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las matematicas

Matematicas , ecuaciones , raices cuadradas , triangulos , paralelogramos , geometria

Matematicas , ecuaciones , raices cuadradas , triangulos , paralelogramos , geometria

Fórmulas geométricas

RectanguloCNX_BMath_Figure_AppD_001.jpg

Perímetro: P = (2l + 2w )

Área: A = (lw )

CuadradoCNX_BMath_Figure_AppD_002.jpg

Perímetro: P = 4s

Área: A = s 2

TriánguloCNX_BMath_Figure_AppD_003.jpg

Perímetro: P = a + b + c

Área: A = ( dfrac {1} {2} ) bh

Suma de ángulos: A + B + C = 180 °

Triángulo rectánguloCNX_BMath_Figure_AppD_004.jpg

Teorema de Pitágoras: a 2 + b 2 = c 2

Área: A = ( dfrac {1} {2} ) ab

CírculoCNX_BMath_Figure_AppD_005.jpg

Circunferencia: C = 2 ( pi ) r o C = ( pi ) d

Área: A = ( pi ) r 2

ParalelogramoCNX_BMath_Figure_AppD_006.jpg

Perímetro: P = 2a + 2b

Área: A = bh

TrapecioCNX_BMath_Figure_AppD_007.jpg

Perímetro: P = a + b + c + B

Área: A = ( dfrac {1} {2} ) (B + b) h

 

Practiquemos encontrar el área de paralelogramos.

Ejercicio ( PageIndex {2} ): Más áreas de paralelogramos

    1. Calcule el área de la figura dada en el applet. Luego, verifique si su cálculo de área es correcto haciendo clic en la casilla de verificación Mostrar área .
    2. Desactive la casilla de verificación Área. Mueva uno de los vértices del paralelogramo para crear un nuevo paralelogramo. Cuando obtenga un paralelogramo que le guste, esboce y calcule el área. Luego, verifique si su cálculo es correcto utilizando el botón Mostrar área nuevamente.
    3. Repita este proceso dos veces más. Dibuja y rotula cada paralelogramo con sus medidas y el área que calculaste.
  2. Aquí está el paralelogramo B. ¿Cuál es la altura correspondiente para la base que tiene 10 cm de largo? Explica o muestra tu razonamiento.

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Figura ( PageIndex {2} )

  1. Aquí hay dos paralelogramos diferentes con la misma área.
    1. Explica por qué sus áreas son iguales.
    2. Arrastre los puntos para crear dos nuevos paralelogramos que no sean copias idénticas entre sí pero que tengan la misma área entre sí. Dibuja tus paralelogramos y explica o muestra cómo sabes que sus áreas son iguales. Luego, haga clic en el botón Verificar para ver si las dos áreas son iguales.

¿Estás listo para más?

Aquí hay un paralelogramo compuesto de paralelogramos más pequeños. La región sombreada se compone de cuatro paralelogramos idénticos. Todas las longitudes son en pulgadas.

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Figura ( PageIndex {3} ): paralelogramo compuesto de paralelogramos más pequeños. La región sombreada se compone de cuatro paralelogramos idénticos, para cada uno, base = 5, altura = 2 y 4 décimas, longitud inclinada = 3.

¿Cuál es el área del paralelogramo sin sombrear en el medio? Explica o muestra tu razonamiento.

 

Resumen

Cualquier par de bases y altura correspondiente puede ayudarnos a encontrar el área de un paralelogramo, pero algunos pares de altura de base se identifican más fácilmente que otros.

Cuando un paralelogramo se dibuja en una cuadrícula y tiene lados horizontales , podemos usar un lado horizontal como base. Cuando tiene lados verticales , podemos usar un lado vertical como base. La cuadrícula puede ayudarnos a encontrar (o estimar) las longitudes de la base y de la altura correspondiente.

