Ejercicio ( PageIndex {1} )
Encuentre los primeros términos (5 ) de la secuencia, así como el término (30 ^ {th} ).
- (a_ {n} = 5 n-3 )
- (a_ {n} = – 4 n + 3 )
- (a_ {n} = – 10 n )
- (a_ {n} = 3 n )
- (a_ {n} = (- 1) ^ {n} (n-2) ^ {2} )
- (a_ {n} = frac {(- 1) ^ {n}} {2 n-1} )
- (a_ {n} = frac {2 n + 1} {n} )
- (a_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} (n-1) )
- Respuesta
-
1. (2,7,12,17,22; a_ {30} = 147 )
3. (- 10, -20, -30, -40, -50; a_ {30} = – 300 )
5. (- 1,0, -1,4, -9; a_ {30} = 784 )
7. (3, frac {5} {2}, frac {7} {3}, frac {9} {4}, frac {11} {5}; a_ {30} = frac {61} {30} )
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Encuentra los primeros (5 ) términos de la secuencia.
- (a_ {n} = frac {n x ^ {n}} {2 n + 1} )
- (a_ {n} = frac {(- 1) ^ {n-1} x ^ {n + 2}} {n} )
- (a_ {n} = 2 ^ {n} x ^ {2 n} )
- (a_ {n} = (- 3 x) ^ {n-1} )
- (a_ {n} = a_ {n-1} +5 ) donde (a_ {1} = 0 )
- (a_ {n} = 4 a_ {n-1} +1 ) donde (a_ {1} = – 2 )
- (a_ {n} = a_ {n-2} -3 a_ {n-1} ) donde (a_ {1} = 0 ) y (a_ {2} = – 3 ) [ 19459007]
- (a_ {n} = 5 a_ {n-2} -a_ {n-1} ) donde (a_ {1} = – 1 ) y (a_ {2} = 0 ) [ 19459007]
- Respuesta
-
1. ( frac {x} {3}, frac {2 x ^ {2}} {5}, frac {3 x ^ {3}} {7}, frac {4 x ^ {4}} {9}, frac {5 x ^ {5}} {11} )
3. (2 x ^ {2}, 4 x ^ {4}, 8 x ^ {6}, 16 x ^ {8}, 32 x ^ {10} )
5. (0, 5, 10, 15, 20 )
7. (0, −3, 9, −30, 99 )
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Encuentra la suma parcial indicada.
- (1,4,7,10,13, puntos; S_ {5} )
- (3,1, -1, -3, -5, puntos; S_ {5} )
- (- 1,3, -5,7, -9, ldots; S_ {4} )
- (a_ {n} = (- 1) ^ {n} n ^ {2}; S_ {4} )
- (a_ {n} = – 3 (n-2) ^ {2}; S_ {4} )
- (a_ {n} = left (- frac {1} {5} right) ^ {n-2}; S_ {4} )
- Respuesta
-
1. (35 )
3. (- 5 )
5. (- 18 )
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Evaluar.
- ( sum_ {k = 1} ^ {6} (1-2 k) )
- ( sum_ {k = 1} ^ {4} (- 1) ^ {k} 3 k ^ {2} )
- ( sum_ {n = 1} ^ {3} frac {n + 1} {n} )
- ( sum_ {n = 1} ^ {7} 5 (-1) ^ {n-1} )
- ( sum_ {k = 4} ^ {8} (1-k) ^ {2} )
- ( sum_ {k = -2} ^ {2} left ( frac {2} {3} right) ^ {k} )
- Respuesta
-
1. (- 36 )
3. ( frac {29} {6} )
5. (135 )
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Escribe los primeros términos (5 ) de la secuencia aritmética dado su primer término y diferencia común. Encuentra una fórmula para su término general.
