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las matematicas

Capítulo 12 Ejercicios de repaso

Secuencias

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ) Escribe los primeros términos de una secuencia

 

En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

 
         
  1. (a_ {n} = 7 n-5 )
  2.      
  3. (a_ {n} = 3 ^ {n} +4 )
  4.      
  5. (a_ {n} = 2 ^ {n} + n )
  6.      
  7. (a_ {n} = frac {2 n + 1} {4 ^ {n}} )
  8.      
  9. (a_ {n} = frac {(- 1) ^ {n}} {n ^ {2}} )
  10.  
 
     
Respuesta
     
     

2. (7,13,31,85,247 )

     

4. ( frac {3} {4}, frac {5} {16}, frac {7} {64}, frac {9} {256}, frac {11} {1024 } )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ) Encuentra una fórmula para el término general ( (n ) th Término de una secuencia

 

En los siguientes ejercicios, encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.

 
         
  1. (9,18,27,36,45, puntos )
  2.      
  3. (- 5, -4, -3, -2, -1, puntos )
  4.      
  5. ( frac {1} {e ^ {3}}, frac {1} {e ^ {2}}, frac {1} {e}, 1, e, ldots ) ​​[19459010 ]      
  6. (1, -8,27, -64,125, ldots ) ​​
  7.      
  8. (- frac {1} {3}, – frac {1} {2}, – frac {3} {5}, – frac {2} {3}, – frac {5 } {7}, puntos )
  9.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (a_ {n} = 9 n )

     

3. (a_ {n} = e ^ {n-4} )

     

5. (a_ {n} = – frac {n} {n + 2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ) Usar notación factorial

 

En los siguientes ejercicios, usando notación factorial, escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

 
         
  1. (a_ {n} = 4 n! )
  2.      
  3. (a_ {n} = frac {n!} {(N + 2)!} )
  4.      
  5. (a_ {n} = frac {(n-1)!} {(N + 1) ^ {2}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

2. ( frac {1} {6}, frac {1} {12}, frac {1} {20}, frac {1} {30}, frac {1} {42 } )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ) Encuentra la suma parcial

 

En los siguientes ejercicios, expanda la suma parcial y encuentre su valor.

 
         
  1. ( sum_ {i = 1} ^ {7} (2 i-5) )
  2.      
  3. ( sum_ {i = 1} ^ {3} 5 ^ {i} )
  4.      
  5. ( sum_ {k = 0} ^ {4} frac {4} {k!} )
  6.      
  7. ( sum_ {k = 1} ^ {4} (k + 1) (2 k + 1) )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( begin {array} {l} {- 3 + (- 1) + 1 + 3 + 5} {+ 7 + 9 = 21} end {array} )

     

3. (4 + 4 + 2 + frac {2} {3} + frac {1} {6} = frac {65} {6} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ) Usa la notación de suma para escribir una suma

 

En los siguientes ejercicios, escribe cada suma usando la notación de sumatoria.

 
         
  1. (- frac {1} {3} + frac {1} {9} – frac {1} {27} + frac {1} {81} – frac {1} {243} )
  2.      
  3. (4-8 + 12-16 + 20-24 )
  4.      
  5. (4 + 2 + frac {4} {3} +1+ frac {4} {5} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( sum_ {n = 1} ^ {5} (- 1) ^ {n} frac {1} {3 ^ {n}} )

     

3. ( sum_ {n = 1} ^ {5} frac {4} {n} )

     
 
 
 

Secuencias aritméticas

 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ) Determinar si una secuencia es aritmética

 

En los siguientes ejercicios, determine si cada secuencia es aritmética y, de ser así, indique la diferencia común.

 
         
  1. (1,2,4,8,16,32, puntos )
  2.      
  3. (- 7, -1,5,11,17,23, puntos )
  4.      
  5. (13,9,5,1, -3, -7, puntos )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

2. La secuencia es aritmética con diferencia común (d = 6 ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ) Determinar si una secuencia es aritmética

 

En los siguientes ejercicios, escriba los primeros cinco términos de cada secuencia aritmética con el primer término dado y la diferencia común.

