  10.      
  11. (- 1, frac {2} {3}, – frac {4} {9}, ldots ) ​​
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Aritmética; (d = 5 )

     

3. Aritmética; (d = frac {1} {2} )

     

5. Ninguno

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Evaluar.

 
         
  1. ( sum_ {n = 1} ^ {4} n ^ {2} )
  2.      
  3. ( sum_ {n = 1} ^ {4} n ^ {3} )
  4.      
  5. ( sum_ {n = 1} ^ {32} (- 4 n + 5) )
  6.      
  7. ( sum_ {n = 1} ^ { infty} -2 left ( frac {1} {5} right) ^ {n-1} )
  8.      
  9. ( sum_ {n = 1} ^ {8} frac {1} {3} (- 3) ^ {n} )
  10.      
  11. ( sum_ {n = 1} ^ {46} left ( frac {1} {4} n- frac {1} {2} right) )
  12.      
  13. ( sum_ {n = 1} ^ {22} (3-n) )
  14.      
  15. ( sum_ {n = 1} ^ {31} 2 n )
  16.      
  17. ( sum_ {n = 1} ^ {28} 3 )
  18.      
  19. ( sum_ {n = 1} ^ {30} 3 (-1) ^ {n-1} )
  20.      
  21. ( sum_ {n = 1} ^ {31} 3 (-1) ^ {n-1} )
  22.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (30 )

     

3. (- 1,952 )

     

5. (1,640 )

     

7. (- 187 )

     

9. (84 )

     

11. (3 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Evaluar.

 
         
  1. (8! )
  2.      
  3. (11! )
  4.      
  5. ( frac {10!} {2! 6!} )
  6.      
  7. ( frac {9! 3!} {8!} )
  8.      
  9. ( frac {(n + 3)!} {N!} )
  10.      
  11. ( frac {(n-2)!} {(N + 1)!} )
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

2. (39,916,800 )

     

4. (54 )

     

6. ( frac {1} {n (n + 1) (n-1)} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Calcule el coeficiente binomial indicado.

 
         
  1. ( left ( begin {array} {l} {7} \ {4} end {array} right) )
  2.      
  3. ( left ( begin {array} {l} {8} \ {3} end {array} right) )
  4.      
  5. ( left ( begin {array} {c} {10} \ {5} end {array} right) )
  6.      
  7. ( left ( begin {array} {l} {11} \ {10} end {array} right) )
  8.      
  9. ( left ( begin {array} {c} {12} \ {0} end {array} right) )
  10.      
  11. ( left ( begin {array} {l} {n + 1} \ {n-1} end {array} right) )
  12.      
  13. ( left ( begin {array} {c} {n} \ {n-2} end {array} right) )
  14.  
 
     
Respuesta
     
     

2. (56 )

     

4. (11 )

     

6. ( frac {n (n + 1)} {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Expandir usando el teorema binomial.

 
         
  1. ((x + 7) ^ {3} )
  2.      
  3. ((x-9) ^ {3} )
  4.      
  5. ((2 y-3) ^ {4} )
  6.      
  7. ((y + 4) ^ {4} )
  8.      
  9. ((x + 2 y) ^ {5} )
  10.      
  11. ((3 x-y) ^ {5} )
  12.      
  13. ((u-v) ^ {6} )
  14.      
  15. ((u + v) ^ {6} )
  16.      
  17. ( left (5 x ^ {2} +2 y ^ {2} right) ^ {4} )
  18.      
  19. ( left (x ^ {3} -2 y ^ {2} right) ^ {4} )
  20.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x ^ {3} +21 x ^ {2} +147 x + 343 )

     

3. (16 y ^ {4} -96 y ^ {3} +216 y ^ {2} -216 y + 81 )

     

5. (x ^ {5} +10 x ^ {4} y + 40 x ^ {3} y ^ {2} +80 x ^ {2} y ^ {3} +80 xy ^ {4 } +32 y ^ {5} )

     

7. ( begin {array} {l} {u ^ {6} -6 u ^ {5} v + 15 u ^ {4} v ^ {2} -20 u ^ {3} v ^ {3}} {+15 u ^ {2} v ^ {4} -6 uv ^ {5} + v ^ {6}} end {array} )

     

9. (625 x ^ {8} +1,000 x ^ {6} y ^ {2} +600 x ^ {4} y ^ {4} +160 x ^ {2} y ^ {6} + 16 y ^ {8} )

     
 
 
 

Examen de muestra

 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Encuentra los primeros (5 ) términos de la secuencia.