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Figura ( PageIndex {4} ): Dos paralelogramos dibujados en dos cuadrículas. Primer paralelogramo, 2 lados horizontales cada uno de 8 unidades de largo, 2 lados inclinados que se elevan 2 unidades verticales sobre 4 unidades horizontales. Lado horizontal inferior etiquetado, b. Un segmento perpendicular de 2 unidades etiquetado, h, conecta los lados horizontales. Segundo paralelogramo, 2 lados verticales cada 6 unidades de largo, 2 lados inclinados que se elevan 4 unidades verticales sobre 4 unidades horizontales. El lado vertical izquierdo está etiquetado, b. Un segmento perpendicular de 4 unidades etiquetado, h, conecta un vértice del lado vertical a un punto en el otro lado vertical.

Cuando un paralelogramo no se dibuja en una cuadrícula, aún podemos encontrar su área si se conoce una base y una altura correspondiente.

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Figura ( PageIndex {5} )

En este paralelogramo, no se da la altura correspondiente para el lado que tiene 10 unidades de largo, pero se da la altura para el lado que tiene 8 unidades de largo. Este par de altura base puede ayudarnos a encontrar el área.

Independientemente de su forma, los paralelogramos que tienen la misma base y la misma altura tendrán la misma área; El producto de la base y la altura será igual. Aquí hay algunos paralelogramos con el mismo par de medidas de altura de base.

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Figura ( PageIndex {6} )

 

Entradas en el glosario

Definición: base (de un paralelogramo o triángulo)

Podemos elegir cualquier lado de un paralelogramo o triángulo para que sea la base de la forma. A veces usamos la palabra base para referirnos a la longitud de este lado.

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Figura ( PageIndex {7} )

Definición: altura (de un paralelogramo o triángulo)

La altura es la distancia más corta desde la base de la forma al lado opuesto (para un paralelogramo) o al vértice opuesto (para un triángulo).

Podemos mostrar la altura en más de un lugar, pero siempre será perpendicular a la base elegida.

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Figura ( PageIndex {8} )

Definición: Paralelogramo

Un paralelogramo es un tipo de cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.

Aquí hay dos ejemplos de paralelogramos.

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Figura ( PageIndex {9} ): Dos paralelogramos con los ángulos y las longitudes laterales proporcionadas. A la izquierda, lados superior e inferior = 5 unidades. Lados izquierdo y derecho = 4.24 unidades. Ángulos superior izquierdo e inferior derecho = 135 grados. Ángulos superior derecho e inferior izquierdo = 45 grados. A la derecha, los lados superior e inferior = 9.34 unidades. Lados izquierdo y derecho = 4 unidades. Ángulos superior izquierdo e inferior derecho = 27,2 grados. Ángulos superior derecho e inferior izquierdo = 152.8 grados.

 

Definición: Cuadrilátero

Un cuadrilátero es un tipo de polígono que tiene 4 lados. Un rectángulo es un ejemplo de un cuadrilátero. Un pentágono no es un cuadrilátero, porque tiene 5 lados.

 

Resolver aplicaciones de geometría: volumen y área de superficie

Hallar el volumen y el área de superficie de las esferas

Una esfera es la forma de una pelota de baloncesto, como un círculo tridimensional. Al igual que un círculo, el tamaño de una esfera está determinado por su radio, que es la distancia desde el centro de la esfera a cualquier punto de su superficie. Las fórmulas para el volumen y el área de superficie de una esfera se dan a continuación.

Mostrar de dónde provienen estas fórmulas, como lo hicimos para un sólido rectangular, está más allá del alcance de este curso. Aproximaremos ( pi ) con 3.14.

Definición: Volumen y área de superficie de una esfera

Para una esfera con radio r:

An image of a sphere is shown. The radius is labeled r. Beside this is Volume: V equals four-thirds times pi times r cubed. Below that is Surface Area: S equals 4 times pi times r squared.

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

Una esfera tiene un radio de 6 pulgadas. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

Solución

El paso 1 es el mismo para ambos (a) y (b), así que lo mostraremos solo una vez.