 
         
  1. (a_ {1} = 5 ) y (d = 3 )
  2.      
  3. (a_ {1} = 8 ) y (d = -2 )
  4.      
  5. (a_ {1} = – 13 ) y (d = 6 )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (5,8,11,14,17 )

     

3. (- 13, -7, -1,5,11 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ) Encuentra el término general ( (n ) th Término) de una secuencia aritmética

 

En los siguientes ejercicios, encuentre el término descrito utilizando la información provista.

 
         
  1. Encuentra el vigésimo quinto término de una secuencia donde el primer término es cinco y la diferencia común es tres.
  2.      
  3. Encuentre el trigésimo término de una secuencia donde el primer término es (16 ) y la diferencia común es (- 5 ).
  4.      
  5. Encuentre el decimoséptimo término de una secuencia donde el primer término es (- 21 ) y la diferencia común es dos.
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

2. (- 129 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ) Encuentra el término general ( (n ) th Término) de una secuencia aritmética

 

En los siguientes ejercicios, encuentre el término indicado y proporcione la fórmula para el término general.

 
         
  1. Encuentra el decimoctavo término de una secuencia donde el quinto término es (12 ) y la diferencia común es siete.
  2.      
  3. Encuentre el vigésimo primer término de una secuencia donde el séptimo término es (14 ) y la diferencia común es (- 3 ).
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (a_ {18} = 103. ) El término general es (a_ {n} = 7 n-23 ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ) Encuentra el término general ( (n ) th Término) de una secuencia aritmética

 

En los siguientes ejercicios, encuentre el primer término y la diferencia común de la secuencia con los términos dados. Da la fórmula para el término general.

 
         
  1. El quinto término es (17 ) y el decimocuarto término es (53 ).
  2.      
  3. El tercer término es (- 26 ) y el decimosexto término es (- 91 ).
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (a_ {1} = 1, d = 4. ) El término general es (a_ {n} = 4 n-3 ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ) Encuentra la suma de los primeros (n ) términos de una secuencia aritmética

 

En los siguientes ejercicios, encuentre la suma de los primeros (30 ) términos de cada secuencia aritmética.

 
         
  1. (7,4,1, -2, -5, puntos )
  2.      
  3. (1,6,11,16,21, ldots ) ​​
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- 430 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ) Encuentre la suma de los primeros (n ) términos de una secuencia aritmética

 

En los siguientes ejercicios, encuentre la suma de los primeros quince términos de la secuencia aritmética cuyo término general se da.

 
         
  1. (a_ {n} = 4 n + 7 )
  2.      
  3. (a_ {n} = – 2 n + 19 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (585 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ) Encuentra la suma de los primeros (n ) términos de una secuencia aritmética

 

En los siguientes ejercicios, encuentre cada suma.

 
         
  1. ( sum_ {i = 1} ^ {50} (4 i-5) )
  2.      
  3. ( sum_ {i = 1} ^ {30} (- 3 i-7) )
  4.      
  5. ( sum_ {i = 1} ^ {35} (i + 10) )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (4850 )

     

3. (980 )

     
 
 
 

Secuencias geométricas y series

 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ) Determinar si una secuencia es geométrica

 

En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica y, de ser así, indique la razón común.

 
         
  1. (3,12,48,192,768,3072, puntos )
  2.      
  3. (5,10,15,20,25,30, puntos )
  4.      
  5. (112,56,28,14,7, frac {7} {2}, ldots ) ​​
  6.      
  7. (9, -18,36, -72,144, -288, puntos )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

2. La secuencia no es geométrica.

     

4. La secuencia es geométrica con relación común (r = −2 ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ) Determinar si una secuencia es geométrica

 

En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de cada secuencia geométrica con el primer término dado y la razón común.

 
         
  1. (a_ {1} = – 3 ) y (r = 5 )
  2.      
  3. (a_ {1} = 128 ) y (r = frac {1} {4} )
  4.      
  5. (a_ {1} = 5 ) y (r = -3 )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

2. (128,32,8,2, frac {1} {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ) Encuentra el término general ( (n ) th Término) de una secuencia geométrica

 

En los siguientes ejercicios, encuentre el término indicado de una secuencia donde se da el primer término y la razón común.