 
         
  1. (a_ {n} = 6 n-15 )
  2.      
  3. (a_ {n} = 5 (-4) ^ {n-2} )
  4.      
  5. (a_ {n} = frac {n-1} {2 n-1} )
  6.      
  7. (a_ {n} = (- 1) ^ {n-1} x ^ {2 n} )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- 9, -3,3,9,15 )

     

3. (0, frac {1} {3}, frac {2} {5}, frac {3} {7}, frac {4} {9} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Encuentre la suma parcial indicada

 
         
  1. (a_ {n} = (n-1) n ^ {2}; S_ {4} )
  2.      
  3. ( sum_ {k = 1} ^ {5} (- 1) ^ {k} 2 ^ {k-2} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (70 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Clasifique la secuencia como aritmética, geométrica o ninguna.

 
         
  1. (- 1, – frac {3} {2}, – 2, ldots ) ​​
  2.      
  3. (1, -6,36, puntos )
  4.      
  5. ( frac {3} {8}, – frac {3} {4}, frac {3} {2}, ldots ) ​​
  6.      
  7. ( frac {1} {2}, frac {1} {4}, frac {2} {9}, ldots ) ​​
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Aritmética

     

3. Geométrica

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Dados los términos de una secuencia aritmética, encuentre una fórmula para el término general.

 
         
  1. (10,5,0, -5, -10, puntos )
  2.      
  3. (a_ {4} = – frac {1} {2} ) y (a_ {9} = 2 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (a_ {n} = 15-5 n )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Dados los términos de una secuencia geométrica, encuentre una fórmula para el término general.

 
         
  1. (- frac {1} {8}, – frac {1} {2}, – 2, -8, -32, ldots ) ​​
  2.      
  3. (a_ {3} = 1 ) y (a_ {8} = – 32 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (a_ {n} = – frac {1} {8} (4) ^ {n-1} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Calcule la suma indicada.

 
         
  1. (a_ {n} = 5-n; S_ {44} )
  2.      
  3. (a_ {n} = (- 2) ^ {n + 2}; S_ {12} )
  4.      
  5. ( sum_ {n = 1} ^ { infty} 4 left (- frac {1} {2} right) ^ {n-1} )
  6.      
  7. ( sum_ {n = 1} ^ {100} left (2 n- frac {3} {2} right) )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- 770 )

     

3. ( frac {8} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Evaluar.

 
         
  1. ( frac {14!} {10! 6!} )
  2.      
  3. ( left ( begin {array} {l} {9} \ {7} end {array} right) )
  4.      
  5. Determine la suma de los primeros (48 ) enteros impares positivos.
  6.      
  7. La primera fila de asientos en un teatro consta de (14 ) asientos. Cada fila sucesiva consta de dos asientos más que la fila anterior. Si hay (22 ) filas, ¿cuántos asientos totales hay en el teatro?
  8.      
  9. Una pelota rebota a un tercio de la altura desde la que cayó. Si se cae desde (27 ) pies, aproxima la distancia total que recorre la pelota.
  10.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( frac {1,001} {30} )

     

3. (2,304 )

     

5. (54 ) pies

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Expandir usando el teorema binomial.

 
         
  1. ((x-5 y) ^ {4} )
  2.      
  3. ( left (3 a + b ^ {2} right) ^ {5} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

2. ( begin {array} {l} {243 a ^ {5} +405 a ^ {4} b ^ {2} +270 a ^ {3} b ^ {4}} {+90 a ^ {2} b ^ {6} +15 ab ^ {8} + b ^ {10}} end {array} )

     
 
 
 
                                  
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