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_06_042_img-01.png

(a)

Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el volumen de la esfera
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea V = volumen
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. $$ V = dfrac {4} {3} pi r ^ {3} tag {9.6.12} $$
Paso 5. Resolver . $$ begin {split} V & approx dfrac {4} {3} (3.14) 6 ^ {3} \ V & approx 904.32 ; cúbico; pulgadas fin {división} $$
Paso 6. Verifique . Verifica tus matemáticas en una calculadora.
Paso 7. Responda la pregunta. El volumen es de aproximadamente 904.32 pulgadas cúbicas.

(b)

Paso 2. Identifica lo que estás buscando. la superficie del cubo
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea S = área de superficie
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. $$ S = 4 pi r ^ {2} tag {9.6.13} $$
Paso 5. Resolver . $$ begin {split} S & approx 4 (3.14) 6 ^ {2} \ S & approx 452.16 ; sq. ; pulgadas fin {división} $$
Paso 6. Verifique . Verifica tus matemáticas en una calculadora.
Paso 7. Responda la pregunta. El área de superficie es de aproximadamente 452.16 pulgadas cuadradas.

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

Halla el (a) volumen y (b) área de superficie de una esfera con radio de 3 centímetros.

Responde a
113.04 cu. cm
Respuesta b
113.04 cm2

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

Encuentra el (a) volumen y (b) área de superficie de cada esfera con un radio de 1 pie

Responde a
4.19 cu. pies
Respuesta b
12.56 pies cuadrados

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Un globo terráqueo tiene la forma de una esfera con radio de 14 centímetros. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie. Redondea la respuesta a la centésima más cercana.

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_06_043_img-01.png

(a)

Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el volumen de la esfera
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea V = volumen
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir. (Use 3.14 para ( pi )) $$ begin {split} V & = dfrac {4} {3} pi r ^ {3} \ V & approx dfrac {4} {3} (3.14) 14 ^ {3} end {split} $$
Paso 5. Resolver . $$ V aprox. 11,488.21 tag {9.6.14} $$
Paso 6. Verifique . Te dejamos que verifiques tus cálculos.
Paso 7. Responda la pregunta. El volumen es de aproximadamente 11,488.21 pulgadas cúbicas.

(b)

Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el área de superficie de la esfera
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea S = área de superficie
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. $$ begin {split} S & = 4 pi r ^ {2} \ S & approx 4 (3.14) 14 ^ {2} end {split} $$
Paso 5. Resolver . $$ S aprox 2461.76 tag {9.6.15} $$
Paso 6. Verifique . Te dejamos que verifiques tus cálculos.
Paso 7. Responda la pregunta. El área de superficie es de aproximadamente 2461.76 pulgadas cuadradas.

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

Una pelota de playa tiene la forma de una esfera con radio de 9 pulgadas. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

Responde a
3052.08 cu. en
Respuesta b
1017.36 pulgadas cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

Una estatua romana representa a Atlas sosteniendo un globo con un radio de 1.5 pies. Encuentre el (a) volumen y (b) el área de superficie del globo.

Responde a
14.13 cu. pies
Respuesta b
28,26 pies cuadrados

 

Encuentre el volumen y el área de superficie de un cilindro

Si alguna vez has visto una lata de refresco, sabes cómo se ve un cilindro. Un cilindro es una figura sólida con dos círculos paralelos del mismo tamaño en la parte superior e inferior. La parte superior e inferior de un cilindro se llaman bases. La altura h de un cilindro es la distancia entre las dos bases. Para todos los cilindros con los que trabajaremos aquí, los lados y la altura, h, serán perpendiculares a las bases.

An image of a cylinder is shown. There is a red arrow pointing to the radius of the top labeling it r, radius. There is a red arrow pointing to the height of the cylinder labeling it h, height.

Figura ( PageIndex {5} ) – Un cilindro tiene dos bases circulares de igual tamaño. La altura es la distancia entre las bases.

Los sólidos y cilindros rectangulares son algo similares porque ambos tienen dos bases y una altura. La fórmula para el volumen de un sólido rectangular, V = Bh, también se puede usar para encontrar el volumen de un cilindro.