 
         
  1. Encuentra (a_ {9} ) dado (a_ {1} = 6 ) y (r = 2 )
  2.      
  3. Encuentra (a_ {11} ) dado (a_ {1} = 10,000,000 ) y (r = 0.1 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (1,536 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} ) Encuentra el término general ( (n ) th Término) de una secuencia geométrica

 

En los siguientes ejercicios, encuentre el término indicado de la secuencia dada. Encuentra el término general de la secuencia.

 
         
  1. Encuentra (a_ {12} ) de la secuencia, (6, -24,96, -384,1536, -6144, dots ) ​​
  2.      
  3. Encuentra (a_ {9} ) de la secuencia, (4374,1458,486,162,54,18, ldots ) ​​
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (a_ {12} = – 25,165,824. ) El término general es (a_ {n} = 6 (-4) ^ {n-1} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} ) Encuentra la suma de los primeros términos (n ) de una secuencia geométrica

 

En los siguientes ejercicios, encuentre la suma de los primeros quince términos de cada secuencia geométrica.

 
         
  1. (- 4,8, -16,32, -64,128 ldots ) ​​
  2.      
  3. (3,12,48,192,768,3072 ldots ) ​​
  4.      
  5. (3125,625,125,25,5,1 ldots ) ​​
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (5,460 )

     

3. ( aprox. 3906.25 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} ) encuentra la suma de los primeros términos (n ) de una secuencia geométrica

 

En los siguientes ejercicios, encuentre la suma

 
         
  1. ( sum_ {i = 1} ^ {8} 7 (3) ^ {i} )
  2.      
  3. ( sum_ {i = 1} ^ {6} 24 left ( frac {1} {2} right) ^ {i} )
  4.  
 
     
 
     
Respuesta
     
     

2. ( frac {189} {8} = 23.625 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} ) Encuentra la suma de una serie geométrica infinita

 

En los siguientes ejercicios, encuentre la suma de cada serie geométrica infinita.

 
         
  1. (1- frac {1} {3} + frac {1} {9} – frac {1} {27} + frac {1} {81} – frac {1} {243 } + frac {1} {729} – dots ) ​​
  2.      
  3. (49 + 7 + 1 + frac {1} {7} + frac {1} {49} + frac {1} {343} + ldots ) ​​
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

2. ( frac {343} {6} aprox 57.167 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} ) Encuentra la suma de una serie geométrica infinita

 

En los siguientes ejercicios, escribe cada decimal repetido como una fracción.

 
         
  1. (0. Overline {8} )
  2.      
  3. (0. Overline {36} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

2. ( frac {4} {11} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} ) Aplicar secuencias y series geométricas en el mundo real

 

En los siguientes ejercicios, resuelve el problema.

 
         
  1. ¿Cuál es el efecto total en la economía de un reembolso de impuestos del gobierno de $ (360 ) a cada hogar para estimular la economía si cada hogar gastará (60 )% del reembolso en bienes y servicios ?
  2.      
  3. Adam acaba de obtener su primer trabajo a tiempo completo después de graduarse de la escuela secundaria a los 17 años. Decidió invertir $ (300 ) por mes en una IRA (una anualidad). El interés de la anualidad es (7 )% que se capitaliza mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta de Adam cuando se retire a los sesenta y siete años?
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

2. ( $ 1,634,421.27 )

     
 
 
 

Teorema binomial

 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} ) Usa el triángulo de Pascal para expandir un binomio

 

En los siguientes ejercicios, expande cada binomio usando el Triángulo de Pascal.

 
         
  1. ((a + b) ^ {7} )
  2.      
  3. ((x-y) ^ {4} )
  4.      
  5. ((x + 6) ^ {3} )
  6.      
  7. ((2 y-3) ^ {5} )
  8.      
  9. ((7 x + 2 y) ^ {3} )
  10.  
 
     
Respuesta
     
     

2. (x ^ {4} -4 x ^ {3} y + 6 x ^ {2} y ^ {2} -4 x y ^ {3} + y ^ {4} )

     

4. ( begin {array} {l} {32 y ^ {5} -240 y ^ {4} +720 y ^ {3} -1080 y ^ {2}} {+810 y-243 } end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} ) Evaluar un coeficiente binomial

 

En los siguientes ejercicios, evalúa.

 
         
  1.      
               