- (a_ {1} = 6; d = 5 )
- (a_ {1} = 5; d = 7 )
- (a_ {1} = 5; d = -3 )
- (a_ {1} = – frac {3} {2}; d = – frac {1} {2} )
- (a_ {1} = – frac {3} {4}; d = – frac {3} {4} )
- (a_ {1} = – 3.6; d = 1.2 )
- (a_ {1} = 7; d = 0 )
- (a_ {1} = 1; d = 1 )
- Respuesta
-
1. (6,11,16,21,26; a_ {n} = 5 n + 1 )
3. (5,2, -1, -4, -7; a_ {n} = 8-3 n )
5. (- frac {3} {4}, – frac {3} {2}, – frac {9} {4}, – 3, – frac {15} {4}; a_ {n} = – frac {3} {4} n )
7. (7,7,7,7,7; a_ {n} = 7 )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Dados los términos de una secuencia aritmética, encuentre una fórmula para el término general.
- (10, 20, 30, 40, 50,… )
- (- 7, −5, −3, −1, 1,… )
- (- 2, −5, −8, −11, −14,… )
- (- frac {1} {3}, 0, frac {1} {3}, frac {2} {3}, 1, ldots )
- (a_ {4} = 11 ) y (a_ {9} = 26 )
- (a_ {5} = – 5 ) y (a_ {10} = – 15 )
- (a_ {6} = 6 ) y (a_ {24} = 15 )
- (a_ {3} = – 1.4 ) y (a_ {7} = 1 )
- Respuesta
-
1. (a_ {n} = 10 n )
3. (a_ {n} = 1-3 n )
5. (a_ {n} = 3 n-1 )
7. (a_ {n} = frac {1} {2} n + 3 )
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Calcule la suma indicada dada la fórmula para el término general de una secuencia aritmética.
- (a_ {n} = 4 n-3; S_ {60} )
- (a_ {n} = – 2 n + 9; S_ {35} )
- (a_ {n} = frac {1} {5} n- frac {1} {2}; S_ {15} )
- (a_ {n} = – n + frac {1} {4}; S_ {20} )
- (a_ {n} = 1.8 n-4.2; S_ {45} )
- (a_ {n} = – 6.5 n + 3; S_ {35} )
- Respuesta
-
1. (7,140 )
3. ( frac {33} {2} )
5. (1,674 )
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Evaluar.
- ( sum_ {n = 1} ^ {22} (7 n-5) )
- ( sum_ {n = 1} ^ {100} (1-4 n) )
- ( sum_ {n = 1} ^ {35} left ( frac {2} {3} n right) )
- ( sum_ {n = 1} ^ {30} left (- frac {1} {4} n + 1 right) )
- ( sum_ {n = 1} ^ {40} (2.3 n-1.1) )
- ( sum_ {n = 1} ^ {300} n )
- Encuentre la suma de los primeros (175 ) enteros impares positivos.
- Encuentre la suma de los primeros (175 ) enteros pares positivos.
- Encuentre todas las medias aritméticas entre (a_ {1} = frac {2} {3} ) y (a_ {5} = – frac {2} {3} )
- Encuentre todos los medios aritméticos entre (a_ {3} = −7 ) y (a_ {7} = 13 ).
- Un contrato de salario de (5 ) años ofrece $ (58,200 ) para el primer año con un aumento de $ (4,200 ) cada año adicional. Determine la obligación salarial total durante el período de (5 ) años.
- La primera fila de asientos en un teatro consta de (10 ) asientos. Cada fila sucesiva consta de cuatro asientos más que la fila anterior. Si hay (14 ) filas, ¿cuántos asientos totales hay en el teatro?
- Respuesta
-
1. (1,661 )
3. (420 )
5. (1,842 )
7. (30,625 )
9. ( frac {1} {3}, 0, – frac {1} {3} )
11. $ (333,000 )
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Escribe los primeros (5 ) términos de la secuencia geométrica dado su primer término y relación común. Encuentra una fórmula para su término general.