Para el sólido rectangular, el área de la base, B, es el área de la base rectangular, largo × ancho. Para un cilindro, el área de la base, B, es el área de su base circular, ( pi ) r 2 . La Figura ( PageIndex {6} ) compara cómo se usa la fórmula V = Bh para sólidos rectangulares y cilindros.

In (a), a rectangular solid is shown. The sides are labeled L, W, and H. Below this is V equals capital Bh, then V equals Base times h, then V equals parentheses lw times h, then V equals lwh. In (b), a cylinder is shown. The radius of the top is labeled r, the height is labeled h. Below this is V equals capital Bh, then V equals Base times h, then V equals parentheses pi r squared times h, then V equals pi times r squared times h.

Figura ( PageIndex {6} ) – Ver cómo un cilindro es similar a un sólido rectangular puede facilitar la comprensión de la fórmula para el volumen de un cilindro.

Para comprender la fórmula del área de superficie de un cilindro, piense en una lata de verduras. Tiene tres superficies: la superior, la inferior y la pieza que forma los lados de la lata. Si corta cuidadosamente la etiqueta del costado de la lata y la desenrolla, verá que es un rectángulo. Ver Figura ( PageIndex {7} ).

A cylindrical can of green beans is shown. The height is labeled h. Beside this are pictures of circles for the top and bottom of the can and a rectangle for the other portion of the can. Above the circles is C equals 2 times pi times r. The top of the rectangle says l equals 2 times pi times r. The left side of the rectangle is labeled h, the right side is labeled w.

Figura ( PageIndex {7} ) – Al cortar y desenrollar la etiqueta de una lata de verduras, podemos ver que la superficie de un cilindro es un rectángulo. La longitud del rectángulo es la circunferencia de la base del cilindro, y el ancho es la altura del cilindro.

La distancia alrededor del borde de la lata es la circunferencia de la base del cilindro, también es la longitud L de la etiqueta rectangular. La altura del cilindro es el ancho W de la etiqueta rectangular. Por lo tanto, el área de la etiqueta se puede representar como

The top line says A equals l times red w. Below the l is 2 times pi times r. Below the w is a red h.

Para encontrar el área de superficie total del cilindro, agregamos las áreas de los dos círculos al área del rectángulo.

A rectangle is shown with circles coming off the top and bottom.

El área de superficie de un cilindro con radio r y altura h, es

$$ S = 2 pi r ^ {2} + 2 pi rh tag {9.6.16} $$

Definición: Volumen y área de superficie de un cilindro

Para un cilindro con radio r y altura h:

A cylinder is shown. The height is labeled h and the radius of the top is labeled r. Beside it is Volume: V equals pi times r squared times h or V equals capital B times h. Below this is Surface Area: S equals 2 times pi times r squared plus 2 times pi times r times h.

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

Un cilindro tiene una altura de 5 centímetros y un radio de 3 centímetros. Encuentre el (a) volumen y (b) el área de superficie.

Solución

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_06_046_img-01.png

(a)

Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el volumen del cilindro
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea V = volumen
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir. (Use 3.14 para ( pi )) $$ begin {split} V & = pi r ^ {2} h \ V & approx (3.14) 3 ^ {2} cdot 5 end {split} $$
Paso 5. Resolver . $$ V aproximadamente 141.3 etiqueta {9.6.17} $$
Paso 6. Verifique . Te dejamos que verifiques tus cálculos.
Paso 7. Responda la pregunta. El volumen es de aproximadamente 141.3 pulgadas cúbicas.

(b)

Paso 2. Identifica lo que estás buscando. la superficie del cilindro
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea S = área de superficie
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. $$ begin {split} S & = 2 pi r ^ {2} + 2 pi rh \ S & aprox 2 (3.14) 3 ^ {2} + 2 (3.14) (3) 5 end {split} $$
Paso 5. Resolver . $$ S aproximadamente 150,72 etiqueta {9.6.18} $$
Paso 6. Verifique . Te dejamos que verifiques tus cálculos.
Paso 7. Responda la pregunta. El área de superficie es de aproximadamente 150.72 pulgadas cuadradas.