    1. ( left ( begin {array} {l} {11} \ {1} end {array} right) )
    2.          
    3. ( left ( begin {array} {l} {12} \ {12} end {array} right) )
    4.          
    5. ( left ( begin {array} {l} {13} \ {0} end {array} right) )
    6.          
    7. ( left ( begin {array} {l} {8} \ {3} end {array} right) )
    8.      
         
  2.      
  3.      
               
    1. ( left ( begin {array} {l} {7} \ {1} end {array} right) )
    2.          
    3. ( left ( begin {array} {l} {5} \ {5} end {array} right) )
    4.          
    5. ( left ( begin {array} {l} {9} \ {0} end {array} right) )
    6.          
    7. ( left ( begin {array} {l} {9} \ {5} end {array} right) )
    8.      
         
  4.      
  5.      
               
    1. ( left ( begin {array} {l} {1} \ {1} end {array} right) )
    2.          
    3. ( left ( begin {array} {l} {15} \ {15} end {array} right) )
    4.          
    5. ( left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) )
    6.          
    7. ( left ( begin {array} {l} {11} \ {2} end {array} right) )
    8.      
         
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

     
             
  1. (11 )
  2.          
  3. (1 )
  4.          
  5. (1 )
  6.          
  7. (56 )
  8.      
     

3.

     
             
  1. (1 )
  2.          
  3. (1 )
  4.          
  5. (1 )
  6.          
  7. (55 )
  8.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} ) Usa el teorema del binomio para expandir un binomio

 

En los siguientes ejercicios, expanda cada binomio, utilizando el Teorema del binomio.

 
         
  1. ((p + q) ^ {6} )
  2.      
  3. ((t-1) ^ {9} )
  4.      
  5. ((2 x + 1) ^ {4} )
  6.      
  7. ((4 x + 3 y) ^ {4} )
  8.      
  9. ((x-3 y) ^ {5} )
  10.  
 
     
Respuesta
     
     

2. ( begin {array} {l} {t ^ {9} -9 t ^ {8} +36 t ^ {7} -84 t ^ {6} +126 t ^ {5}} {-126 t ^ {4} +84 t ^ {3} -36 t ^ {2} +9 t-1} end {array} )

     

4. ( begin {array} {l} {256 x ^ {4} +768 x ^ {3} y + 864 x ^ {2} y ^ {2}} {+432 xy ^ {3 } +81 y ^ {4}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} ) Usa el teorema del binomio para expandir un binomio

 

En los siguientes ejercicios, encuentre el término indicado en la expansión del binomio.

 
         
  1. Séptimo término de ((a + b) ^ {9} )
  2.      
  3. Tercer término de ((x-y) ^ {7} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (84a ^ {6} b ^ {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} ) Usa el teorema del binomio para expandir un binomio

 

En los siguientes ejercicios, encuentre el coeficiente del término indicado en la expansión del binomio.

 
         
  1. (y ^ {4} ) término de ((y + 3) ^ {6} )
  2.      
  3. (x ^ {5} ) término de ((x-2) ^ {8} )
  4.      
  5. (a ^ {3} b ^ {4} ) término de ((2 a + b) ^ {7} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (135 )

     

3. (280 )

     
 
 
 

Prueba de práctica

 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

 
         
  1. (a_ {n} = frac {5 n-3} {3 ^ {n}} )
  2.      
  3. (a_ {n} = frac {(n + 2)!} {(N + 3)!} )
  4.      
  5. Encuentre un término general para la secuencia, (- frac {2} {3}, – frac {4} {5}, – frac {6} {7}, – frac {8} { 9}, – frac {10} {11}, puntos )
  6.      
  7. Expande la suma parcial y encuentra su valor. ( sum_ {i = 1} ^ {4} (- 4) ^ {i} )
  8.      
  9. Escribe lo siguiente usando notación de suma. (- 1+ frac {1} {4} – frac {1} {9} + frac {1} {16} – frac {1} {25} )
  10.      
  11. Escribe los primeros cinco términos de la secuencia aritmética con el primer término dado y la diferencia común. (a_ {1} = – 13 ) y (d = 3 )
  12.      
  13. Encuentre el vigésimo término de una secuencia aritmética donde el primer término es dos y la diferencia común es (- 7 ).
  14.      
  15. Encuentre el vigésimo tercer término de una secuencia aritmética cuyo séptimo término es (11 ) y la diferencia común es tres. Luego encuentra una fórmula para el término general.
  16.      
  17. Encuentre el primer término y la diferencia común de una secuencia aritmética cuyo noveno término es (- 1 ) y el decimosexto término es (- 15 ). Luego encuentra una fórmula para el término general.
  18.      
  19. Encuentre la suma de los primeros (25 ) términos de la secuencia aritmética, (5,9,13,17,21, dots ) ​​
  20.      
  21. Encuentre la suma de los primeros (50 ) términos de la secuencia aritmética cuyo término general es (a_ {n} = – 3 n + 100 ).
  22.      
  23. Encuentra la suma. ( sum_ {i = 1} ^ {40} (5 i-21) )
  24.  
 