- (a_ {1} = 5; r = 2 )
- (a_ {1} = 3; r = -2 )
- (a_ {1} = 1; r = – frac {3} {2} )
- (a_ {1} = – 4; r = frac {1} {3} )
- (a_ {1} = 1.2; r = 0.2 )
- (a_ {1} = – 5.4; r = -0.1 )
- Respuesta
-
1. (5,10,20,40,80; a_ {n} = 5 (2) ^ {n-1} )
3. (1, – frac {3} {2}, frac {9} {4}, – frac {27} {8}, frac {81} {16}; a_ {n } = left (- frac {3} {2} right) ^ {n-1} )
5. (1.2,0.24,0.048,0.0096,0.00192; a_ {n} = 1.2 (0.2) ^ {n-1} )
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Dados los términos de una secuencia geométrica, encuentre una fórmula para el término general.
- (4, 40, 400,… )
- (- 6, −30, −150,… )
- (6, frac {9} {2}, frac {27} {8}, dots )
- (1, frac {3} {5}, frac {9} {25}, dots )
- (a_ {4} = – 4 ) y (a_ {9} = 128 )
- (a_ {2} = – 1 ) y (a_ {5} = – 64 )
- (a_ {2} = – frac {5} {2} ) y (a_ {5} = – frac {625} {16} )
- (a_ {3} = 50 ) y (a_ {6} = – 6,250 )
- Encuentra todas las medias geométricas entre (a_ {1} = −1 ) y (a_ {4} = 64 ).
- Encuentra todas las medias geométricas entre (a_ {3} = 6 ) y (a_ {6} = 162 ).
- Respuesta
-
1. (a_ {n} = 4 (10) ^ {n-1} )
3. (a_ {n} = 6 left ( frac {3} {4} right) ^ {n-1} )
5. (a_ {1} = frac {1} {2} (- 2) ^ {n-1} )
7. (a_ {n} = – left ( frac {5} {2} right) ^ {n-1} )
9. (4, 16 )
Ejercicio ( PageIndex {11} )
Calcule la suma indicada dada la fórmula para el término general de una secuencia geométrica.
- (a_ {n} = 3 (4) ^ {n-1}; S_ {6} )
- (a_ {n} = – 5 (3) ^ {n-1}; S_ {10} )
- (a_ {n} = frac {3} {2} (- 2) ^ {n}; S_ {14} )
- (a_ {n} = frac {1} {5} (- 3) ^ {n + 1}; S_ {12} )
- (a_ {n} = 8 left ( frac {1} {2} right) ^ {n + 2}; S_ {8} )
- (a_ {n} = frac {1} {8} (- 2) ^ {n + 2}; S_ {10} )
- Respuesta
-
1. (4,095 )
3. (16,383 )
5. ( frac {255} {128} )
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Evaluar.
- ( sum_ {n = 1} ^ {10} 3 (-4) ^ {n} )
- ( sum_ {n = 1} ^ {9} – frac {3} {5} (- 2) ^ {n-1} )
- ( sum_ {n = 1} ^ { infty} -3 left ( frac {2} {3} right) ^ {n} )
- ( sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {2} left ( frac {4} {5} right) ^ {n + 1} )
- ( sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {2} left (- frac {3} {2} right) ^ {n} )
- ( sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {3} {2} left (- frac {1} {2} right) ^ {n} )
- Después del primer año de operación, se informó que el valor de una camioneta de la compañía era $ (40,000 ). Debido a la depreciación, después del segundo año de operación, se informó que la camioneta tenía un valor de $ (32,000 ) y luego $ (25,600 ) después del tercer año de operación. Escriba una fórmula que dé el valor de la camioneta después del (n ) th año de operación. Úselo para determinar el valor de la camioneta después de (10 ) años de operación.
- El número de células en un cultivo de bacterias se duplica cada (6 ) horas. Si las celdas (250 ) están inicialmente presentes, escriba una secuencia que muestre el número de celdas presentes después de cada período de (6 ) horas por un día. Escriba una fórmula que proporcione el número de celdas después del período de (n ) th (6 ) horas.
- Una pelota rebota a la mitad de la altura desde la que cayó. Si se cae desde (32 ) pies, aproxima la distancia total que recorre la pelota.