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

Encuentre el (a) volumen y (b) área de superficie del cilindro con radio de 4 cm y altura de 7 cm.

Responde a
351,68 cu. cm
Respuesta b
276,32 pies cuadrados

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

Encuentre el (a) volumen y (b) área de superficie del cilindro con un radio dado de 2 pies y una altura de 8 pies.

Responde a
100.48 cu. pies
Respuesta b
125,6 pies cuadrados

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

Encuentre el (a) volumen y (b) el área de superficie de una lata de refresco. El radio de la base es de 4 centímetros y la altura es de 13 centímetros. Suponga que la lata tiene exactamente la misma forma que un cilindro.

Solución

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_06_047_img-01.png

(a)

Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el volumen del cilindro
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea V = volumen
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir. (Use 3.14 para ( pi )) $$ begin {split} V & = pi r ^ {2} h \ V & approx (3.14) 4 ^ {2} cdot 13 end {split} $$
Paso 5. Resolver . $$ V aproximadamente 653.12 tag {9.6.19} $$
Paso 6. Verifique . Se lo dejamos a usted para que lo verifique.
Paso 7. Responda la pregunta. El volumen es de aproximadamente 653.12 centímetros cúbicos.

(b)

Paso 2. Identifica lo que estás buscando. la superficie del cilindro
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea S = área de superficie
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. $$ begin {split} S & = 2 pi r ^ {2} + 2 pi rh \ S & aprox 2 (3.14) 4 ^ {2} + 2 (3.14) (4) 13 end {split} $$
Paso 5. Resolver . $$ S aproximadamente 427.04 etiqueta {9.6.20} $$
Paso 6. Verifique . Te dejamos que verifiques tus cálculos.
Paso 7. Responda la pregunta. El área de superficie es de aproximadamente 427.04 centímetros cuadrados.

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

Encuentre el (a) volumen y (b) área de superficie de una lata de pintura con radio de 8 centímetros y altura de 19 centímetros. Suponga que la lata tiene exactamente la misma forma que un cilindro.

Responde a
3,818.24 cu. cm
Respuesta b
1,356.48 cm2

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

Encuentre el (a) volumen y (b) área de superficie de un tambor cilíndrico con radio de 2.7 pies y altura de 4 pies. Suponga que el tambor tiene la forma exactamente como un cilindro.

Responde a
91.5624 cu. pies
Respuesta b
113.6052 pies cuadrados

 

Encuentra el volumen de conos

La primera imagen que muchos de nosotros tenemos cuando escuchamos la palabra «cono» es un cono de helado. Hay muchas otras aplicaciones de conos (pero la mayoría no son tan sabrosas como los conos de helado). En esta sección, veremos cómo encontrar el volumen de un cono.

En geometría, un cono es una figura sólida con una base circular y un vértice. La altura de un cono es la distancia entre su base y el vértice. Los conos que veremos en esta sección siempre tendrán la altura perpendicular a la base. Ver Figura ( PageIndex {8} ).

An image of a cone is shown. The top is labeled vertex. The height is labeled h. The radius of the base is labeled r.

Figura ( PageIndex {8} ) – La altura de un cono es la distancia entre su base y el vértice.

Anteriormente en esta sección, vimos que el volumen de un cilindro es V = ( pi ) r 2 h. Podemos pensar en un cono como parte de un cilindro. La figura ( PageIndex {9} ) muestra un cono colocado dentro de un cilindro con la misma altura y la misma base. Si comparamos el volumen del cono y el cilindro, podemos ver que el volumen del cono es menor que el del cilindro.

An image of a cone is shown. There is a cylinder drawn around it.

Figura ( PageIndex {9} ) – El volumen de un cono es menor que el volumen de un cilindro con la misma base y altura.