     
Respuesta
     
     

2. ( frac {1} {4}, frac {1} {5}, frac {1} {6}, frac {1} {7}, frac {1} {8 } )

     

4. (- 4 + 16-64 + 256 = 204 )

     

6. (- 13, -10, -7, -4, -1 )

     

8. (a_ {23} = 59. ) El término general es (a_ {n} = 3 n-10 ).

     

10. (1,325 )

     

12. (3,260 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es aritmética, geométrica o ninguna de las dos. Si es aritmética, entonces encuentra la diferencia común. Si es geométrico, entonces encuentra la razón común.

 
         
  1. (14,3, -8, -19, -30, -41, ldots ) ​​
  2.      
  3. (324,108,36,12,4, frac {4} {3}, ldots ) ​​
  4.      
  5. Escribe los primeros cinco términos de la secuencia geométrica con el primer término dado y la razón común. (a_ {1} = 6 ) y (r = −2 ).
  6.      
  7. En la secuencia geométrica cuyo primer término y razón común son (a_ {1} = 5 ) y (r = 4 ), encuentre (a_ {11} ).
  8.      
  9. Encuentra (a_ {10} ) de la secuencia geométrica, (1250,250,50,10,2, frac {2} {5}, ldots ) ​​Luego encuentra una fórmula
    para El término general.
  10.      
  11. Encuentra la suma de los primeros trece términos de la secuencia geométrica, (2, -6,18, -54,162, -486 ldots ) ​​
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

2. La secuencia es geométrica con relación común (r = frac {1} {3} ).

     

4. (5,242,880 )

     

6. (797,162 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

En los siguientes ejercicios, encuentre la suma.

 
         
  1. ( sum_ {i = 1} ^ {9} 5 (2) ^ {i} )
  2.      
  3. (1- frac {1} {5} + frac {1} {25} – frac {1} {125} + frac {1} {625} – frac {1} {3125 } + puntos )
  4.      
  5. Escribe el decimal periódico como una fracción. (0. Overline {81} )
  6.      
  7. Dave acaba de obtener su primer trabajo a tiempo completo después de graduarse de la escuela secundaria a los 18 años. Decidió invertir $ (450 ) por mes en una IRA (una anualidad). El interés en la anualidad es (6 )% que se capitaliza mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta de Adam cuando se retire a los sesenta y cinco años?
  8.      
  9. Expande el binomio usando el Triángulo de Pascal. ((m-2 n) ^ {5} )
  10.      
  11. Evalúe cada coeficiente binomial.      
               
    1. ( left ( begin {array} {l} {8} \ {1} end {array} right) )
    2.          
    3. ( left ( begin {array} {l} {16} \ {16} end {array} right) )
    4.          
    5. ( left ( begin {array} {l} {12} \ {0} end {array} right) )
    6.          
    7. ( left ( begin {array} {l} {10} \ {6} end {array} right) )
    8.      
         
  12.      
  13. Expande el binomio usando el Teorema del binomio. ((4 x + 5 y) ^ {3} )
  14.  
 
     
Respuesta
     
     

2. ( frac {5} {6} )

     

4. ( $ 1,409,344.19 )

     

6.

     
             
  1. (8 )
  2.          
  3. (1 )
  4.          
  5. (1 )
  6.          
  7. (210 )
  8.      
     
 
 
 
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