- Un acuerdo estructurado produce una cantidad en dólares cada año (n ) de acuerdo con la fórmula (p_ {n} = 12,500 (0.75) ^ {n-1} ). ¿Cuál es el valor total de un acuerdo de (10 ) años?
- Respuesta
-
1. (2,516,580 )
3. (- 6 )
5. Sin suma
7. (v_ {n} = 40,000 (0.8) ^ {n-1}; v_ {10} = $ 5,368.71 )
9. (96 ) pies
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Clasifique la secuencia como aritmética, geométrica o ninguna.
- (4, 9, 14,… )
- (6, 18, 54,… )
- (- 1, – frac {1} {2}, 0, puntos )
- (10,30,60, puntos )
- (0,1,8, puntos )
- (- 1, frac {2} {3}, – frac {4} {9}, ldots )
- Respuesta
-
1. Aritmética; (d = 5 )
3. Aritmética; (d = frac {1} {2} )
5. Ninguno
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Evaluar.
- ( sum_ {n = 1} ^ {4} n ^ {2} )
- ( sum_ {n = 1} ^ {4} n ^ {3} )
- ( sum_ {n = 1} ^ {32} (- 4 n + 5) )
- ( sum_ {n = 1} ^ { infty} -2 left ( frac {1} {5} right) ^ {n-1} )
- ( sum_ {n = 1} ^ {8} frac {1} {3} (- 3) ^ {n} )
- ( sum_ {n = 1} ^ {46} left ( frac {1} {4} n- frac {1} {2} right) )
- ( sum_ {n = 1} ^ {22} (3-n) )
- ( sum_ {n = 1} ^ {31} 2 n )
- ( sum_ {n = 1} ^ {28} 3 )
- ( sum_ {n = 1} ^ {30} 3 (-1) ^ {n-1} )
- ( sum_ {n = 1} ^ {31} 3 (-1) ^ {n-1} )
- Respuesta
-
1. (30 )
3. (- 1,952 )
5. (1,640 )
7. (- 187 )
9. (84 )
11. (3 )
Ejercicio ( PageIndex {15} )
Evaluar.
- (8! )
- (11! )
- ( frac {10!} {2! 6!} )
- ( frac {9! 3!} {8!} )
- ( frac {(n + 3)!} {N!} )
- ( frac {(n-2)!} {(N + 1)!} )
- Respuesta
-
2. (39,916,800 )
4. (54 )
6. ( frac {1} {n (n + 1) (n-1)} )
Ejercicio ( PageIndex {16} )
Calcule el coeficiente binomial indicado.
- ( left ( begin {array} {l} {7} \ {4} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {8} \ {3} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {c} {10} \ {5} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {11} \ {10} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {c} {12} \ {0} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {n + 1} \ {n-1} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {c} {n} \ {n-2} end {array} right) )
- Respuesta
-
2. (56 )
4. (11 )
6. ( frac {n (n + 1)} {2} )
Ejercicio ( PageIndex {17} )
Expandir usando el teorema binomial.
- ((x + 7) ^ {3} )
- ((x-9) ^ {3} )
- ((2 y-3) ^ {4} )
- ((y + 4) ^ {4} )
- ((x + 2 y) ^ {5} )
- ((3 x-y) ^ {5} )
- ((u-v) ^ {6} )
- ((u + v) ^ {6} )
- ( left (5 x ^ {2} +2 y ^ {2} right) ^ {4} )
- ( left (x ^ {3} -2 y ^ {2} right) ^ {4} )
- Respuesta
-
1. (x ^ {3} +21 x ^ {2} +147 x + 343 )
3. (16 y ^ {4} -96 y ^ {3} +216 y ^ {2} -216 y + 81 )
5. (x ^ {5} +10 x ^ {4} y + 40 x ^ {3} y ^ {2} +80 x ^ {2} y ^ {3} +80 xy ^ {4 } +32 y ^ {5} )
7. ( begin {array} {l} {u ^ {6} -6 u ^ {5} v + 15 u ^ {4} v ^ {2} -20 u ^ {3} v ^ {3}} {+15 u ^ {2} v ^ {4} -6 uv ^ {5} + v ^ {6}} end {array} )
9. (625 x ^ {8} +1,000 x ^ {6} y ^ {2} +600 x ^ {4} y ^ {4} +160 x ^ {2} y ^ {6} + 16 y ^ {8} )
Examen de muestra
Ejercicio ( PageIndex {18} )
Encuentra los primeros (5 ) términos de la secuencia.