De hecho, el volumen de un cono es exactamente un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y altura. El volumen de un cono es

$$ V = dfrac {1} {3} textcolor {azul} {B} h tag {9.6.21} $$

Dado que la base de un cono es un círculo, podemos sustituir la fórmula del área de un círculo, ( pi ) r 2 , para que B obtenga la fórmula del volumen de un cono .

$$ V = dfrac {1} {3} textcolor {azul} { pi r ^ {2}} h tag {9.6.22} $$

En este libro, solo encontraremos el volumen de un cono, y no su área de superficie.

Definición: Volumen de un cono

Para un cono con radio r y altura h.

An image of a cone is shown. The height is labeled h, the radius of the base is labeled r. Beside this is Volume: V equals one-third times pi times r squared times h.

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

Halla el volumen de un cono con una altura de 6 pulgadas y un radio de su base de 2 pulgadas.

Solución

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_06_048_img-01.png
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el volumen del cono
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea V = volumen
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir. (Use 3.14 para ( pi )) $$ begin {split} V & = dfrac {1} {3} pi r ^ {2} h \ V & approx dfrac {1} {3} (3.14) (2) ^ {2} (6) end {split} $$
Paso 5. Resolver . $$ V aprox. 25.12 etiqueta {9.6.23} $$
Paso 6. Verifique . Te dejamos que verifiques tus cálculos.
Paso 7. Responda la pregunta. El volumen es de aproximadamente 25,12 pulgadas cúbicas.

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

Halla el volumen de un cono con una altura de 7 pulgadas y un radio de 3 pulgadas

Respuesta
65,94 cu. pulg.

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

Halla el volumen de un cono con una altura de 9 centímetros y un radio de 5 centímetros

Respuesta
235.5 cu. cm

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

El pub gastro gastro favorito de Marty sirve papas fritas en una envoltura de papel con forma de cono. ¿Cuál es el volumen de una envoltura cónica de 8 pulgadas de alto y 5 pulgadas de diámetro? Redondea la respuesta a la centésima más cercana.

Solución

Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. CNX_BMath_Figure_09_06_049_img-01.png
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. el volumen del cono
Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. sea V = volumen
Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada. Sustituir. (Use 3.14 para ( pi ), y observe que nos dieron la distancia a través del círculo, que es su diámetro. El radio es de 2.5 pulgadas.) $$ begin {split} V & = dfrac {1} {3} pi r ^ {2} h \ V & approx dfrac {1} {3} (3.14) (2.5) ^ {2} (8) end {split} $$
Paso 5. Resolver . $$ V aproximadamente 52.33 etiqueta {9.6.24} $$
Paso 6. Verifique . Te dejamos que verifiques tus cálculos.
Paso 7. Responda la pregunta. El volumen de la envoltura es de aproximadamente 52.33 pulgadas cúbicas.

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

¿Cuántas pulgadas cúbicas de dulces caben en una piñata en forma de cono de 18 pulgadas de largo y 12 pulgadas de ancho en su base? Redondea la respuesta a la centésima más cercana.

Respuesta
678,24 cu. pulg.

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

¿Cuál es el volumen de un sombrero de fiesta con forma de cono que mide 10 pulgadas de alto y 7 pulgadas de ancho en la base? Redondea la respuesta a la centésima más cercana.

Respuesta
128,2 cu. pulg.

 

Resumen de fórmulas de geometría

Los siguientes cuadros resumen todas las fórmulas cubiertas en este capítulo.

A table is shown that summarizes all of the formulas in the chapter. The first cell is for Supplementary and Complementary Angles, and says that the measure of angle A plus the measure of angle B equals 180 degrees for supplementary angles A and B and the measure of angle C plus the measure of angle D equals 90 degrees for complementary angles C and D. There is an image of two angles A and B that together form a straight line and two angles C and D that together form a right angle. The next cell says Rectangular Solid and shows the formulas Volume equals LWH and Surface Area equals 2LH plus 2LW plus 2WH. An image of a rectangular solid with sides L, W, and H is shown. The next cell says Triangle. An image of a triangle is shown with sides a, b, and c, vertices A, B, and C, and height h. It says, “For triangle ABC, angle measures measure of angle A plus measure of angle B plus measure of angle C equal 180 degrees. Below this is Perimeter, P equals a plus b plus c. Below this is Area, A equals one-half bh. The next cell says Cube and shows an image of a cube with sides s. It says Volume V equals s cubed and Surface Area S equals 6 times s squared. The next cell says Similar Triangles. It shows two similar triangles ABC and XYZ. It says if triangle ABC is similar to triangle XYZ, then measure of angle A equals measure of angle X, measure of angle B equals measure of angle Y, and measure of angle C equals measure of angle Z. It then says a over x equals b over y equal c over z. The next cell says Sphere and shows an image of a sphere with radius r. It says volume V equals four-thirds times pi times r and Surface Area S equals 4 times pi times r squared. The next cell says Circle. There is an image with two radii labeled r and the diameter labeled d. It says Circumference C equals 2 pi times r and C equals pi times d. It says Area equals pi times r squared. The next cell says Cylinder and shows an image of a cylinder with height h and radius of the base r. It says Volume V equals pi times r squared times h. Below this is V equals Bh. Below that is Surface Area S equals 2 times pi times r squared plus 2 times pi times rh. The next cell says Rectangle and shows an image of a rectangle with sides W and L. It says Perimeter P equals 2L plus 2W, then Area A equals LW. The next cell says Cone and shows an image of a cone with height h and radius of the base r. It says Volume V equals one-third times pi times r squared times h. The last cell says Trapezoid and shows an image of a trapezoid with bases little b and capital B, and height h. It says Area A equals one-half times h times parentheses little b plus capital B.

 

La práctica hace la perfección

 

Hallar el volumen y el área de superficie de los sólidos rectangulares

En los siguientes ejercicios, encuentre (a) el volumen y (b) el área de superficie del sólido rectangular con las dimensiones dadas.

  1. longitud 2 metros, ancho 1,5 metros, altura 3 metros
  2. longitud 5 pies, ancho 8 pies, altura 2.5 pies
  3. longitud 3.5 yardas, ancho 2.1 yardas, altura 2.4 yardas
  4. longitud 8,8 centímetros, ancho 6,5 centímetros, altura 4,2 centímetros

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. Furgoneta móvil Una furgoneta móvil rectangular tiene una longitud de 16 pies, un ancho de 8 pies y una altura de 8 pies. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  2. Caja de regalo Una caja de regalo rectangular tiene una longitud de 26 pulgadas, un ancho de 16 pulgadas y una altura de 4 pulgadas. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  3. Cartón Un cartón rectangular tiene una longitud de 21,3 cm, un ancho de 24,2 cm y una altura de 6,5 cm. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  4. Contenedor de envío Un contenedor de envío rectangular tiene una longitud de 22.8 pies, un ancho de 8.5 pies y una altura de 8.2 pies. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

En los siguientes ejercicios, encuentre (a) el volumen y (b) el área de la superficie del cubo con la longitud lateral dada.

  1. 5 centímetros
  2. 6 pulgadas
  3. 10,4 pies
  4. 12,5 metros

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. Centro de ciencias Cada lado del cubo en el Discovery Science Center en Santa Ana tiene 64 pies de largo. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  2. Museo Un museo en forma de cubo tiene lados de 45 metros de largo. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  3. Base de la estatua La base de una estatua es un cubo con lados de 2,8 metros de largo. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  4. Caja de pañuelos Una caja de pañuelos es un cubo con lados de 4.5 pulgadas de largo. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

 

Encuentre el volumen y el área de superficie de las esferas

En los siguientes ejercicios, encuentre (a) el volumen y (b) el área de la superficie de la esfera con el radio dado. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.

  1. 3 centímetros
  2. 9 pulgadas
  3. 7,5 pies
  4. 2,1 yardas

En los siguientes ejercicios, resuelve. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.