- (a_ {n} = 6 n-15 )
- (a_ {n} = 5 (-4) ^ {n-2} )
- (a_ {n} = frac {n-1} {2 n-1} )
- (a_ {n} = (- 1) ^ {n-1} x ^ {2 n} )
- Respuesta
-
1. (- 9, -3,3,9,15 )
3. (0, frac {1} {3}, frac {2} {5}, frac {3} {7}, frac {4} {9} )
Ejercicio ( PageIndex {19} )
Encuentre la suma parcial indicada
- (a_ {n} = (n-1) n ^ {2}; S_ {4} )
- ( sum_ {k = 1} ^ {5} (- 1) ^ {k} 2 ^ {k-2} )
- Respuesta
-
1. (70 )
Ejercicio ( PageIndex {20} )
Clasifique la secuencia como aritmética, geométrica o ninguna.
- (- 1, – frac {3} {2}, – 2, ldots )
- (1, -6,36, puntos )
- ( frac {3} {8}, – frac {3} {4}, frac {3} {2}, ldots )
- ( frac {1} {2}, frac {1} {4}, frac {2} {9}, ldots )
- Respuesta
-
1. Aritmética
3. Geométrica
Ejercicio ( PageIndex {21} )
Dados los términos de una secuencia aritmética, encuentre una fórmula para el término general.
- (10,5,0, -5, -10, puntos )
- (a_ {4} = – frac {1} {2} ) y (a_ {9} = 2 )
- Respuesta
-
1. (a_ {n} = 15-5 n )
Ejercicio ( PageIndex {22} )
Dados los términos de una secuencia geométrica, encuentre una fórmula para el término general.
- (- frac {1} {8}, – frac {1} {2}, – 2, -8, -32, ldots )
- (a_ {3} = 1 ) y (a_ {8} = – 32 )
- Respuesta
-
1. (a_ {n} = – frac {1} {8} (4) ^ {n-1} )
Ejercicio ( PageIndex {23} )
Calcule la suma indicada.
- (a_ {n} = 5-n; S_ {44} )
- (a_ {n} = (- 2) ^ {n + 2}; S_ {12} )
- ( sum_ {n = 1} ^ { infty} 4 left (- frac {1} {2} right) ^ {n-1} )
- ( sum_ {n = 1} ^ {100} left (2 n- frac {3} {2} right) )
- Respuesta
-
1. (- 770 )
3. ( frac {8} {3} )
Ejercicio ( PageIndex {24} )
Evaluar.
- ( frac {14!} {10! 6!} )
- ( left ( begin {array} {l} {9} \ {7} end {array} right) )
- Determine la suma de los primeros (48 ) enteros impares positivos.
- La primera fila de asientos en un teatro consta de (14 ) asientos. Cada fila sucesiva consta de dos asientos más que la fila anterior. Si hay (22 ) filas, ¿cuántos asientos totales hay en el teatro?
- Una pelota rebota a un tercio de la altura desde la que cayó. Si se cae desde (27 ) pies, aproxima la distancia total que recorre la pelota.
- Respuesta
-
1. ( frac {1,001} {30} )
3. (2,304 )
5. (54 ) pies
Ejercicio ( PageIndex {25} )
Expandir usando el teorema binomial.
- ((x-5 y) ^ {4} )
- ( left (3 a + b ^ {2} right) ^ {5} )
- Respuesta
-
2. ( begin {array} {l} {243 a ^ {5} +405 a ^ {4} b ^ {2} +270 a ^ {3} b ^ {4}} {+90 a ^ {2} b ^ {6} +15 ab ^ {8} + b ^ {10}} end {array} )