  1. Pelota de ejercicio Una pelota de ejercicio tiene un radio de 15 pulgadas. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  2. Paseo en globo El Great Park Balloon es una gran esfera naranja con un radio de 36 pies. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  3. Pelota de golf Una pelota de golf tiene un radio de 4,5 centímetros. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  4. Béisbol Una pelota de béisbol tiene un radio de 2.9 pulgadas. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

 

Encuentre el volumen y el área de superficie de un cilindro

En los siguientes ejercicios, encuentre (a) el volumen y (b) el área de superficie del cilindro con el radio y la altura dados. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.

  1. radio 3 pies, altura 9 pies
  2. radio 5 centímetros, altura 15 centímetros
  3. radio 1,5 metros, altura 4,2 metros
  4. radio 1.3 yardas, altura 2.8 yardas

En los siguientes ejercicios, resuelve. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.

  1. Lata de café Una lata de café tiene un radio de 5 cm y una altura de 13 cm. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  2. Paquete de bocadillos Un paquete de galletas con forma de cilindro tiene un radio de 4 cm y una altura de 3 cm. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  3. Poste de peluquería Un poste de peluquería cilíndrico tiene un diámetro de 6 pulgadas y una altura de 24 pulgadas. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.
  4. Arquitectura Una columna cilíndrica tiene un diámetro de 8 pies y una altura de 28 pies. Encuentre su (a) volumen y (b) área de superficie.

 

Encuentra el volumen de conos

En los siguientes ejercicios, encuentre el volumen del cono con las dimensiones dadas. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.

  1. altura 9 pies y radio 2 pies
  2. altura 8 pulgadas y radio 6 pulgadas
  3. altura 12,4 centímetros y radio 5 cm
  4. altura 15,2 metros y radio 4 metros

En los siguientes ejercicios, resuelve. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.

  1. Tipi ¿Cuál es el volumen de una tienda tipi con forma de cono que mide 10 pies de alto y 10 pies de ancho en la base?
  2. Taza de palomitas de maíz ¿Cuál es el volumen de una taza de palomitas de maíz en forma de cono que mide 8 pulgadas de alto y 6 pulgadas de ancho en la base?
  3. Silo ¿Cuál es el volumen de un silo en forma de cono que mide 50 pies de alto y 70 pies de ancho en la base?
  4. Pila de arena ¿Cuál es el volumen de una pila de arena en forma de cono que tiene 12 metros de alto y 30 metros de ancho en la base?

 

Matemáticas cotidianas

  1. Poste de luz de calle El poste de una luz de calle tiene forma de cono truncado, como se muestra en la imagen a continuación. Es un cono grande menos un cono superior más pequeño. El cono grande mide 30 pies de alto con radio base de 1 pie. El cono más pequeño mide 10 pies de alto con un radio base de 0.5 pies. Con la décima más cercana, (a) encuentre el volumen del cono grande. (b) encuentre el volumen del cono pequeño. (c) encuentre el volumen de la publicación restando el volumen del cono pequeño del volumen del cono grande.

An image of a cone is shown. There is a dark dotted line at the top indicating a smaller cone.

  1. Conos de helado Un cono de helado normal mide 4 pulgadas de alto y tiene un diámetro de 2.5 pulgadas. Un cono de waffle mide 7 pulgadas de alto y tiene un diámetro de 3.25 pulgadas. Al centésimo más cercano, (a) encuentre el volumen del cono de helado regular. (b) encuentre el volumen del cono de waffle. (c) ¿cuánto más helado cabe en el cono de waffle en comparación con el cono normal?

 

Ejercicios de escritura

  1. Las fórmulas para el volumen de un cilindro y un cono son similares. Explica cómo puedes recordar qué fórmula va con qué forma.
  2. ¿Cuál tiene un volumen mayor, un cubo de lados de 8 pies o una esfera con un diámetro de 8 pies? Explica tu razonamiento.

 

Autocomprobación

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

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(b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?